Calcolo del flusso
non riesco a capire come ha calcolato quel flusso!! sono 2 ore che ci ragiono ufff io avevo pensato $\int_0^c (d+ex^2)(c*a) dx$ ma non viene
Risposte
Se non vuoi impostare il calcolo vettoriale del flusso puoi usare il teorema della divergenza e integrare $\nabla * \vec E$ dentro al parallelepipedo.
Puoi fare in due modi utilizzando la terza equazione di Maxwell. Ovvero partendo da:
$\nabla*\vecE=\rho/\epsilon_0$
con $\rho$ densità volumetrica di carica ed integrando sul volume, si ha:
$\int\int\int_V\nabla*\vecE=\int\int\int_V\rho/\epsilon_0=q/\epsilon_0$(1)
da cui applicando il teorema della divergenza avrai:
$\int\int_S\vecE*\vecnds=q/\epsilon_0$
Quest'ultima è la legge di Gauss. Applichiamo questa (ma come ti ha detto alle.fabbri puoi partire anche dalla (1)). E' facile notare che, essendo il campo elettrico diretto lungo la sola direzione $\vecx$, tutti i prodotti scalari sulle facce xz e xy saranno nulli (normale ortogonale a $\vecx$) e dunque rimarranno i soli prodotti sulle due facce yz, in modo da avere:
$\int\int\vecE*\vecnds=\int\intE_x|_(x=0)(\vecx)*(-\vecx)dydz+\int\intE_x|_(x=c)(\vecx)*(\vecx)dydz=ab(-E_x|_(x=0)+E_x|_(x=c))=ab(-d+d+ec^2)=ec^2ab$
$\nabla*\vecE=\rho/\epsilon_0$
con $\rho$ densità volumetrica di carica ed integrando sul volume, si ha:
$\int\int\int_V\nabla*\vecE=\int\int\int_V\rho/\epsilon_0=q/\epsilon_0$(1)
da cui applicando il teorema della divergenza avrai:
$\int\int_S\vecE*\vecnds=q/\epsilon_0$
Quest'ultima è la legge di Gauss. Applichiamo questa (ma come ti ha detto alle.fabbri puoi partire anche dalla (1)). E' facile notare che, essendo il campo elettrico diretto lungo la sola direzione $\vecx$, tutti i prodotti scalari sulle facce xz e xy saranno nulli (normale ortogonale a $\vecx$) e dunque rimarranno i soli prodotti sulle due facce yz, in modo da avere:
$\int\int\vecE*\vecnds=\int\intE_x|_(x=0)(\vecx)*(-\vecx)dydz+\int\intE_x|_(x=c)(\vecx)*(\vecx)dydz=ab(-E_x|_(x=0)+E_x|_(x=c))=ab(-d+d+ec^2)=ec^2ab$
io avevo risolto così $\nabla * \vec E=2eax$ con $ab$ superficie laterale.. quindi $\int_0^c (2eax)(ab)dx$ secondo voi va bene scrivere così?
K.Lomax non riesco a capire il tuo integrale, ho provato a fare un disegno..
il versore $(- \vec x)$ in quell'integrale è perchè la normale è in verso opposto a x?? Io sinceramente non ci sarei mai arrivato a quell'integrale... non esiste un modo più semplice??
K.Lomax non riesco a capire il tuo integrale, ho provato a fare un disegno..
il versore $(- \vec x)$ in quell'integrale è perchè la normale è in verso opposto a x?? Io sinceramente non ci sarei mai arrivato a quell'integrale... non esiste un modo più semplice??
Un possibile modo di procedere è come ti ho mostrato. E' ovvio che dovresti avere un minimo di familiarità con i vettori (il segno negativo $-\vec x$ è dovuto al fatto che la normale è presa sempre uscente e quindi, sulla faccia yz a x=0, essa coincide col versore delle x nel verso negativo). Volendo applicare la seguente:
$\int\int\int\nabla*\vecEdV=q/\epsilon_0$
dovresti innanzittutto calcolare la divergenza del campo elettrico:
$\nabla*\vecE=(dE_x)/(dx)+(dE_y)/(dy)+(dE_z)/(dz)=(dE_x)/(dx)=2ex$
Da cui integrando sul volume, si ha:
$\int_0^a\int_0^b\int_0^c2exdxdydz=ab\int_0^c2exdx=abex^2|_0^c=ec^2ab$
La divergenza non è quella che hai calcolato, d'altra parte se consideri questa devi integrare sul volume e non sulla superficie (rivediti meglio la terza equazione di Maxwell e teorema della divergenza). Comunque, ti consiglio di avere una buona dimestichezza nell'utilizzare entrambi i metodi.
$\int\int\int\nabla*\vecEdV=q/\epsilon_0$
dovresti innanzittutto calcolare la divergenza del campo elettrico:
$\nabla*\vecE=(dE_x)/(dx)+(dE_y)/(dy)+(dE_z)/(dz)=(dE_x)/(dx)=2ex$
Da cui integrando sul volume, si ha:
$\int_0^a\int_0^b\int_0^c2exdxdydz=ab\int_0^c2exdx=abex^2|_0^c=ec^2ab$
La divergenza non è quella che hai calcolato, d'altra parte se consideri questa devi integrare sul volume e non sulla superficie (rivediti meglio la terza equazione di Maxwell e teorema della divergenza). Comunque, ti consiglio di avere una buona dimestichezza nell'utilizzare entrambi i metodi.
grazie K.Lomax!!!!ho capito tutti e due i procedimenti!!! Sul 1° procedimento basta vedere la direzione del campo elettrico e stare attento sulle normali, per il secondo sono semplici calcoli!! grazie di tutto !!!
se fosse stato un cilindro, messo sempre nella stessa posizione del parallelepipedo, (avendo sempre quella funzione di campo elettrico) sarebbe stato $\pir^2ec^2$ giusto?
se fosse stato un cilindro, messo sempre nella stessa posizione del parallelepipedo, (avendo sempre quella funzione di campo elettrico) sarebbe stato $\pir^2ec^2$ giusto?
Nel caso del cilindro posto in posizione verticale sarebbe stato differente. Volendo applicare la divergenza dovresti fare tutto in coordinate cilindriche (compreso il campo). Utilizzando l'integrale di superficie l'unico integrale diverso da zero sarebbe stato sulla superficie laterale, tenendo conto del giusto prodotto scalare con la normale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo