Calcolo del flusso del campo magnetico attraverso un circuito piano
ciao a tutti ho questo esercizio di cui non capisco la soluzione..
Su una bobina circolare piana di raggio $R$ costituita da $N$ spire agisce un campo magnetico $ beta $ perpendicolare al piano della spira dato da $ beta(t)=B_0(1-r/(2R))sin(omega t) $ con r distanza del centro della spira $O$.
calcolare la fem indotta massima nella bobina
io avevo pensato di calcolare il flusso del campo magnetico attraverso la bobina per poi derivarlo nel tempo ma penso di aver commesso un errore in questo primo calcolo in quanto non mi torna come il risultato del libro
calcolo il flusso
$ int_(0)^(omegat ) int_(0)^(R)NB_0(1-r/(2R))sin(theta)drd(theta) $
da cui ottengo come risultato
$ -Nbeta _0 3/4R(cos(omega t-1) $
la formula iniziale per calcolare il flusso del campo magnetico è corretta o è proprio lì l errore??
Su una bobina circolare piana di raggio $R$ costituita da $N$ spire agisce un campo magnetico $ beta $ perpendicolare al piano della spira dato da $ beta(t)=B_0(1-r/(2R))sin(omega t) $ con r distanza del centro della spira $O$.
calcolare la fem indotta massima nella bobina
io avevo pensato di calcolare il flusso del campo magnetico attraverso la bobina per poi derivarlo nel tempo ma penso di aver commesso un errore in questo primo calcolo in quanto non mi torna come il risultato del libro
calcolo il flusso
$ int_(0)^(omegat ) int_(0)^(R)NB_0(1-r/(2R))sin(theta)drd(theta) $
da cui ottengo come risultato
$ -Nbeta _0 3/4R(cos(omega t-1) $
la formula iniziale per calcolare il flusso del campo magnetico è corretta o è proprio lì l errore??
Risposte
Il flusso concatenato lo determini integrando il flusso infinitesimo relativo alle corone circolari di generico raggio $r$ e spessore $dr$,
$ \Phi_c(t)=int_(0)^(R)NB_0(1-r/(2R))sin(\omega t)2\pir dr $
nel quale il fattore $sin(\omega t)$ rappresenta una costante e non ha nulla a che vedere con la geometria della bobina.
$ \Phi_c(t)=int_(0)^(R)NB_0(1-r/(2R))sin(\omega t)2\pir dr $
nel quale il fattore $sin(\omega t)$ rappresenta una costante e non ha nulla a che vedere con la geometria della bobina.
Non capisco come e cosa tu abbia integrato.
Il flusso infinitesimo del campo magnetico attraverso una superficie è $dphi=BdS$
Nel nostro caso, la superficie è un cerchio, consideriamo quindi una corona circolare di raggi $r$ e $r+dr$, la superficie della corona è $dS=2pirdr$, pertanto si ha:
$dphi=B(r)dS=B(r)2pirdr$ (della dipendenza dal tempo del campo magnetico non ce ne frega)
si ha quindi:
$dphi=B_0sin(omegat)(1-r/(2R))2pirdr$
Integrando quindi da $r=0$ a $r=R$ si ottiene:
$phi=2piB_0sin(omegat)int_(0)^(R)(1-r/(2R))rdr$
E quindi moltiplichi il tutto per N.
p.s. mi hanno preceduto nella risposta, che è chiaramente la stessa.
Il flusso infinitesimo del campo magnetico attraverso una superficie è $dphi=BdS$
Nel nostro caso, la superficie è un cerchio, consideriamo quindi una corona circolare di raggi $r$ e $r+dr$, la superficie della corona è $dS=2pirdr$, pertanto si ha:
$dphi=B(r)dS=B(r)2pirdr$ (della dipendenza dal tempo del campo magnetico non ce ne frega)
si ha quindi:
$dphi=B_0sin(omegat)(1-r/(2R))2pirdr$
Integrando quindi da $r=0$ a $r=R$ si ottiene:
$phi=2piB_0sin(omegat)int_(0)^(R)(1-r/(2R))rdr$
E quindi moltiplichi il tutto per N.
p.s. mi hanno preceduto nella risposta, che è chiaramente la stessa.
Intanto grazie mille ad entrambi ma c è una cosa che non capisco: se il flusso non dipendeva dall valore dell angolo formato $omegat$ mi torna quello che dite perché potevo considerare la superficie come un insieme di infinite circonferenze e integrare da 0 a $R$. Dipendendo però dal valore dell angolo ( poichè $omega$ è la frequenza)io avevo fatto un doppio integrale integrando sia in $R$ sia in $theta$
Non c'è nessun angolo...quello è l'andamento sinusoidale del campo magnetico con il tempo. B è sempre perpendicolare alle spire, lo dice il testo, ciò che varia è la sua intensità a seconda della distanza dal centro della spira e a seconda del tempo. Il flusso coinvolge solo la dipendenza da r di B, della sua dipendenza da t non ci importa.
Perfetto grazie mille, adesso ho capito
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