Calcolare il momento di inerzia di una barra sottile
Salve a tutti. Avrei un problema nel calcolare il momento di inerzia di una barra.
Il problema si esprime in questo modo: Ci sono 2 barre uniformi sottili entrambi di lunghezza 0.5 m delle quali una pesa 8 libbre e l'altra 24 libbre. Le barre vengono saldate formando una barra di 1 metro.
Devo trovare la locazione dell'asse rispetto a cui il momento di inerzia ha il valore più piccolo e trovare questo valore.
In teoria dovrei scegliere un asse di simmetria per avere momento di inerzia minimo ($I=(ML^2)/12$) ma trovandomi con una barra totale di massa non uniforme sono andato un pò in tilt. Allora ho pensato che l'asse per cui abbiamo il minore momento di inerzia è l'asse passante per il centro di massa.
Ho calcolato il centro di massa in questo modo:
Ho fissato un sistema di assi cartesiani all'estremità della barra composta.
quindi
$x_cm =frac{8*0.5 + 24*1}{8+24} = 0.875 $
Ora la formula del momento di inerzia è
$I= MR^2$
dove $M = 8+24$
ma per il Raggio cosa scrivo??
$R=0.875$
oppure
$R=1 - 0.875= 0.125$
E' giusto fino a qui? Ho fatto qualche errore? Criticate e giudicate, ne ho bisogno
Il problema si esprime in questo modo: Ci sono 2 barre uniformi sottili entrambi di lunghezza 0.5 m delle quali una pesa 8 libbre e l'altra 24 libbre. Le barre vengono saldate formando una barra di 1 metro.
Devo trovare la locazione dell'asse rispetto a cui il momento di inerzia ha il valore più piccolo e trovare questo valore.
In teoria dovrei scegliere un asse di simmetria per avere momento di inerzia minimo ($I=(ML^2)/12$) ma trovandomi con una barra totale di massa non uniforme sono andato un pò in tilt. Allora ho pensato che l'asse per cui abbiamo il minore momento di inerzia è l'asse passante per il centro di massa.
Ho calcolato il centro di massa in questo modo:
Ho fissato un sistema di assi cartesiani all'estremità della barra composta.
quindi
$x_cm =frac{8*0.5 + 24*1}{8+24} = 0.875 $
Ora la formula del momento di inerzia è
$I= MR^2$
dove $M = 8+24$
ma per il Raggio cosa scrivo??
$R=0.875$
oppure
$R=1 - 0.875= 0.125$
E' giusto fino a qui? Ho fatto qualche errore? Criticate e giudicate, ne ho bisogno
Risposte
Partendo dall'origine semplicemente hai il centro di massa di uno che si trova a $l/2$ e il centro di massa dell'altro a $3/2l$.Quindi :$(l/2m_1+3/2lm_2)/(m_1+m_2)$
"legendre":
Partendo dall'origine semplicemente hai il centro di massa di uno che si trova a $l/2$ e il centro di massa dell'altro a $3/2l$.Quindi :$(l/2m_1+3/2lm_2)/(m_1+m_2)$
forse volevi dire $l/4$ e $3/4l$
la prima sbarra ha un estremo nell'origine e l'altro in $x=l$,l'altra sbarra ha un estremo in $x=l$ e l'altro in $x=2l$.Il centro di massa del primo e' quindi in $l/2$
e dell'altro e' nella sua meta' che si trova in $x=3/2l$
e dell'altro e' nella sua meta' che si trova in $x=3/2l$
"legendre":
la prima sbarra ha un estremo nell'origine e l'altro in $x=l$,l'altra sbarra ha un estremo in $x=l$ e l'altro in $x=2l$.Il centro di massa del primo e' quindi in $l/2$
e dell'altro e' nella sua meta' che si trova in $x=3/2l$
Ah... con l=0.5 ci sono.
Per la restante parte hai qualche suggerimento?
Non so se riuscirai a seguire il ragionamento anche se dubito che esercizi del genere valgano a qualcosa:
La prima sbarretta di massa m_1 ha un estremo nell'origine e l'atro in $l$,la seconda di massa m_2 inizia in $l$ e termina in $2l$.
Calcola il momento di inerzia della prima sbarretta,ipotizzando che un asse passa per esempio oltre $3/2l$ ,sapendo che il suo centro di massa
e' in $l/2$.Per il teorema di Huygens $I_(s1)=I_(1c)+m_1h^2=1/12m_1l^2+m_1(a-l/2)^2$ dove $a-l/2=h$ e' la distanza dell'asse di rotazione $a$ dal centro di massa
della prima sbarretta che e' in $l/2$
Calcola il momento di inerzia della seconda sbarretta,ipotizzando che un asse passa per esempio oltre $3/2l$ ,sapendo che il suo centro di massa
e' in $3/2l$.Per il teorema di Huygens $I_(s2)=I_(2c)+m_2h^2=1/12m_2l^2+m_2(a-3/2l)^2$ dove $a-3/2l=h$ e' la distanza dell'asse di rotazione $a$ dal centro di massa
della seconda sbarretta che e' in $3/2l$
Il momento di inerzia totale e:$I_t=I_(s1)+I_(s2)=1/12m_1l^2+m_1(a-l/2)^2+1/12m_2l^2+m_2(a-3/2l)^2$.Per il momento di inerzia massimo basta che derivi
$I'_t=0$ cioe':$2m_1(a-l/2)+2m_2(a-3/2l)=0$ da cui:$a=l/2((m_1+3m_2)/(m_1+m_2))$ che e' l'espressione che avevo trovato prima se l'asse passa
proprio per il centro di massa
La prima sbarretta di massa m_1 ha un estremo nell'origine e l'atro in $l$,la seconda di massa m_2 inizia in $l$ e termina in $2l$.
Calcola il momento di inerzia della prima sbarretta,ipotizzando che un asse passa per esempio oltre $3/2l$ ,sapendo che il suo centro di massa
e' in $l/2$.Per il teorema di Huygens $I_(s1)=I_(1c)+m_1h^2=1/12m_1l^2+m_1(a-l/2)^2$ dove $a-l/2=h$ e' la distanza dell'asse di rotazione $a$ dal centro di massa
della prima sbarretta che e' in $l/2$
Calcola il momento di inerzia della seconda sbarretta,ipotizzando che un asse passa per esempio oltre $3/2l$ ,sapendo che il suo centro di massa
e' in $3/2l$.Per il teorema di Huygens $I_(s2)=I_(2c)+m_2h^2=1/12m_2l^2+m_2(a-3/2l)^2$ dove $a-3/2l=h$ e' la distanza dell'asse di rotazione $a$ dal centro di massa
della seconda sbarretta che e' in $3/2l$
Il momento di inerzia totale e:$I_t=I_(s1)+I_(s2)=1/12m_1l^2+m_1(a-l/2)^2+1/12m_2l^2+m_2(a-3/2l)^2$.Per il momento di inerzia massimo basta che derivi
$I'_t=0$ cioe':$2m_1(a-l/2)+2m_2(a-3/2l)=0$ da cui:$a=l/2((m_1+3m_2)/(m_1+m_2))$ che e' l'espressione che avevo trovato prima se l'asse passa
proprio per il centro di massa
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