Calcolo del centro di massa di sfera non omogenea

[nikko801]

Data una sfera non omogenea. La semisfera superiore ha una densità ugaule 2 $rho$ e quella inferiore $rho$. Calcolare il centro di massa.


G=$(int r dm)/ (int dm)$

$dm=rho*dV$

$dV= S*r*d theta*dr$

S:sezione

integrando fra 0 e $pi$ in $d theta$ e tra 0 e r in dr

sostituendo i conti si semplificano S e $rho$ e si trova G=2/3 r per la sfera con $2rho$

facendo il procedimento per la semisfera con densità $rho$ viene esattamente uguale 2/3 r

qualcuno sa dirmi se sbaglio a integrare qualcosa?

grazie

[Cmax1]

Non è un problema che i risultati siano uguali, perchè le due semisfere sono omogenee e quindi hanno la stessa coordinata relativa del CM.
Tuttavia, con un ragionamento qualitativo, si verifica che non può essere $\frac{2}{3}$. Infatti, rispetto al centro della calotta semisferica, l'unica coordinata non nulla, per simmetria, è la $z$. Poichè la massa è distribuita in modo che "ve ne sia di più in basso" (scusa l'espressione poco tecnica), è ragionevole aspettarsi che la coordinata del CM sia un po' inferiore a $\frac{1}{2}$.
Un modo semplice per calcolare il CM di una semisfera (non si perde di generalità ponendo $R=1$ e $\rho=1$) è considerarla come composta da cilindri sovrapposti, che, utilizzando un sistema di coordinate cilindriche, hanno raggio $r$, altezza $dz$ e sono posti a distanza $z$ dal centro. Ciascuno di questi ha massa $\pi r^2 dz$
Quindi $\int z dm = \int z \pi r^2 dz = \pi \int_{0}^1 z*(1-z^2)dz = \frac{\pi}{4}$. Poichè la massa totale della semisfera è $\frac{2 \pi}{3}$ (metà del volume della sfera), si ha $\z_{CM} = \frac{\frac{\pi}{4}}{\frac{2 \pi}{3}} = \frac{3}{8}$.
Infine, Il CM della sfera si ottiene con l'usuale formula per due masse (la sup. vale 2, l'inf. 1) $CM = \frac {2*\frac{3}{8}-\frac{3}{8}}{2+1}=\frac{1}{8}$ (la semisf. sup. ha $z_{CM}>0$ e quella inf. $z_{CM}<0$).