Calcolo campo elettrico per r>R
Salve ho questo problema:
Un filo rettilineo è carico con densità lineare $-lambda$; una superficie cilindrica indefinita, di raggio $R=2 cm$ avente il filo come asse è carica con una densità superficiale $sigma$. Se la ddp tra P1(R1 = 1cm dall'asse) e P2(R2 = 4cm dall'asse) è nulla quanto vale il rapporto $sigma/lambda$ ?
Ora il libro l'ho risolve facendo :
\( \triangle V = \int_{R_1}^{R_2} E_{\lambda}\, dr + \int_{R_0}^{R_2} E_{\sigma}\, dr \)
dove (cito il libro):
Campo del filo $ E_{\lambda} = -((\lambda)/(2\piE_0r))*u_r $, campo della superficie nullo per $r <= R_0$ e pari a $E_{\sigma}=(\sigma*R_0)/(E_0 r)*u_r$ per $r>=R_0$
Due cose non mi sono chiare:
1.il significato della frase in grassetto
2. per $r>R0$ la carica interna non è data dalla carica del filo più la carica del cilindro? cioè $q_{interna} = q_f + q_c = -\lambda*l + \sigma*2\piR_0l$ di conseguenza il campo per E(r>R) è diverso da quello proposto nella soluzione.
Un filo rettilineo è carico con densità lineare $-lambda$; una superficie cilindrica indefinita, di raggio $R=2 cm$ avente il filo come asse è carica con una densità superficiale $sigma$. Se la ddp tra P1(R1 = 1cm dall'asse) e P2(R2 = 4cm dall'asse) è nulla quanto vale il rapporto $sigma/lambda$ ?
Ora il libro l'ho risolve facendo :
\( \triangle V = \int_{R_1}^{R_2} E_{\lambda}\, dr + \int_{R_0}^{R_2} E_{\sigma}\, dr \)
dove (cito il libro):
Campo del filo $ E_{\lambda} = -((\lambda)/(2\piE_0r))*u_r $, campo della superficie nullo per $r <= R_0$ e pari a $E_{\sigma}=(\sigma*R_0)/(E_0 r)*u_r$ per $r>=R_0$
Due cose non mi sono chiare:
1.il significato della frase in grassetto
2. per $r>R0$ la carica interna non è data dalla carica del filo più la carica del cilindro? cioè $q_{interna} = q_f + q_c = -\lambda*l + \sigma*2\piR_0l$ di conseguenza il campo per E(r>R) è diverso da quello proposto nella soluzione.
Risposte
La frase in grassetto si riferisce al fatto che il campo elettrico dovuto alla superficie cilindrica è nullo all'interno della stessa (basta applicare Gauss)
a ok...e per la seconda?
La superficie cilindrica ha una densità di carica diversa sulla faccia esterna e su quella interna.
Quella interna dà luogo ad una carica uguale ed opposta a quella del filo assiale, quella esterna è formata da due componenti, quella uguale a quella interna ( indotta) più eventualmente qualcos'altro.
In sostanza la carica esterna "incorpora" per così dire quella del filo, che viene neutralizzato dalla carica indotta interna, per cui ha ragione il libro, per il campo esterno conta solo $sigma$. Formalmente, se vuoi usare Gauss, devi mettere in conto anche la carica indotta sulla faccia interna del cilindro.
Diverso sarebbe stato se le due densità $sigma$ e $lambda$ fossero date per i due oggetti separati, e poi il filo fosse infilato nel cilindro. In questo caso la densità esterna cambierebbe.
Quella interna dà luogo ad una carica uguale ed opposta a quella del filo assiale, quella esterna è formata da due componenti, quella uguale a quella interna ( indotta) più eventualmente qualcos'altro.
In sostanza la carica esterna "incorpora" per così dire quella del filo, che viene neutralizzato dalla carica indotta interna, per cui ha ragione il libro, per il campo esterno conta solo $sigma$. Formalmente, se vuoi usare Gauss, devi mettere in conto anche la carica indotta sulla faccia interna del cilindro.
