Calcoli per stabilità alla Ljapunov

[Gauss91]

Ciao a tutti! Questo problema mi si è presentato studiando mecanica razionale, per la precisione stabilità alla Ljapunov.
Il problema è fondamentalmente algebrico: si deve dimostrare che l'origine $(0,0)$ è stabile per l'oscillatore armonico. Le equazioni di fase sono ovviamente

${(x(t;x_0;v_0) = x_0cosomegat+v_0/(omegat)sinomegat),(v(t;x_0;v_0) = -x_0omegasinomegat+v_0cosomegat))$

E per dimostrare l'asserto si giunge, da queste equazioni, alla disuguaglianza

$|x(t)| + |(v(t))/omega| <= 2(|x_0| + |v_0/omega|)$

Da cui segue l'asserto. Ora, quello che non capisco è proprio PERCHE' (con quali passaggi) da quelle due equazioni di giunge a quella disuguaglianza, e a che scopo proprio a quella e non ad un'altra.
Grazie in anticipo per le eventuali risposte!

[gugo82]

Ma secondo me il coefficiente del $sin omega t$ nella prima uguaglianza è $v_0/omega$...

Inotre è facile vedere che:

$|x(t)|+|(v(t))/omega|<=|x_0|(|cos omega t|+|sin omega t|)+|v_0/omega|(|cos omega t|+|sin omega t|)$

(per disuguaglianza triangolare); d'altre parte $|cos omega t|+|sin omega t|<=1+1=2$ e la tua disuguaglianza segue maggiorando di conseguenza i membri di quella che ho scritto sopra.

[Gauss91]

Sìsì scusa ho fatto un errore di battitura ovvio che è $v_0/omega$. Ho capito l'ultimo passaggio, ossia l'ottenimento della disuguaglianza tramite maggiorazione dei membri dell'equazione, ma ancora non mi è chiaro perché quella disuguaglianza è una triangolare, dato che per me triangolare è della forma $|x+y| <= |x|+|y|$, e non riesco a vedere (sarà la stanchezza e l'ora, sarà la mancanza di allenamento) come quella si possa ridurre a questa forma.
Scusate per la persistenza dell'incomprensione, e vi ringrazio ancora se mi arriveranno risposte più dettagliate.

[gugo82]

Beh, te lo mostro: applicando la disuguaglianza triangolare e l'uguaglianza $|ab|=|a|*|b|$ trovi:

$|x(t)|=|x_0 cos omega t +v_0/omega sin omega t|<=|x_0 cos omega t|+|v_0/omega sin omega t|=|x_0|*|cos omega t|+|v_0/omega|*|sin omega t|$

$|(v(t))/omega|=|-x_0 sin omega t +v_0/omega cos omega t|<=|x_0|*|sin omega t|+|v_0/omega|*|cos omega t|$

da cui, sommando m.a.m. i membri più esterni, si ricava:

$|x(t)|+|(v(t))/omega|<=|x_0|*(|cos omega t|+|sin omega t|) +|v_0/omega|*(|cos omega t|+|sin omega t|)$

e poi si finisce come sai.


P.S.: Mi sa che il tuo avatar è un po' pesante... Sicuro che rispetti i limiti di dimensione imposti dal regolamento (cfr. 2.3)?

[Gauss91]

No scusa, non ci avevo mai fatto caso, ma l'ho sostituita con una più piccola con area minore di 169 x 169 pixel.
Comunque adesso ho capito! Che sbadato era anche banale, grazie comunque per la precisazione!
Ciao!

[gugo82]

Prego.