Calcolare l'energia del campo elettrostatico
Calcolare l'energia del campo elettrostatico generato da una carica q contenuta in un conduttore sferico ri raggio r1 avvolto in un guscio sferico di raggio interno r2>r1 e raggio esterno r3 di materiale con costante dielettrica relativa $ epsilon _r $
Con i dielettrici non ho molta confidenza e solo da poco ho avuto modo di chiarirmi alcuni dubbi in un recente post. A primo impatto mi viene da pensare al classico esempio della sfera conduttrice cava, per cui bisogna trovare il campo elettrostatico nelle diverse regioni e poi calcolare l'energia; tuttavia qui il guscio è un dielettrico, in questo caso come si valuta la polarizzazione? Il campo internamente al dielettrico come lo ricavo? Insomma ho poche idee e molti dubbi, aspetto con ansia il vostro aiuto. Grazie.
Con i dielettrici non ho molta confidenza e solo da poco ho avuto modo di chiarirmi alcuni dubbi in un recente post. A primo impatto mi viene da pensare al classico esempio della sfera conduttrice cava, per cui bisogna trovare il campo elettrostatico nelle diverse regioni e poi calcolare l'energia; tuttavia qui il guscio è un dielettrico, in questo caso come si valuta la polarizzazione? Il campo internamente al dielettrico come lo ricavo? Insomma ho poche idee e molti dubbi, aspetto con ansia il vostro aiuto. Grazie.
Risposte
Dunque il primo passo è immaginare come è avvenuta la polarizzazione del sistema quando hai inserito il dielettrico. Il campo in assenza di dielettrico è radiale, $ E_0=E(r)u_r $.
Se il dielettrico è lineare la polarizzazione avviene parallela al campo quindi $ P=P(r)u_r $, ma allora sapendo che $ D=epsilon_0 E+P $ anche l'induzione dielettrica è radiale visto che è la somma di due campi radiali $ D=D(r)u_r $.
A questo punto sei in grado di applicare il teorema di Gauss al vettore $ D $ che sai che è costante in modulo e direzione sulla superficie sferica. La carica contenuta dalla superficie variabile che devi considerare è solo quella libera.
Credo che poi tu non abbia problemi a ricavarti tutto quanto una volta trovato $ D $ (nota la relazione$ P=epsilon_0 \chi E $, ricordo che il campo elettrico è quello totale di carica libera e polarizzazione, se per qualche ragione vuoi solo quello di polarizzazione ti ricavi le densità da $P $ e te lo calcoli). L'energia si ricava facilmente integrando la densità di energia $ u_e=1/2 epsilon E^2 $. Ovviamente in ogni regione di spazio va considerata la costante $ epsilon $ opportuna, quindi dovrai spezzare l'integrale.
Se il dielettrico è lineare la polarizzazione avviene parallela al campo quindi $ P=P(r)u_r $, ma allora sapendo che $ D=epsilon_0 E+P $ anche l'induzione dielettrica è radiale visto che è la somma di due campi radiali $ D=D(r)u_r $.
A questo punto sei in grado di applicare il teorema di Gauss al vettore $ D $ che sai che è costante in modulo e direzione sulla superficie sferica. La carica contenuta dalla superficie variabile che devi considerare è solo quella libera.
Credo che poi tu non abbia problemi a ricavarti tutto quanto una volta trovato $ D $ (nota la relazione$ P=epsilon_0 \chi E $, ricordo che il campo elettrico è quello totale di carica libera e polarizzazione, se per qualche ragione vuoi solo quello di polarizzazione ti ricavi le densità da $P $ e te lo calcoli). L'energia si ricava facilmente integrando la densità di energia $ u_e=1/2 epsilon E^2 $. Ovviamente in ogni regione di spazio va considerata la costante $ epsilon $ opportuna, quindi dovrai spezzare l'integrale.
ok anche questa è fatta grazie
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