Calcolo campo elettrico con metodo "diretto"

[Daniele Florian]

Salve,
per calcolare un campo elettrico generato, ad esempio, da un filo data la densità lineare di carica sappiamo che si può usare Gauss. Ma il libro esamina anche il calcolo diretto, che ovviamente avviene con un integrale ma che non riesco a motivare fino in fondo.
Sta scritto (l densità di carica):

$ E(r) = int_(-oo )^(oo ) k*l*r/(r^2+z^2)^(3/2) dz $

E' come sommare infinite cariche puntiforme, giusto? perchè soprattutto non capisco perchè al denominatore l' esponente sia 3/2.. dalla legge di Coulomb avrei messo $d^2$ al denominatore...

[lordb]

Caso discreto:

$vec E_(text{tot})=sum_i^n vec E_i=sum_i^n 1/(4piepsilon_0)*Q_i/(r-r_i)^2* (vec r -vec r_i)/||vec r -vec r_i||=sum_i^n 1/(4piepsilon_0)*Q_i/(r-r_i)^3* (vec r -vec r_i)$

Caso continuo:

$vec E_(text{tot})=int_q 1/(4piepsilon_0)*(dq)/(r-r')^3* (vec r -vec r')=1/(4piepsilon_0)int_q (dq)/(r-r')^3* (vec r -vec r')$

Nel tuo caso,lavorando su $z$:


$vec E_(text{tot})=1/(4piepsilon_0)int_q (dq)/(r-r')^3* (z - z')=1/(4piepsilon_0)int_q (dq)/(r-r')^3* (z - z')=1/(4piepsilon_0)int_(text{tot}) (lambda*dz)/(r-r')^3* (z - z')$



La distanza di ogni punto sull'asse $x$ dalla carica $dq$ è $r-r'=sqrt(r^2+z^2)$

La distanza di ogni punto sull'asse $x$ dall'asse $z$ è $z-z'=r$

$vec E_(text{tot}) = 1/(4piepsilon_0)int_(text{tot}) (lambda*dz)/(sqrt(r^2+z^2))^3* r = 1/(4piepsilon_0)int_(text{tot}) (lambda*dz)/(r^2+z^2)^(3/2)* r$