Caccia all'errore: ragionamento sbagliato in presenza di dielettrici
Supponiamo di avere due situazioni fisiche
1). Un cubo di materiale dielettrico (mezzo lineare, $epsilon_r>1$) immerso in un campo elettrico che all'infinito vale E0.
2). Stesso di prima, ma stavolta invece di un cubo ho un pezzo di dielettrico a forma di cavallo.
I due problemi soddisfano entrambi la stessa equazione differenziale:
$\nabla^2 \phi = 0$
$ E(infty)=E0$.
INFATTI, tale equazione e soddisfatta dove non c'è il dielettrico. Dentro il dielettrico, non essendoci cariche libere, avrei $\nabla \cdot D = 0$.
Ma il mezzo e lineare, $D=epsilon E$.
In conclusione, nel dielettrico si segue la stessa equazione del vuoto.
Per l'unicità con condizione al bordo di neumann, o c'è il cubo o c'è il cuore o c'è il mostro di lochness, il campo in tutto lo spazio e sempre uguale.
Com'e possibile?
In particolare, come so prova rigorosamente che, fissata la condizione all'infinito, e univocamente determinata la polarizzazione P?
1). Un cubo di materiale dielettrico (mezzo lineare, $epsilon_r>1$) immerso in un campo elettrico che all'infinito vale E0.
2). Stesso di prima, ma stavolta invece di un cubo ho un pezzo di dielettrico a forma di cavallo.
I due problemi soddisfano entrambi la stessa equazione differenziale:
$\nabla^2 \phi = 0$
$ E(infty)=E0$.
INFATTI, tale equazione e soddisfatta dove non c'è il dielettrico. Dentro il dielettrico, non essendoci cariche libere, avrei $\nabla \cdot D = 0$.
Ma il mezzo e lineare, $D=epsilon E$.
In conclusione, nel dielettrico si segue la stessa equazione del vuoto.
Per l'unicità con condizione al bordo di neumann, o c'è il cubo o c'è il cuore o c'è il mostro di lochness, il campo in tutto lo spazio e sempre uguale.
Com'e possibile?
In particolare, come so prova rigorosamente che, fissata la condizione all'infinito, e univocamente determinata la polarizzazione P?
Risposte
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"newton_1372":
I due problemi soddisfano entrambi la stessa equazione differenziale:
$\nabla^2 \phi = 0$
$ E(infty)=E0$.
INFATTI, tale equazione e soddisfatta dove non c'è il dielettrico. Dentro il dielettrico, non essendoci cariche libere, avrei $\nabla \cdot D = 0$.
e su questo non ci piove
"newton_1372":
Ma il mezzo e lineare, $D=epsilon E$.
ok
"newton_1372":
il campo in tutto lo spazio e sempre uguale
no, perchè
$epsilon=epsilon_ {r}epsilon_{0}$ e la costante dielettrica relativa $epsilon_{r}$ nel vuoto è...
infatti come è giusto che sia il campo nel dielettrico è pari al campo elettrico nel vuoto scalato di una costante che è proporzionale alla polarizzazione del mezzo
Forse non hai capito bene il mio ragionamento.
Che equazioni valgono dentro il dielettrico?
div epsilon E = 0 <=> epsilon div E= 0 <=> div E=0
Che e la stress equazione che vale fuori dal mezzo! Segue che punto per punto, sia dentro che fuori il dielettrico, vale il sistema
Div E=0
Rot E=0
. Ergo il dielettrico può avere qualunque forma, ci riconduciamo sempre alle equazioni in assenza di dielettrico.
Credo che l'assurdo sia da cercare altrove: il teorema di unicità forse vale solo per campi differenzia oli (o comunque sufficientemente "buoni").
Che equazioni valgono dentro il dielettrico?
div epsilon E = 0 <=> epsilon div E= 0 <=> div E=0
Che e la stress equazione che vale fuori dal mezzo! Segue che punto per punto, sia dentro che fuori il dielettrico, vale il sistema
Div E=0
Rot E=0
. Ergo il dielettrico può avere qualunque forma, ci riconduciamo sempre alle equazioni in assenza di dielettrico.
Credo che l'assurdo sia da cercare altrove: il teorema di unicità forse vale solo per campi differenzia oli (o comunque sufficientemente "buoni").
Non credo che tu possa porre $ nabla cdot \vec E = 0 $ in tutto lo spazio, nella situazione che hai descritto. Se il dielettrico è polarizzato, avrai sempre una densità superficiale di carica di polarizzazione, in corrispondenza della quale il campo elettrico è discontinuo.
Inoltre, questo:
non è sempre vero
La costante dielettrica puoi portarla fuori dalla divergenza solo se il dielettrico è omogeneo, altrimenti all'interno del dielettrico si ha:
$nabla cdot \vec D = 0$ cioè $nabla cdot (epsilon_0 \vec E + \vec P) = 0$ e quindi $nabla cdot \vec E = - \frac {1} {epsilon_0} nabla cdot \vec P = \frac {rho_p} {epsilon_0}$
dove $rho_p$ è la densità spaziale di cariche di polarizzazione
Inoltre, questo:
"newton_1372":
Che equazioni valgono dentro il dielettrico?
div epsilon E = 0 <=> epsilon div E= 0 <=> div E=0
non è sempre vero
La costante dielettrica puoi portarla fuori dalla divergenza solo se il dielettrico è omogeneo, altrimenti all'interno del dielettrico si ha:
$nabla cdot \vec D = 0$ cioè $nabla cdot (epsilon_0 \vec E + \vec P) = 0$ e quindi $nabla cdot \vec E = - \frac {1} {epsilon_0} nabla cdot \vec P = \frac {rho_p} {epsilon_0}$
dove $rho_p$ è la densità spaziale di cariche di polarizzazione
Riconduciamoci pure al caso di dielettrici omogenei (tanto solo quelli compaiono negli esercizi).
