Calcolare le armoniche sferiche data una f. d'onda

[bad.alex]

Buona sera. Volevo chiedervi come calcolare le armoniche sferiche data una funzione d'onda. Ho cercato già un pò in giro, sui vari siti, ma non ho trovato molti esempi che riportassero passo passo lo svolgimento e le operazioni intermedie.
La funzione d'onda che ho è la seguente:

$ psi (r, \theta, \phi) = 1/(sqrt(4*pi))(e^(i \phi) sin( \theta)+ cos (\theta)) g(r) $
dove
$int (|g(r)|^2)r^2dr=1$

Vi ringrazio per l'aiuto

[bad.alex]

In un semplice esempio che ho provato a svolgere, la funzione d'onda era $ \psi (r, \theta, \phi) = x^2+y^2-2z^2 = r^2cos^2\theta cos^2\phi+ r^2sin^2\theta sin^2\phi- 2r^2cos^2\theta$
Con raccoglimenti a fattor comune e scrivendo $sin^2\theta = 1-cos^2 \theta$ e applicando al coseno la formula di Eulero, ho trovato che l=2 e m=0 quindi la funzione d'onda in armoniche sferiche da me trovata è:

$ \psi = -r^2 sqrt(5/(16*pi))Y_20 (\theta \phi)$
in realtà il risultato corretto è $ \psi = -r^2 sqrt((16*pi)/5)Y_20 (\theta \phi)$ ma mi sfugge un passaggio. Calcoli trigonometrici per semplificarmi la funzione postata all'inizio non riesco a farli...