Diverso sarebbe stato se le due densità $sigma$ e $lambda$ fossero date per i due oggetti separati, e poi il filo fosse infilato nel cilindro. In questo caso la densità esterna cambierebbe.
Premessa: ti torna il campo elettrico delle due distribuzioni di carica con quello proposto?
Campo del filo $ E_{\lambda} = -((\lambda)/(2\piepsilon_0r))u_r $
Campo della superficie cilindrica: nullo per $ r <= R_0 $; pari a $E_{\sigma}=(\sigmaR_0)/(epsilon_0 r)u_r$ per $ r>=R_0 $
Hai provato a calcolarlo?
Campo del filo $ E_{\lambda} = -((\lambda)/(2\piepsilon_0r))u_r $
Campo della superficie cilindrica: nullo per $ r <= R_0 $; pari a $E_{\sigma}=(\sigmaR_0)/(epsilon_0 r)u_r$ per $ r>=R_0 $
Hai provato a calcolarlo?
"Maurizio Zani":
Premessa: ti torna il campo elettrico delle due distribuzioni di carica con quello proposto?
Campo del filo $ E_{\lambda} = -((\lambda)/(2\piepsilon_0r))u_r $
Campo della superficie cilindrica: nullo per $ r <= R_0 $; pari a $E_{\sigma}=(\sigmaR_0)/(epsilon_0 r)u_r$ per $ r>=R_0 $
Hai provato a calcolarlo?
il campo di un filo indefinito è banale
per il cilindro mi esce $E = (-\lambda + \sigma2\piR_0)/(E_0*2\piR_2)$
"mgrau":
La superficie cilindrica ha una densità di carica diversa sulla faccia esterna e su quella interna.
Quella interna dà luogo ad una carica uguale ed opposta a quella del filo assiale, quella esterna è formata da due componenti, quella uguale a quella interna ( indotta) più eventualmente qualcos'altro.
In sostanza la carica esterna "incorpora" per così dire quella del filo, che viene neutralizzato dalla carica indotta interna, per cui ha ragione il libro, per il campo esterno conta solo $ sigma $. Formalmente, se vuoi usare Gauss, devi mettere in conto anche la carica indotta sulla faccia interna del cilindro.
Diverso sarebbe stato se le due densità $ sigma $ e $ lambda $ fossero date per i due oggetti separati, e poi il filo fosse infilato nel cilindro. In questo caso la densità esterna cambierebbe.
con questo ragionamento tutto torna.
La frase in grassetto è il punto chiave per risolvere il problema ma dalla traccia io non riesco a capirlo.
avevo pensato all'induzione però in maniera diversa ovvero per induzione si creava -Q_filo nella superfice interna e quindi + Q_filo sulla superfice esterna che si somma alla Q_cilindro ritornando quindi al mio problema in cui la carica interna è $Q_filo +(-Q_filo) + (Q_filo + Q_cilindro)$
---
Più guardo l'esercizio e più trovo errori nella mia risoluzione ad esempio per il campo interno gli estremi di integrazione vanno da R2 a R1 mentre io ho preso R0 a R1 pensando che il campo "interno" (ovvero il campo del filo) agisse soltanto all'interno del cilindro cosa non vera
"mgrau":
La superficie cilindrica ha una densità di carica diversa sulla faccia esterna e su quella interna.
Quella interna dà luogo ad una carica uguale ed opposta a quella del filo assiale, quella esterna è formata da due componenti, quella uguale a quella interna ( indotta) più eventualmente qualcos'altro.
Mah, io vedo il problema (filo a parte) come un cilindro di spessore trascurabile avente densità superficiale di carica $sigma$ fissata, non tirerei in ballo la carica indotta dal filo (non stiamo parlando di conduttori, mi sembra)
"Maurizio Zani":
Mah, io vedo il problema (filo a parte) come un cilindro di spessore trascurabile avente densità superficiale di carica $sigma$ fissata, non tirerei in ballo la carica indotta dal filo (non stiamo parlando di conduttori, mi sembra)
Effettivamente, così è molto più semplice
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo