Buco nero di schwarzchild
sto iniziando a studiare i buchi neri sul testo di carrol paragrafo 5.6.
Supponiamo di avere un osservatore in caduta libera che si sta avvicinando al raggio di schwarzchild ($r=2GM$) di un buco nero.
L'autore ad un certo punto dice :
as an infalling observer approches $r=2GM$ any fixed interval $\Delta\tau_1$ of their proper time correspond to a longer and longer interval $\Delta\tau_2$ from our point of view.
perchè questa cosa è vera? il libro non lo dice...
la spiegazione che mi sono dato è la seguente:
il tempo proprio dell'osservatore in caduta libera è:
$d\tau^2=(1-2GM/r) dt^2-(1/(1-(2GM/r))) dr^2$
che implica
$dt^2=(d\tau^2+1/(1-(2GM/r))dr^2)(1/(1-(2GM/r)))$
da questa formula si vede che più r tende a $2GM$ più $\Delta t $ diventa grande e quindi un osservatore esterno misurerà un tempo molto maggiore rispetto al tempo proprio dell'osservatore che sta entrando nel buco nero
é corretta come spiegazione?
Supponiamo di avere un osservatore in caduta libera che si sta avvicinando al raggio di schwarzchild ($r=2GM$) di un buco nero.
L'autore ad un certo punto dice :
as an infalling observer approches $r=2GM$ any fixed interval $\Delta\tau_1$ of their proper time correspond to a longer and longer interval $\Delta\tau_2$ from our point of view.
perchè questa cosa è vera? il libro non lo dice...
la spiegazione che mi sono dato è la seguente:
il tempo proprio dell'osservatore in caduta libera è:
$d\tau^2=(1-2GM/r) dt^2-(1/(1-(2GM/r))) dr^2$
che implica
$dt^2=(d\tau^2+1/(1-(2GM/r))dr^2)(1/(1-(2GM/r)))$
da questa formula si vede che più r tende a $2GM$ più $\Delta t $ diventa grande e quindi un osservatore esterno misurerà un tempo molto maggiore rispetto al tempo proprio dell'osservatore che sta entrando nel buco nero
é corretta come spiegazione?
Risposte
È proprio cosi, Baldo, correttissima.
Da pochissimo abbiamo parlato in maniera discorsiva di questo fatto, ritenuto un paradosso, mentre invece è solo una conseguenza della Geometria dello ST curvo attorno al buco nero di SCH. dove $ R_(\mu\nu) = 0$.
Se guardi in questo topic:
viewtopic.php?f=19&t=115891
vedrai che ad un certo punto ho messo un link ad un articolo dell'astrofisico J.P. Luminet, che descrive bene il fatto : il tempo proprio è finito, il tempo coordinato tende all'infinito all'avvicinarsi all'orizzonte degli eventi.
Un orologio posto in alto, in un campo gravitazionale creato da un corpo celeste, laddove il potenziale gravitazionale è maggiore che al suolo, va più in fretta rispetto all'orologio a terra. Se il corpo si riduce al suo raggio di Sch. il tempo coordinato sull'orizzonte degli eventi è, per così dire, congelato.
C'è anche il link ad un lungo articolo di Towsend, ma non te lo consiglio...
Scusa una osservazione: il raggio di Sch. , o lo indichi in unità geometrizzate : $ R_s = 2M $ ( massa in metri) , oppure lo indichi in unità tradizionali complete : $ R_s = (2GM)/c^2$ .
Perchè lasciarci $G$, e mettere solo $c=1$ ? Forse Carroll fa così? Insomma, è prassi comune porre : $ G/c^2 = 1$ .
Da pochissimo abbiamo parlato in maniera discorsiva di questo fatto, ritenuto un paradosso, mentre invece è solo una conseguenza della Geometria dello ST curvo attorno al buco nero di SCH. dove $ R_(\mu\nu) = 0$.
Se guardi in questo topic:
viewtopic.php?f=19&t=115891
vedrai che ad un certo punto ho messo un link ad un articolo dell'astrofisico J.P. Luminet, che descrive bene il fatto : il tempo proprio è finito, il tempo coordinato tende all'infinito all'avvicinarsi all'orizzonte degli eventi.
Un orologio posto in alto, in un campo gravitazionale creato da un corpo celeste, laddove il potenziale gravitazionale è maggiore che al suolo, va più in fretta rispetto all'orologio a terra. Se il corpo si riduce al suo raggio di Sch. il tempo coordinato sull'orizzonte degli eventi è, per così dire, congelato.
C'è anche il link ad un lungo articolo di Towsend, ma non te lo consiglio...
Scusa una osservazione: il raggio di Sch. , o lo indichi in unità geometrizzate : $ R_s = 2M $ ( massa in metri) , oppure lo indichi in unità tradizionali complete : $ R_s = (2GM)/c^2$ .
