Caduta di gravi con massa diversa nel vuoto?
Due gravi con massa diversa cadono con una velocità diversa nell'aria, invece in assenza di aria, nel vuoto cadono con la stessa velocità. L'accelerazione di gravità (9,81 m/s quadro) rimane costante per tutti e due i corpi sia nell'aria che nel vuoto (supponendo che l'esperimento avvenga sulla Terra, dentro un tubo di newton). F = a m, l'accelerazione è costante, la massa è diversa, quindi la forza esercitata sui corpi è diversa, sia nel vuoto che nell'aria. Ciò che viene a mancare nel vuoto è la forza di attrito dell'aria, e quel che mi chiedo è: perchè nel vuoto i corpi hanno velocità costante se, pur in assenza di attrito, la forza esercitata da essi resta diversa? E più in generale, in che modo l'attrito influenza la caduta dei gravi? Nel senso che, dipende solo dalla superficie o anche dalla massa del grave?
Risposte
Analizziamo i due casi separatamente:
CASO 1: caduta di un corpo di massa m in presenza di aria
Un corpo di massa [tex]m[/tex] che cade, sotto l'effetto della forza di gravità [tex]mg[/tex], attraverso l'aria è descritta dalla seguente equazione della dinamica, dove [tex]R_v[/tex] è la resistenza dell'aria (che dipende dalla velocità e avrà espressione del tipo [tex]R_v=\mu v[/tex], con [tex]\mu[/tex] coefficiente di attrito viscoso)
[tex]R_v - mg = m\ddot{x}[/tex]
e quindi l'accelerazione del corpo è data da [tex]\ddot{x} =\frac{R_v}{m} - g[/tex] ovvero l'accelerazione dipende, in questo caso, dalla massa del corpo.
CASO 2: caduta di un corpo di massa [tex]m[/tex] nel vuoto, quindi [tex]R_v=0[/tex]
[tex]-mg = m\ddot{x}[/tex]
e quindi l'accelerazione del corpo è data da [tex]\ddot{x} = -g[/tex] ovvero non dipende dalla massa del corpo.
Ciò significa che due corpi con masse diverse avranno la medesima accelerazione se fatti cadere nel vuoto
CASO 1: caduta di un corpo di massa m in presenza di aria
Un corpo di massa [tex]m[/tex] che cade, sotto l'effetto della forza di gravità [tex]mg[/tex], attraverso l'aria è descritta dalla seguente equazione della dinamica, dove [tex]R_v[/tex] è la resistenza dell'aria (che dipende dalla velocità e avrà espressione del tipo [tex]R_v=\mu v[/tex], con [tex]\mu[/tex] coefficiente di attrito viscoso)
[tex]R_v - mg = m\ddot{x}[/tex]
e quindi l'accelerazione del corpo è data da [tex]\ddot{x} =\frac{R_v}{m} - g[/tex] ovvero l'accelerazione dipende, in questo caso, dalla massa del corpo.
CASO 2: caduta di un corpo di massa [tex]m[/tex] nel vuoto, quindi [tex]R_v=0[/tex]
[tex]-mg = m\ddot{x}[/tex]
e quindi l'accelerazione del corpo è data da [tex]\ddot{x} = -g[/tex] ovvero non dipende dalla massa del corpo.
Ciò significa che due corpi con masse diverse avranno la medesima accelerazione se fatti cadere nel vuoto
Scusate se riapro il thread ma è uno dei fenomeni più affascinanti. Rigiro la domanda..
Perché fisicamente nel vuoto un corpo deve cadere (essere attratto) sempre alla stessa velocità quando la massa è differente (facendo variare quindi la forza) .. Cioè è come se, a distanze anche notevoli, una massa enorme sapesse quale sia la massa dell'oggetto da attrarre e di conseguenza ne "calibra" la forza da applicare.
Ad oggi qual è la tesi più accreditata al riguardo?
