Calcolo del gradiente
Calcolare l'espressione letterale del gradiente del vettore posizione r=x i+y j+z k, dove i, j e k sono i versori degli assi cartesiani.
Calcolare l'espressione letterale del gradiente di 1/|r-r'|, dove r=x i+y j+z k, e r'=x' i+y' j+z' k sono due vettori posizione e i, j e k sono i versori degli assi cartesiani.
Potete aiutarmi con questi 2 esercizi?
il primo mi viene i + j + k, ma non se sia giusto, il secondo non so come fare
Calcolare l'espressione letterale del gradiente di 1/|r-r'|, dove r=x i+y j+z k, e r'=x' i+y' j+z' k sono due vettori posizione e i, j e k sono i versori degli assi cartesiani.
Potete aiutarmi con questi 2 esercizi?
il primo mi viene i + j + k, ma non se sia giusto, il secondo non so come fare
Risposte
Beh allora chiamiamo $R=|r-r'|$ e dobbiamo quindi calcolare il $grad(1/R)$ . Come vedi ogni variabile si presenta nella medesima funzione, quindi basta calcolare esplicitamente solo la prima componente del grandiente, le altre le hai cambiando le variabili giuste .
$d/dx(1/R)=-((1/2)((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^(-1/2)2(x-x'))/R^2$ . Sarà analoga la componente $y$
$d/dy(1/R)=-((1/2)((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^(-1/2)2(y-y'))/R^2$ e la z
$d/dz(1/R)=-((1/2)((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^(-1/2)2(z-z'))/R^2$
Come vedi, scrivendolo come vettore, portando a fattor comune la $((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^(-1/2)$ che altro non è che il reciproco della norma di $R$ ovvero $1/|R|$ e rendendosi conto che $(x-x')i+(y-y')j+(z-z')k=\vecR$
abbiamo che
$grad(1/R)=-1/R^2 \vecR/|R|=-hat{R}/R^2$
Quindi ora se ti chiedo quando fa $grad(R^n)$ cosa mi rispondi?
$d/dx(1/R)=-((1/2)((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^(-1/2)2(x-x'))/R^2$ . Sarà analoga la componente $y$
$d/dy(1/R)=-((1/2)((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^(-1/2)2(y-y'))/R^2$ e la z
$d/dz(1/R)=-((1/2)((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^(-1/2)2(z-z'))/R^2$
Come vedi, scrivendolo come vettore, portando a fattor comune la $((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^(-1/2)$ che altro non è che il reciproco della norma di $R$ ovvero $1/|R|$ e rendendosi conto che $(x-x')i+(y-y')j+(z-z')k=\vecR$
abbiamo che
$grad(1/R)=-1/R^2 \vecR/|R|=-hat{R}/R^2$
Quindi ora se ti chiedo quando fa $grad(R^n)$ cosa mi rispondi?
Non ne ho idea, sinceramente non ho neanche capito come hai svolto quelle derivate, non mi tornato per niente.
Cioè stai dicendo che il gradiente è: - (i + j + k)/((x-x') + (y-y') + (z-z'))^2 ?
Cioè stai dicendo che il gradiente è: - (i + j + k)/((x-x') + (y-y') + (z-z'))^2 ?
Uhm, non so bene come mostrarti il calcolo in modo ancora più chiaro, non ho saltato passaggi ho fatto una derivata pulita. Comunque ci provo. Vediamo la prima componente del gradiente, tanto per le altri non cambia nulla
Come saprai $d/dx1/(f(x))=-(f'(x))/f^2(x)$ e fin qui direi che non ci sono obiezioni. Ovviamente la derivata è in realtà una derivata parziale $(\partial)/(\partialx)$ , ho messo la derivata totale solo per brevità di sintassi ma era implicito: quindi quando derivi rispetto ad una variabile, le altre sono costanti. Quindi derivando rispetto ad $x$ risultano costanti $x',y',z',y,z$.
A questo punto se $f(x,y,z,x',y',z')=R=sqrt((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2)$ ho che
$(\partial)/(\partialx)(1/R)=-1/R^2 * [(\partial)/(\partialx)(R)]=-1/R^2 *[1/2((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^(-1/2)2(x-x'))]$ avendo anche qui applicato la derivazione della composta $d/(dx)f(g(x))=f'(g(x)) g'(x)$ tenendo sempre conto che è una derivata parziale.
A questo punto derivando nelle altre variabili cambia solo che quello che è costante è tutto il resto tranne la variabile rispetto cui stai derivando. Quindi ti verrà la stessa cosa tranne che $2(x-x')$ diventa $2(y-y')$ e idem per la z.
Se ancora non ti sono chiari questi passaggi devi fare un po' di pratica con le derivate in più variabili altrimenti ti intopperai ovunque in fisica. Comunque appurato questo poi valgono le considerazioni fatte per far uscire fuori il versore nella soluzione finale. E' più chiaro ora?
Come saprai $d/dx1/(f(x))=-(f'(x))/f^2(x)$ e fin qui direi che non ci sono obiezioni. Ovviamente la derivata è in realtà una derivata parziale $(\partial)/(\partialx)$ , ho messo la derivata totale solo per brevità di sintassi ma era implicito: quindi quando derivi rispetto ad una variabile, le altre sono costanti. Quindi derivando rispetto ad $x$ risultano costanti $x',y',z',y,z$.
A questo punto se $f(x,y,z,x',y',z')=R=sqrt((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2)$ ho che
$(\partial)/(\partialx)(1/R)=-1/R^2 * [(\partial)/(\partialx)(R)]=-1/R^2 *[1/2((x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2)^(-1/2)2(x-x'))]$ avendo anche qui applicato la derivazione della composta $d/(dx)f(g(x))=f'(g(x)) g'(x)$ tenendo sempre conto che è una derivata parziale.
A questo punto derivando nelle altre variabili cambia solo che quello che è costante è tutto il resto tranne la variabile rispetto cui stai derivando. Quindi ti verrà la stessa cosa tranne che $2(x-x')$ diventa $2(y-y')$ e idem per la z.
Se ancora non ti sono chiari questi passaggi devi fare un po' di pratica con le derivate in più variabili altrimenti ti intopperai ovunque in fisica. Comunque appurato questo poi valgono le considerazioni fatte per far uscire fuori il versore nella soluzione finale. E' più chiaro ora?
Grazie mille credo di aver capito.
Con queste cose faccio ancora fatica visto che il prof di fisica le ha spiegate da poco e ancora non le ho fatte in Analisi 2. Provvederò ad esercitarmi
Con queste cose faccio ancora fatica visto che il prof di fisica le ha spiegate da poco e ancora non le ho fatte in Analisi 2. Provvederò ad esercitarmi
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