Calcolo con simbolo di Levi-Civita
Ciao a tutti!
C'è un calcolo che non riesco a capire, è la prima volta che sfrutto tale simbolo e non riesco proprio a farmi tornare il risultato.
Il libro vorrebbe calcolare, in un discorso di MQ
$L^2=L_iL_i$ dove si usa la notazione di sommatoria sottointesa per simboli ripetuti (da qui in avanti).
Dice che, sfruttando:
il commutatore $[x_j,p_k]=iħδ_(kj)$
la proprietà del simbolo: $epsilon_(ijk)epsilon_(ilm)=δ_(jl)δ_(km)-δ_(jm)δ_(kl)$
unito a $p_kx_k=x_kp_k+3iħI$ (dove il 3 è dovuto agli indici che corrono su x,y,z)
Si perviene al risultato: $vecL^2=vecr^2vecp^2+iħ(vecr*vecp)-(vecr*vecp)^2$
Ho provato in mille modi ma non riesco a districarmi con 'sti indici:
$vecL^2=epsilon_(ijk)epsilon_(ilm)x_jp_kx_lp_m=(δ_(jl)δ_(km)-δ_(jm)δ_(kl))*(x_jp_kx_lp_m)=δ_(jl)δ_(km)(x_jp_kx_lp_m)-δ_(jm)δ_(kl)(x_jp_kx_lp_m)=x_jp_kx_jp_k-x_jp_kx_kp_j$
ma nulla, ho provato ad applicare il commutatore su tutti i casi xp ma non mi esce, forse ho già sbagliato prima?
Chiedo gentilmente una mano sui calcoli e utilizzo degli indici, perché mi sono bloccata
C'è un calcolo che non riesco a capire, è la prima volta che sfrutto tale simbolo e non riesco proprio a farmi tornare il risultato.
Il libro vorrebbe calcolare, in un discorso di MQ
$L^2=L_iL_i$ dove si usa la notazione di sommatoria sottointesa per simboli ripetuti (da qui in avanti).
Dice che, sfruttando:
il commutatore $[x_j,p_k]=iħδ_(kj)$
la proprietà del simbolo: $epsilon_(ijk)epsilon_(ilm)=δ_(jl)δ_(km)-δ_(jm)δ_(kl)$
unito a $p_kx_k=x_kp_k+3iħI$ (dove il 3 è dovuto agli indici che corrono su x,y,z)
Si perviene al risultato: $vecL^2=vecr^2vecp^2+iħ(vecr*vecp)-(vecr*vecp)^2$
Ho provato in mille modi ma non riesco a districarmi con 'sti indici:
$vecL^2=epsilon_(ijk)epsilon_(ilm)x_jp_kx_lp_m=(δ_(jl)δ_(km)-δ_(jm)δ_(kl))*(x_jp_kx_lp_m)=δ_(jl)δ_(km)(x_jp_kx_lp_m)-δ_(jm)δ_(kl)(x_jp_kx_lp_m)=x_jp_kx_jp_k-x_jp_kx_kp_j$
ma nulla, ho provato ad applicare il commutatore su tutti i casi xp ma non mi esce, forse ho già sbagliato prima?
Chiedo gentilmente una mano sui calcoli e utilizzo degli indici, perché mi sono bloccata
Risposte
Ciao,
\[ \vec{L}^2 = x_j p_k x_j p_k - x_j p_k x_k p_j = x_j x_j p_k p_k - i \hbar x_j p_j - x_j x_k p_k p_j + 3 i \hbar x_j p_j = x_j x_j p_k p_k - i \hbar x_j p_j - x_j x_k p_j p_k + 3 i \hbar x_j p_j \]
nell' ultimo passaggio ho usato il fatto che i momenti diversi commutano fra loro. A questo punto, nel terzo termine basta usare la regola di commutazione canonica per scambiare di posto $x_k$ e $p_j$
\[ \vec{L}^2 = x_j x_j p_k p_k - x_j p_j x_k p_k + i\hbar x_j p_j \]
che è quanto si voleva:
\[ \vec{L}^2 = \vec{x}^2\vec{p}^2 - \left(\vec{x}\cdot\vec{p}\right)^2 + i \hbar \vec{x}\cdot\vec{p} \]
il problema è questa relazione, in quanto la relazione di commutazione \([x_j,p_k] = i \hbar \delta_{jk}\) implica in realtà \(p_k x_k = x_k p_k - 3 i \hbar\)
\[ \vec{L}^2 = x_j p_k x_j p_k - x_j p_k x_k p_j = x_j x_j p_k p_k - i \hbar x_j p_j - x_j x_k p_k p_j + 3 i \hbar x_j p_j = x_j x_j p_k p_k - i \hbar x_j p_j - x_j x_k p_j p_k + 3 i \hbar x_j p_j \]
nell' ultimo passaggio ho usato il fatto che i momenti diversi commutano fra loro. A questo punto, nel terzo termine basta usare la regola di commutazione canonica per scambiare di posto $x_k$ e $p_j$
\[ \vec{L}^2 = x_j x_j p_k p_k - x_j p_j x_k p_k + i\hbar x_j p_j \]
che è quanto si voleva:
\[ \vec{L}^2 = \vec{x}^2\vec{p}^2 - \left(\vec{x}\cdot\vec{p}\right)^2 + i \hbar \vec{x}\cdot\vec{p} \]
unito a pkxk=xkpk+3iħI (dove il 3 è dovuto agli indici che corrono su x,y,z)
il problema è questa relazione, in quanto la relazione di commutazione \([x_j,p_k] = i \hbar \delta_{jk}\) implica in realtà \(p_k x_k = x_k p_k - 3 i \hbar\)
Grazie!
Si in effetti mi ero accorta di questo e ho pensato a un typo del libro sul segno.
Ma mi incastravo in qualcosa di molto più stupido perché mi fermavo al penultimo passaggio perché non avevo pensato di commutare p
quindi mi bloccavo lì e non riuscivo a vedere oltre.
"Lampo1089":
il problema è questa relazione, in quanto la relazione di commutazione \([x_j,p_k] = i \hbar \delta_{jk}\) implica in realtà \(p_k x_k = x_k p_k - 3 i \hbar\)
Si in effetti mi ero accorta di questo e ho pensato a un typo del libro sul segno.
Ma mi incastravo in qualcosa di molto più stupido perché mi fermavo al penultimo passaggio perché non avevo pensato di commutare p
quindi mi bloccavo lì e non riuscivo a vedere oltre.
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