Calcolo degli errori

[Cauchy1]

Ciao ragazzi. Nelle ultime settimane ho avuto un corso in laboratorio ed ora ho problema con il calcolo degli errori.
Quello che ho fatto é misurare con un detector l'energia delle particelle alpha in funzione della distanza tra sorgente e detector.
Ipotizziamo che io abbia trovato:
E1=5000 +-15 KeV, E2=4000+-10 KeV, x1=2 +-0.1 mm e x2=4 +-0.2 mm.
Ora voglio calcolare la derivata e quindi: $f=(dE)/dx=(E2-E1)/(x2-x1)$
A questo punto ariva il mio poblema: ho un errore $\Delta$ in E1, E2, x1 e x2. Come faccio a trovare l'errore di $(de)/dx$?
Se lo calcolo con $sqrt(Sum(((df)/(dq_i))*\Delta q_i)^2$ mi viene un errore gigantesco.... Dove sbaglio, come lo calcolo?

Vi ringarazio

Andrea

[mircoFN1]

$f=(-500 +- 56)[KeV]/{mm}$

non mi sembra un errore gigantesco considerate le misure

[Cauchy1]

Vi ringrazio per avermi risposto.
Ma é giusto il mio procedimento o mi consigliate altri procedimenti?
Il mio era un esempio.... i miei dati sono:
$x_1=36.22\pm0.18$, $x_2=36.59\pm0.18$, $E_1=910\pm1.27$, $E_2=816\pm1.78$.
quindi arrivo a $-(dE)/(dx)=254\pm132$
L'errore e più del 50%. Che cosa posso fare?
Grazie ancora
buona giornata

[robbstark1]

La formula che hai scritto al primo intervento va bene, nel caso di errori indipendenti e casuali, e penso che tu sia in queste condizioni. L'errore ti viene grande perchè la quantità a denominatore $x_2 -x_1 = 0.37$ è confrontabile con l'errore associato ad essa, che secondo la tua formula verrà un po' meno di $0.36$. Ora dividere per $0.10$ o per $0.50$ (valori che a occhio mi pare che rientrino nel range di variabilità di $x_2 -x_1$) porta a risultati molto diversi. Da qui il grande errore che ti risulta sulla derivata.
(A questo punto potresti chiederti: "Ma allora sperimentalmente come fanno a calcolare un derivata con un errore decente, dato che serve prendere punti vicini?")

[mircoFN1]

"Cauchy":
L'errore e più del 50%. Che cosa posso fare?

in questo caso penso ci possa fare ben poco, se non modificando la misura stessa. D'altra parte, come già fatto notare, l'incertezza del denominatore è già del 50% per cui non puoi pretendere che il risultato della divisione abbia una incertezza relativa migliore, anche se il numeratore fosse ottenuto con una incertezza trascurabile.
Nella teroria della misura è infatti nota la criticità che si verifica quando una piccola quantità è ottenuta dalla differenza di due quantità grandi simili tra loro.

ciao

[Cauchy1]

Avete entrambi perfettamente ragione. Grazie!
Quello che posso fare é cercare di determinare con più accuratezza i $\Delta x_i$.
Avete sennò altri metodi per calcolare l'errore?

Grazie ancora

Buon pomeriggio

[robbstark1]

Se le misure sono quelle non puoi ridurre l'errore. Ci sono altri metodi che anzi lo incrementano!
Quello conviene fare sperimentalmente è di misurare direttamente i $Delta x$, anzichè misurare le due posizioni e fare la differenza.
Buon pomeriggio.

[Cauchy1]

A dire il vero nel mio esperimento non ho fatto variare la distanza x fra detector e sorgente, ma, per mantenere la superficie del detector costante ho fatto variare la pressione interna alla camera contente D e S. L'esperimento é stato svolto con aria come gas.
Ora la mia posizione é data da ($x_0=40 mm$) $x=x_0 \cdot p/p_0 \cdot T_0/T (mm)$
Facendo una derivata ho già tolto l'errore su $x_0$ e su $T$ che erano costanti all'interno della camera.
L'errore $\Delta x$ viene quindi dall'accuratezza che ho sulla pressione. Ora, il fabbricante del manometro digitale promette un errore inferiore allo 0.5 %. Il mio errore viene da questo. Dove ho il problema, cioé dove la derivata ha un errore GRANDE, lavoro con pressioni di 900, 910, 920... mbar. Secondo me non é sensato di parlare di un errore dello 0.5% su delle misure prese una dopo l'altra in questi intervalli (5 mbar sono troppi!).
Oserei proporre di prendere semplicemente un errore sulla pressione costante, diciamo $1 $ mbar.
Che ne dite?

[robbstark1]

Capisco il problema che le misure sono poco distinguibili, se prese così vicine, con un errore così grande, però non si possono rimpicciolire gli errori a piacere. Piuttosto se vuoi calcolare $(dE)/(dx)$ puoi fittare una funzione $E(x)$ con un programma, anche artigianale, che applichi ad esempio il metodo dei minimi quadrati (non so se l'hai studiato). Questo ti darà degli errori sui parametri. Poi calcoli la derivata e applichi le solite formule di propagazione. In questo modo l'errore si dovrebbe ridurre un po', ma non so di quanto.

[Cauchy1]

ok! Grazie.