Mi si potrebbe dimostrare che, fissato E0 all'infinito, e fissata un certo dielettrico nello spazio, i due campi sono perfettamente determinati, facendomi vedere che si ci riconduce al teorema di unicita secondo Neumann (o dirichlet)?
Il problema principale è questo: all'inizio io non so quant'è la polarizzazione, quindi non so le sigmap (assegnando la quale potrei individuare univocamente il campo dentro il dielettrico).
Di solito si usano le condizioni di raccordo tra fuori e dentro, ma questo basta per trovare univocamente la sigma senza dover fare delle "assunzioni" a priori? O meglio, come si vede che la sigma possibile è solo una (in modo da dare piena giustificazione dell'approccio "Per tentativi")?
Faccio un tentativo: immagino di risolvere il problema prima nella zona di spazio esterna al dielettrico. Ho il campo E0 all'infinito, però non ho il campo sulla superficie: non posso usare il teorema di unicità per trovare E in tutto lo spazio.
Per motivi simili non posso usare il teorema di unicità per trovare il campo dentro il dielettrico, perchè non so che condizioni al contorno mettere...
Posso mettere una sigmap qualsiasi (generica). IN questo modo sono univocamente individuati due campi (uno dentro il dielettrico e uno fuori) e poi scegliere sigmap in modo che siano soddisfatte le condizioni di raccordo. Ma questo è sufficiente per individuare univocamente la sigmap? (o meglio, potrebbe esistere un altra sigmap che crea le stesse condizioni di raccordo tra i due spazi, e nel contempo rispetta le condizioni ai bordi?)
Insomma vorrei solo essere convinto che il problema del dielettrico immerso in un campo esterno sia "ben posto", non so se mi seguite
Mi si potrebbe dimostrare che, fissato E0 all'infinito, e fissata un certo dielettrico nello spazio, i due campi sono perfettamente determinati, facendomi vedere che si ci riconduce al teorema di unicita secondo Neumann (o dirichlet)?
Il problema principale è questo: all'inizio io non so quant'è la polarizzazione, quindi non so le sigmap (assegnando la quale potrei individuare univocamente il campo dentro il dielettrico).
Di solito si usano le condizioni di raccordo tra fuori e dentro, ma questo basta per trovare univocamente la sigma senza dover fare delle "assunzioni" a priori? O meglio, come si vede che la sigma possibile è solo una (in modo da dare piena giustificazione dell'approccio "Per tentativi")?
Faccio un tentativo: immagino di risolvere il problema prima nella zona di spazio esterna al dielettrico. Ho il campo E0 all'infinito, però non ho il campo sulla superficie: non posso usare il teorema di unicità per trovare E in tutto lo spazio.
Per motivi simili non posso usare il teorema di unicità per trovare il campo dentro il dielettrico, perchè non so che condizioni al contorno mettere...
Posso mettere una sigmap qualsiasi (generica). IN questo modo sono univocamente individuati due campi (uno dentro il dielettrico e uno fuori) e poi scegliere sigmap in modo che siano soddisfatte le condizioni di raccordo. Ma questo è sufficiente per individuare univocamente la sigmap? (o meglio, potrebbe esistere un altra sigmap che crea le stesse condizioni di raccordo tra i due spazi, e nel contempo rispetta le condizioni ai bordi?)
Insomma vorrei solo essere convinto che il problema del dielettrico immerso in un campo esterno sia "ben posto", non so se mi seguite
up
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Miserere Nobis! (UP)
Nell'uppare vorrei riassuumere la questione che mi tormenta.
Il problema di elettrostatica con dielettrici è un problema "ben posto"? Nel senso, fissate
1). Le condizioni al contorno all'infinito
2). La forma del dielettrico
3). Le condizioni di raccordo tra i campi dentro e fuori del dielettrico (si conserva la componente ortogonale di D e la componente parallela di E)
E' univocamente determinato il campo in entrambe le regioni (dentro e fuori)?
Come si fa a vedere che in ciascuno dei semispazi ho una condizione al bordo ben definita? Il campo è fissato all'infinito, ma non sul dielettrico, quindi non posso applicare dirichlet per trovare il campo fuori...lo stesso problema si presenta se volessi trovare il campo dentro il dielettrico....
Per semplicità assumiamo il dielettrico lineare e isotropo...
Il problema di elettrostatica con dielettrici è un problema "ben posto"? Nel senso, fissate
1). Le condizioni al contorno all'infinito
2). La forma del dielettrico
3). Le condizioni di raccordo tra i campi dentro e fuori del dielettrico (si conserva la componente ortogonale di D e la componente parallela di E)
E' univocamente determinato il campo in entrambe le regioni (dentro e fuori)?
Come si fa a vedere che in ciascuno dei semispazi ho una condizione al bordo ben definita? Il campo è fissato all'infinito, ma non sul dielettrico, quindi non posso applicare dirichlet per trovare il campo fuori...lo stesso problema si presenta se volessi trovare il campo dentro il dielettrico....
Per semplicità assumiamo il dielettrico lineare e isotropo...
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