Perchè lasciarci $G$, e mettere solo $c=1$ ? Forse Carroll fa così? Insomma, è prassi comune porre : $ G/c^2 = 1$ .
grazie per la risposta e per i link, ci darò un'occhiata.
si carrol pone fin da subito $c=1$ mentre $G$ per quel che vedo rimane così.. sono convenzioni...
un ultima domanda se ti va
definisco come osservatore A quello che sta cadendo nel buco
definisco osservatore B quello che è lontano dal buo nero
nella formula che ho scritto, $dr^2$ che poi sarebbe più corretto scrivere $\Delta r^2$ è ,se no sbaglio, lo spazio percorso dall'osservaore in caduta verso il buco nero nel tempo $\Delta \tau$ ,
$r$ invece reppresenta la distanza istantanea dell'osservatore A dal centro del buco, $\Delta \tau$ è il tempo proprio dell'osservatore A, metre $\Delta t$ rappresenta il tempo che l'osservatore A impiega per percorrere il tratto $\Delta r$ misurato dall'osservatore B, ora la domanda è:
Ma la posizione dell'osservatore B non dovrebbe influenzare la misura?
detto in altri termini se B si trovasse ad una distanza $r_1$ dal buco oppure ad una distanza $r_2$ dal buco i risultati della misura non dovrebbero essere diversi?
Ti faccio questa domanda perchè nella formula che ho scritto la distanza dell'osservatore B dal centro del buco non compare, quindi sembra che indipendentemente da dove l'osservatore B si trovi il risulatato della misura non cambi
si carrol pone fin da subito $c=1$ mentre $G$ per quel che vedo rimane così.. sono convenzioni...
un ultima domanda se ti va
definisco come osservatore A quello che sta cadendo nel buco
definisco osservatore B quello che è lontano dal buo nero
nella formula che ho scritto, $dr^2$ che poi sarebbe più corretto scrivere $\Delta r^2$ è ,se no sbaglio, lo spazio percorso dall'osservaore in caduta verso il buco nero nel tempo $\Delta \tau$ ,
$r$ invece reppresenta la distanza istantanea dell'osservatore A dal centro del buco, $\Delta \tau$ è il tempo proprio dell'osservatore A, metre $\Delta t$ rappresenta il tempo che l'osservatore A impiega per percorrere il tratto $\Delta r$ misurato dall'osservatore B, ora la domanda è:
Ma la posizione dell'osservatore B non dovrebbe influenzare la misura?
detto in altri termini se B si trovasse ad una distanza $r_1$ dal buco oppure ad una distanza $r_2$ dal buco i risultati della misura non dovrebbero essere diversi?
Ti faccio questa domanda perchè nella formula che ho scritto la distanza dell'osservatore B dal centro del buco non compare, quindi sembra che indipendentemente da dove l'osservatore B si trovi il risulatato della misura non cambi
Francamente non ho ben capito la domanda, ma comunque credo che la tua ultima osservazione sia quella giusta.
Tieni presente comunque che in RG le misure di distanze e intervalli di tempo sono più complesse che in RR.
La nozione di distanza determinata tra corpi non ha, in generale, senso; essa ha solo un significato locale. L'unico caso in cui la distanza può essere definita anche in regioni finite dello spazio è quello di sistemi di riferimento dove i coefficienti della metrica non dipendono dal tempo, e di conseguenza l'integrale di $dl$ (distanza spaziale, non spaziotemporale) su una curva spaziale acquista un significato preciso.
Se cerchi il topic "bicicletta relativistica" (una discussione che facemmo forse un anno fa), vedi che ad un certo punto ho messo delle pagine tratte da Landau-Lifshitz "Teoria dei campi" , dove ti fa vedere come si calcolano intervalli di tempo e distanze in RG.
La metrica spaziale nella soluzione di Sch. è determinata dall'espressione di distanza spaziale :
$dl^2 = (dr^2)/(1-R_s/r) + r^2(sen^2\theta*d\phi^2 + d\theta^2) $
Anche questa formula è riportata in Landau-Lifshitz, nel cap XII (a pag 394) avente per argomento : "Campo dei gravi" . Attenzione che Landau usa la segnatura della metrica opposta a quella $+2$ di Carroll.
Spero che queste informazioni ti siano utili. Utile sarebbe avere il libro di Landau, in verità.
Tieni presente comunque che in RG le misure di distanze e intervalli di tempo sono più complesse che in RR.
La nozione di distanza determinata tra corpi non ha, in generale, senso; essa ha solo un significato locale. L'unico caso in cui la distanza può essere definita anche in regioni finite dello spazio è quello di sistemi di riferimento dove i coefficienti della metrica non dipendono dal tempo, e di conseguenza l'integrale di $dl$ (distanza spaziale, non spaziotemporale) su una curva spaziale acquista un significato preciso.
Se cerchi il topic "bicicletta relativistica" (una discussione che facemmo forse un anno fa), vedi che ad un certo punto ho messo delle pagine tratte da Landau-Lifshitz "Teoria dei campi" , dove ti fa vedere come si calcolano intervalli di tempo e distanze in RG.
La metrica spaziale nella soluzione di Sch. è determinata dall'espressione di distanza spaziale :
$dl^2 = (dr^2)/(1-R_s/r) + r^2(sen^2\theta*d\phi^2 + d\theta^2) $
Anche questa formula è riportata in Landau-Lifshitz, nel cap XII (a pag 394) avente per argomento : "Campo dei gravi" . Attenzione che Landau usa la segnatura della metrica opposta a quella $+2$ di Carroll.
Spero che queste informazioni ti siano utili. Utile sarebbe avere il libro di Landau, in verità.
be neanche a farlo apposta ho una copia cartacea del landau volume 2... questa qui
http://www.amazon.it/The-Classical-Theo ... s=landau+2
ci guarderò
a presto
ciao e grazie per la disponibilità
http://www.amazon.it/The-Classical-Theo ... s=landau+2
ci guarderò
a presto
ciao e grazie per la disponibilità
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