Perché fisicamente nel vuoto un corpo deve cadere (essere attratto) sempre alla stessa velocità quando la massa è differente (facendo variare quindi la forza) .. Cioè è come se, a distanze anche notevoli, una massa enorme sapesse quale sia la massa dell'oggetto da attrarre e di conseguenza ne "calibra" la forza da applicare.
Ad oggi qual è la tesi più accreditata al riguardo?
Beh, puoi vederla anche in questo modo ... la forza di attrazione di una massa "attraente" è sempre la stessa, quella che varia è l'accelerazione dell'oggetto "attratto" che dipende, appunto, dalla massa di quest'ultimo.
La forza di attrazione, in effetti, varia con la distanza, ma a parità di distanza è sempre la stessa; un po' come una fonte luminosa o sonora: a distanze maggiori l'intensità diminuisce, perché si distribuisce su una superficie maggiore, rimanendo però costante a parità di distanza.
Cioè, detto in altro modo, la massa "attraente" non sa niente della massa "attratta", lei "tira", è l'altra che "resiste" in modo più o meno marcato ... è come se tu spingessi una bici, una moto o una macchina: se usassi sempre tutta la forza che hai, la bici andrebbe più veloce della moto che andrebbe più veloce della macchina, e questo senza che tu sappia minimamente quanta forza stai usando ...
Questo in generale ...
Cmq, aspettiamo pareri molto più esperti ...
Cordialmente, Alex
La forza di attrazione, in effetti, varia con la distanza, ma a parità di distanza è sempre la stessa; un po' come una fonte luminosa o sonora: a distanze maggiori l'intensità diminuisce, perché si distribuisce su una superficie maggiore, rimanendo però costante a parità di distanza.
Cioè, detto in altro modo, la massa "attraente" non sa niente della massa "attratta", lei "tira", è l'altra che "resiste" in modo più o meno marcato ... è come se tu spingessi una bici, una moto o una macchina: se usassi sempre tutta la forza che hai, la bici andrebbe più veloce della moto che andrebbe più veloce della macchina, e questo senza che tu sappia minimamente quanta forza stai usando ...
Questo in generale ...
Cmq, aspettiamo pareri molto più esperti ...
Cordialmente, Alex
"TheOne2":
Cioè è come se, a distanze anche notevoli, una massa enorme sapesse quale sia la massa dell'oggetto da attrarre e di conseguenza ne "calibra" la forza da applicare.
Non è "come se"...è esattamente così che avviene
"TheOne2":
Ad oggi qual è la tesi più accreditata al riguardo?
In meccanica classica, la "tesi più accreditata" oggi...è quella che lo era già nel 1637, e cioè la legge di gravitazione universale di Newton. Il modulo della forza esercitata tra due masse $M$ ed $m$ distanti $r$ è:
\(\displaystyle F=G\frac{Mm}{r^2} \) ----------------- (1)
Consideriamo per il momento $M$ come "corpo attraente" (uso le virgolette perché in realta la forza è esercitata in modo reciproco e quindi entrambi i corpi possono essere considerati sia attraenti che attratti). La forza che sente $m$ è data dalla (1) che, come vedi, è proporzionale ad $m$, e quindi "calibrata" su $m$. Se al posto di $m$, mettiamo una massa $m_1$, la forza sentita da $m_1$ sarà:
\(\displaystyle F=G\frac{Mm_1}{r^2} \) ----------------- (2)
che come vedi è diversa dalla (1) perché essa è ancora "calibrata" su $m_1$
Tutto ciò deriva dal fatto che la legge di forza (1) è proporzionale alle masse in gioco. E il risultato a livello di moto, è che tutti gli oggetti attratti da una stessa massa $M$, avranno la stessa accelerazione; infatti, usando il secondo principio della dinamica, calcoliamo le accelerazioni dei corpi $m$ ed $m_1$ nei casi di sopra; l'accelarazione di $m$ sarà:
\(\displaystyle a_m=\frac{F_m}{m}=\frac{G\frac{Mm}{r^2}}{m}=G\frac{M}{r^2} \)
L'accelerazione di $m_1$ è invece:
\(\displaystyle a_{m_1}=\frac{F_{m_1}}{m_1}=\frac{G\frac{Mm_1}{r^2}}{m_1}=G\frac{M}{r^2} \)
Le due accelerazioni sono le stesse.
