Caduta libera verso il centro della terra - velocità e tempo
Ciao a tutti. Dovrei risolvere un problema di fisica che domanda: se ipoteticamente un oggetto dovesse cadere in caduta libera verso il centro della terra il cui raggio dall'equatore equivale a circa 6400 km, quale sarà la velocità finale raggiunto il centro? E quanto tempo impiegherebbe a cadere?
A me è sorto un dubbio quando ho considerato che l'accelerazione di gravità non è costante, ma diminuisce e cioè tende a 0 man mano che ci si avvicina al centro.
Io ho provato con la formula $v = sqrt( 2g * Δx)$ dove v = velocità finale g = accelerazione di gravità x = lunghezza
In questo modo mi risulterebbe essere $vf= 40340 km/h$ e $t = 19$ minuti
Ma tale formula prevede il variare di g nel tempo? Infatti l'getto quando si trova a 3200 km ha un accelerazione non più di $9.81 m/s^2$ ma della metà
A me è sorto un dubbio quando ho considerato che l'accelerazione di gravità non è costante, ma diminuisce e cioè tende a 0 man mano che ci si avvicina al centro.
Io ho provato con la formula $v = sqrt( 2g * Δx)$ dove v = velocità finale g = accelerazione di gravità x = lunghezza
In questo modo mi risulterebbe essere $vf= 40340 km/h$ e $t = 19$ minuti
Ma tale formula prevede il variare di g nel tempo? Infatti l'getto quando si trova a 3200 km ha un accelerazione non più di $9.81 m/s^2$ ma della metà
Risposte
ciao,
hai colto il punto del problema: la forza (e quindi l'accelerazione) all'interno della Terra non sono costanti, quindi non puoi semplicemente applicare le formule che scrivi perchè il moto non è uniformemente accelerato.
Se vuoi calcolarti effettivamente velocità e tempo, devi risolvere il problema utilizzando la reale accelerazione all'interno della Terra, che varia linearmente con la distanza dal centro: $ g=-kr $ dove k è una costante che ti puoi ricavare (non ti sto a scrivere il procedimento ma se ti interessa dimmelo pure), e vale $ k=GM/R^3 $ , dove M è la massa della Terra e R il suo raggio (G è la costante di gravitazione universale):
Adesso conoscendo l'accelerazione puoi calcolare tutti i dati che ti interessano, anche se non è proprio cosi semplice.. considera infatti che il moto che risulta è un moto armonico.. fammi sapere se sai procedere da qui altrimenti ti dò una mano..
hai colto il punto del problema: la forza (e quindi l'accelerazione) all'interno della Terra non sono costanti, quindi non puoi semplicemente applicare le formule che scrivi perchè il moto non è uniformemente accelerato.
Se vuoi calcolarti effettivamente velocità e tempo, devi risolvere il problema utilizzando la reale accelerazione all'interno della Terra, che varia linearmente con la distanza dal centro: $ g=-kr $ dove k è una costante che ti puoi ricavare (non ti sto a scrivere il procedimento ma se ti interessa dimmelo pure), e vale $ k=GM/R^3 $ , dove M è la massa della Terra e R il suo raggio (G è la costante di gravitazione universale):
Adesso conoscendo l'accelerazione puoi calcolare tutti i dati che ti interessano, anche se non è proprio cosi semplice.. considera infatti che il moto che risulta è un moto armonico.. fammi sapere se sai procedere da qui altrimenti ti dò una mano..
Questo risultato è corretto nell'ipotesi che la Terra abbia densità costante cosa che non è vera perché il centro è molto più denso del valor medio.
"mircoFN":
Questo risultato è corretto nell'ipotesi che la Terra abbia densità costante cosa che non è vera perché il centro è molto più denso del valor medio.
si, ho trascurato il fatto che la densità all'interno della Terra non è uniforme per semplificare il problema.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo