Calcolo Campo E in un cilindro
Salve
Dato un cilindro con asse coincidente con l asse z e base sul piano xy di altezza h e raggio R, sul quale è distribuita una carica Q con densità volumetrica \(\displaystyle \rho=az \). Calcolare E prodotto dal cilindro in un punto sull asse z fuori dal cilindro.
Io mi sono calcolato Q =\(\displaystyle \rho*\pi*R^2*h \)
e successivamente E= \(\displaystyle Q:4*\pi*\epsilon*r^2 \) dove r è la distanza del generico punto nell asse z dal cilindro.
Può andare?
Dato un cilindro con asse coincidente con l asse z e base sul piano xy di altezza h e raggio R, sul quale è distribuita una carica Q con densità volumetrica \(\displaystyle \rho=az \). Calcolare E prodotto dal cilindro in un punto sull asse z fuori dal cilindro.
Io mi sono calcolato Q =\(\displaystyle \rho*\pi*R^2*h \)
e successivamente E= \(\displaystyle Q:4*\pi*\epsilon*r^2 \) dove r è la distanza del generico punto nell asse z dal cilindro.
Può andare?
Risposte
Ciao e benvenuto sul forum.
A occhio direi di no, in primo luogo hai calcolato la carica $Q$ come se la densità fosse costante, cosa evidentemente non vera. Se proprio vuoi trovare la carica totale del cilindro devi integrare la densità $rho=a*z$ sull'intero volume, così:
[size=120][tex]Q=\int _{V}\varrho (z)dV=a\int_{0}^{h}zdz\int _{x^{2}+y^{2}\leq R^{2}}dxdy=\frac{1}{2}ah^{2}\pi R^{2}[/tex][/size].
In seconda istanza, hai calcolato il campo elettrico come se la carica $Q$ di cui sopra fosse puntiforme, mentre non lo è. Anche qua devi ricorrere al calcolo integrale; prova a dare un'occhiata, per esempio qua a pagina 8 e seguenti, su come si calcola:
1. il campo elettrico prodotto da un anello carico nei punti del suo asse;
2. quello, dedotto dal precedente, di un disco carico;
il campo prodotto dal cilindro può essere espresso come sovrapposizione di campi di quest'ultimo esempio, scomponendo il cilindro in infiniti dischi di spessore infinitesimo e quindi integrando rispetto alla sua altezza. E' piuttosto laborioso, posso ovviamente sbagliarmi ma francamente non mi vengono in mente metodi più elementari.
"icarus85":
Può andare?
A occhio direi di no, in primo luogo hai calcolato la carica $Q$ come se la densità fosse costante, cosa evidentemente non vera. Se proprio vuoi trovare la carica totale del cilindro devi integrare la densità $rho=a*z$ sull'intero volume, così:
[size=120][tex]Q=\int _{V}\varrho (z)dV=a\int_{0}^{h}zdz\int _{x^{2}+y^{2}\leq R^{2}}dxdy=\frac{1}{2}ah^{2}\pi R^{2}[/tex][/size].
In seconda istanza, hai calcolato il campo elettrico come se la carica $Q$ di cui sopra fosse puntiforme, mentre non lo è. Anche qua devi ricorrere al calcolo integrale; prova a dare un'occhiata, per esempio qua a pagina 8 e seguenti, su come si calcola:
1. il campo elettrico prodotto da un anello carico nei punti del suo asse;
2. quello, dedotto dal precedente, di un disco carico;
il campo prodotto dal cilindro può essere espresso come sovrapposizione di campi di quest'ultimo esempio, scomponendo il cilindro in infiniti dischi di spessore infinitesimo e quindi integrando rispetto alla sua altezza. E' piuttosto laborioso, posso ovviamente sbagliarmi ma francamente non mi vengono in mente metodi più elementari.
grazie intanto 
allora io devo calcolarmi l elemento infinitesimo di carica, che in questo caso considero il disco, e sarebbe
dq = \(\displaystyle \rho*\pi*R^2 \) ?
e poi per calcolare E devo fare un integrale su tutto il cilindro da 0 a h ?
allora io devo calcolarmi l elemento infinitesimo di carica, che in questo caso considero il disco, e sarebbe
dq = \(\displaystyle \rho*\pi*R^2 \) ?
e poi per calcolare E devo fare un integrale su tutto il cilindro da 0 a h ?
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