Secondo la teoria della relatività generale la spiegazione è diversa ma la sostanza non cambia.
@axpgn
Da quanto ho detto sopra, avrai capito che quello che dici non è esatto: la forza "attraente" di una massa non è sempre la stessa! Essa è proporzionale anche alla massa "attratta".
Vorrei fare una precisazione. Il secondo principio della dinamica afferma che $F=m a$, dove $m$ è la 'massa inerziale' del corpo.
Nella legge della gravitazione universale di Newton $F= G {m_1 m_2}/r^2$ si mettono di default le masse inerziali. Questo non sarebbe giusto. In verità vi andrebbero le 'masse gravitazionali' che, come le cariche elettriche ci dicono come due cariche si attraggono/respingono, esprimono come i corpi si attraggono gravitazionalmente.
La formula giusta sarebbe allora $F=G {\mu_1 \mu_2}/r^2$, dove mu1 e mu2 sono le masse gravitazionali.
Orbene, gli esperimenti mostrano che massa gravitazionale = massa inerziale.
Questa è una legge di natura che va sotto il nome di 'principio di equivalenza'.
Grazie a ciò, nella formula gravitazionale di Newton si usano porre le masse inerziali.
Ps. La relatività generale di Einstein comincia proprio dal principio di equivalenza...
Nella legge della gravitazione universale di Newton $F= G {m_1 m_2}/r^2$ si mettono di default le masse inerziali. Questo non sarebbe giusto. In verità vi andrebbero le 'masse gravitazionali' che, come le cariche elettriche ci dicono come due cariche si attraggono/respingono, esprimono come i corpi si attraggono gravitazionalmente.
La formula giusta sarebbe allora $F=G {\mu_1 \mu_2}/r^2$, dove mu1 e mu2 sono le masse gravitazionali.
Orbene, gli esperimenti mostrano che massa gravitazionale = massa inerziale.
Questa è una legge di natura che va sotto il nome di 'principio di equivalenza'.
Grazie a ciò, nella formula gravitazionale di Newton si usano porre le masse inerziali.
Ps. La relatività generale di Einstein comincia proprio dal principio di equivalenza...
@anonymous_af8479
hai perfettamente ragione, ma volevo rispondere a TheOne2 che aveva dubbi ad un livello molto elementare, per cui tirare in mezzo la distinzione tra i due tipi di masse mi sembrava un rimedio peggiore del male
hai perfettamente ragione, ma volevo rispondere a TheOne2 che aveva dubbi ad un livello molto elementare, per cui tirare in mezzo la distinzione tra i due tipi di masse mi sembrava un rimedio peggiore del male
"mathbells":
@axpgn
Da quanto ho detto sopra, avrai capito che quello che dici non è esatto: la forza "attraente" di una massa non è sempre la stessa! Essa è proporzionale anche alla massa "attratta".
Sì, sì, conosco la legge di gravitazione universale ma si vede che nello "sforzo" di vedere la questione da un punto di vista diverso ho fatto diventare l'intensità di campo gravitazionale (quella sì che è costante in dato punto per un certa massa "attraente" ... almeno così credo di avere capito
) uguale alla forza effettivamente generata sulla massa "attratta".Cordialmente, Alex
Giustissimo, mathbells!!! La precisazione era a corollario del tuo post per completezza nei confronti degli altri lettori 
@anonymous_af8479 
Grazie per le risposte
Adesso rimane solo il "perché". Da come avete accennato, ci pensa la relatività generale di Einstein. Da quel ho capito ogni massa crea una distorsione dello spazio - tempo, ed i pianeti creano l'effetto simile ad una palla pesante sopra un lenzuolo sospeso.
Bene, poniamo che lo spazio tempo (un lenzuolo) sia distorto "a forma d'imbuto" a causa di un pianeta (una palla di piombo ) . Perché un corpo (una biglia) nella sua orbita dovrebbe scivolare verso il centro. La pendenza del lenzuolo di per sé non fa scivolare la pallina. Cioè quello che voglio dire, non è sbagliato spiegare come avviene l'attrazione gravitazionale se nell'esempio utilizzi comunque la Gravità?
Adesso rimane solo il "perché". Da come avete accennato, ci pensa la relatività generale di Einstein. Da quel ho capito ogni massa crea una distorsione dello spazio - tempo, ed i pianeti creano l'effetto simile ad una palla pesante sopra un lenzuolo sospeso.
Bene, poniamo che lo spazio tempo (un lenzuolo) sia distorto "a forma d'imbuto" a causa di un pianeta (una palla di piombo ) . Perché un corpo (una biglia) nella sua orbita dovrebbe scivolare verso il centro. La pendenza del lenzuolo di per sé non fa scivolare la pallina. Cioè quello che voglio dire, non è sbagliato spiegare come avviene l'attrazione gravitazionale se nell'esempio utilizzi comunque la Gravità?
"TheOne2":
Grazie per le risposte
Adesso rimane solo il "perché". Da come avete accennato, ci pensa la relatività generale di Einstein.
Se la tua domanda è "perché" temo che nemmeno Einstein ti possa aiutare. La RG non fa che cambiare il "perché" ma non dà risposte in quel senso. Non sono competente in RG (quindi mi aspetto correzioni a quanto dico) ma mentre la teoria di Newton dice che le masse si muovono una verso l'altra perché c'è una forza che le attrae, Einstein dice che lo fann perché lo spazio-tempo è curvo (ed elimina quindi il concetto di forza gravitazionale). Per avere risposte ai perché della natura temo che dovremo aspettare la teoria del tutto...ma la vedo dura
Si potrebbe dire che due corpi in un campo gravitazionale hanno la stessa accelerazione indipendentemente dalla loro massa, a causa del fatto che la carica gravitazionale e la massa di un corpo sono uguali. Ma così il problema viene semplicemente spostato: perchè la carica grav. e la massa di un coprpo sono uguali? Il fatto è che la fisica Newtoniana non riesce a spiegarlo e bisogna quindi introdurlo ad "hoc" nella teoria; cioè, è un fatto sperimentale di cui dobbiamo tener conto, che non è previsto dalla teoria (sperimentalmente la carica gravitazionale si misura con la bilancia a due braccia, mentre la massa con la bilancia inerziale).
Ovviamente si puo' rovesciare la questione: la carica gravitazionale e la massa di un corpo sono uguali perchè due corpi di massa diversa cadono con la stessa accelerazione, fatto sperimentale non deducibile dalla teoria; infatti essa non proibisce il fatto che le accelerazioni siano diverse. Se si fanno i conti si ottiene:
$ g=(G Q q)/(m d^2) $ (1)
dove Q è la carica gravitazionale della Terra, q quella del corpo, m la massa del corpo, d la distanza dal centro della Terra. Come si vede l'accelerazione di gravità dipende dalla massa. Dato però che sperimentalmente questa dipendenza non si vede, l'unico modo per accordare la teoria con l'esperimento è richiedere che q/m=1 (carica e massa sono uguali).
Veniamo alla Relatività Generale (RG): qui semplicemente il problema non sussiste, infatti in tale teoria la forza di gravità, vista come interazione tra campi generati da cariche non c'è più. Quello che noi chiamiamo campo gravitazionale non è altro che una conseguenza della deformazione dello spazio-tempo dovuto alla massa-energia. In altra parole, non esiste la carica gravitazionale e quindi la questione dell'uguaglianza tra questa e la massa non ha più ragione d'essere. Potremo quindi affermare che due corpi in "moto libero" hanno la stessa accelerazione, perchè si muovono lungo la linea più breve fra due punti dello spazio-tempo (geodetica).
N.B. 1 Quella che ho qui chiamato "carica gravitaionale" è spesso chiamata "massa gravitazionale". Secondo me questo termine non fa altro che generare una grande confusione. Chiamare massa, una cosa che in realtà è una carica, non aiuta certo la chiarezza.
N.B 2 Per amore di semplicità ho scritto sopra, che l'unico modo per accordare la teoria con l'esperimento, è richiedere che q/m=1. E' facile però rendersi conto guardando la (1), che in realtà è sufficiente richiedere q/m=k, con k, costante universale. Ma data l'universalità di k, sarà poi sempre possibile rendere tale costante adimensionale e uguale ad 1, con adeguate unità di misura.
Ovviamente si puo' rovesciare la questione: la carica gravitazionale e la massa di un corpo sono uguali perchè due corpi di massa diversa cadono con la stessa accelerazione, fatto sperimentale non deducibile dalla teoria; infatti essa non proibisce il fatto che le accelerazioni siano diverse. Se si fanno i conti si ottiene:
$ g=(G Q q)/(m d^2) $ (1)
dove Q è la carica gravitazionale della Terra, q quella del corpo, m la massa del corpo, d la distanza dal centro della Terra. Come si vede l'accelerazione di gravità dipende dalla massa. Dato però che sperimentalmente questa dipendenza non si vede, l'unico modo per accordare la teoria con l'esperimento è richiedere che q/m=1 (carica e massa sono uguali).
Veniamo alla Relatività Generale (RG): qui semplicemente il problema non sussiste, infatti in tale teoria la forza di gravità, vista come interazione tra campi generati da cariche non c'è più. Quello che noi chiamiamo campo gravitazionale non è altro che una conseguenza della deformazione dello spazio-tempo dovuto alla massa-energia. In altra parole, non esiste la carica gravitazionale e quindi la questione dell'uguaglianza tra questa e la massa non ha più ragione d'essere. Potremo quindi affermare che due corpi in "moto libero" hanno la stessa accelerazione, perchè si muovono lungo la linea più breve fra due punti dello spazio-tempo (geodetica).
N.B. 1 Quella che ho qui chiamato "carica gravitaionale" è spesso chiamata "massa gravitazionale". Secondo me questo termine non fa altro che generare una grande confusione. Chiamare massa, una cosa che in realtà è una carica, non aiuta certo la chiarezza.
N.B 2 Per amore di semplicità ho scritto sopra, che l'unico modo per accordare la teoria con l'esperimento, è richiedere che q/m=1. E' facile però rendersi conto guardando la (1), che in realtà è sufficiente richiedere q/m=k, con k, costante universale. Ma data l'universalità di k, sarà poi sempre possibile rendere tale costante adimensionale e uguale ad 1, con adeguate unità di misura.
"TheOne2":
Grazie per le risposte
Adesso rimane solo il "perché". Da come avete accennato, ci pensa la relatività generale di Einstein. Da quel ho capito ogni massa crea una distorsione dello spazio - tempo, ed i pianeti creano l'effetto simile ad una palla pesante sopra un lenzuolo sospeso.
Bene, poniamo che lo spazio tempo (un lenzuolo) sia distorto "a forma d'imbuto" a causa di un pianeta (una palla di piombo ) . Perché un corpo (una biglia) nella sua orbita dovrebbe scivolare verso il centro. La pendenza del lenzuolo di per sé non fa scivolare la pallina. Cioè quello che voglio dire, non è sbagliato spiegare come avviene l'attrazione gravitazionale se nell'esempio utilizzi comunque la Gravità?
Penso di aver capito il tuo legittimo dubbio, TheOne2.
E ti dico che questo esempio in cui si utilizza un telo elastico, sul quale si mette una palla "pesante" che incurva la superficie del lenzuolo, sicché la pallina posta in "vicinanza dell'imbuto" ci cade dentro, per spiegare l'attrazione gravitazionale(la pallina che "cade") come conseguenza della curvatura dello spaziotempo (il telo elastico curvato dalla palla che "gravita" verso terra) è abbastanza ingannevole!
La gravitazione della pallina spiegata con la gravitazione!
Hai perfettamente ragione. Pochi sono gli autori di libri divulgativi sulla Relatività Generale che mettono in guardia il lettore contro l'insidia che si cela dietro questo esempio, uno di questi è, per fortuna, Brian Greene (se ricordo bene!), che dice appunto ai lettori, nei suoi libri : " Attenzione però, l'analogia del telo appesantito dalla palla non è del tutto precisa, e può trarre in inganno…"
L'analogia va presa solo nel senso che la "massa-energia incurva lo spaziotempo" .
Ora, dove c'è una derivata seconda dello spazio in Geometria si parla di "curvatura" , in Fisica si parla di "accelerazione". Dovremmo renderci conto che una massa $M$ crea un campo di accelerazioni, curvando lo spaziotempo, non un campo di "forze gravitazionali" . Allora è facile capire che se in un punto del campo di accelerazioni creato da $M$ mettiamo una massa $m$, questo subisce l'accelerazione che trova in quel punto, che non dipende da $m$ evidentemente.
Allego 4 paginette di un recente libro di un epistemologo della fisica, Jurgen Renn : " La rivoluzione incompiuta di Albert Einstein" , dove si spiega il concetto, giungendo alle parole poste sotto l'equazione (6) su cui richiamo l'attenzione.
Riguardo poi al "perché" succede che la massa-energia curva lo ST, non lo sa nessuno, come hanno già detto.
Come diceva Margherita Hack : " LA Scienza è in grado di spiegare "come" avvengono molti fenomeni naturali (non tutti). Ma non è affatto in grado di spiegare "perché" essi avvengono" .
Rinnovo i ringraziamenti per le risposte ricevute ^^
Quindi se si potessero creare corpi con masse elevatissime e poterle disporre nello spazio si potrebbero sfruttare per creare un sistema di acceleratori per le sonde / astronavi
Quindi se si potessero creare corpi con masse elevatissime e poterle disporre nello spazio si potrebbero sfruttare per creare un sistema di acceleratori per le sonde / astronavi
Scusate a questo punto è sorto un dubbio anche a me, in presenza di attrito dell' aria e supponendo che la forza gravitazionale non vari al variare dell' altezza, considero 2 corpi di massa $m_1$ ed $m_2$ diverse tra loro e supponiamo per assurdo (anche se è impossibile credo o forse dipende dalla densità?) che siano fatti dello stesso materiale, della stessa dimensione e forma. Se il loro moto parte da uno stato di quiete esse cadranno al suolo con la stessa accelerazione (arriveranno insieme)?
Ho letto in questo post che considerando la resistenza dell' aria $R_v$ allora avremo che l' accelerazione dipenderà dalla massa cioè (tralasciando i passaggi ed usando la stessa simbologia) $x^('')=R_v/m-g$ quindi dipende solo dalla massa e teoricamente quindi il corpo di massa superiore dovrebbe arrivare prima… Giusto?
Ho letto in questo post che considerando la resistenza dell' aria $R_v$ allora avremo che l' accelerazione dipenderà dalla massa cioè (tralasciando i passaggi ed usando la stessa simbologia) $x^('')=R_v/m-g$ quindi dipende solo dalla massa e teoricamente quindi il corpo di massa superiore dovrebbe arrivare prima… Giusto?
Se tieni conto della resistenza dell'aria, il corpo più pesante arriva prima. Fai cadere una pallina di celluloide e una pallina di acciaio di uguale diametro da una stessa altezza, e vedrai.
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