Buca di potenziale infinita e delta di dirac
Buonasera, ho dei dubbi sull' argomento indicato dal titolo, mi spiego meglio:
Se ho una particella confinata in una buca infinita unidimensionale con pareti in x=-a e x=a,
so che l' equazione di Shrodinger ha come soluzione una funzione d' onda oscillante di tipo seno o coseno.
Se prendo lo stesso sistema e aggiungo anche un potenziale "tipo delta di dirac" in zero , che succede?
Sicuramente fuori un intorno del punto zero le soluzioni restano quelle già trovate mentre in zero si deve assicurare la continuità della funzione d' onda e che la sua derivata prima sia discontinua (c'è un salto).
Vengo al mio dubbio: non capisco come scrivere la condizione di continuità della funzione d' onda nel punto zero.
Siccome in entrambe le zone [-a,0); (0,+a] le soluzioni sono oscillanti, mi verrebbe da dire:
Acos(kx)+Bsen(kx)=Ccos(kx)+Dsen(kx) che nel punto zero darebbe A=C.
Tuttavia, resterebbero comunque indeterminate le tre costanti A, B e D che non posso ricavare nemmeno dalla condizione sulla derivata.
Da queste considerazioni, credo di aver scritto qualcosa di ridondante oppure di aver mancato qualche condizione.
Domanda: Questa buca di potenziale infinita con dentro la delta di dirac, potrei vederla come due buche infinite l' una vicino all' altra? Se così fosse imporrei come condizione che sulla parete che hanno in comune (nel punto zero) la funzione d'onda debba annullarsi.
Spero di essere stata chiara e mi scuso se il mio dubbio risulta essere banale.
Se ho una particella confinata in una buca infinita unidimensionale con pareti in x=-a e x=a,
so che l' equazione di Shrodinger ha come soluzione una funzione d' onda oscillante di tipo seno o coseno.
Se prendo lo stesso sistema e aggiungo anche un potenziale "tipo delta di dirac" in zero , che succede?
Sicuramente fuori un intorno del punto zero le soluzioni restano quelle già trovate mentre in zero si deve assicurare la continuità della funzione d' onda e che la sua derivata prima sia discontinua (c'è un salto).
Vengo al mio dubbio: non capisco come scrivere la condizione di continuità della funzione d' onda nel punto zero.
Siccome in entrambe le zone [-a,0); (0,+a] le soluzioni sono oscillanti, mi verrebbe da dire:
Acos(kx)+Bsen(kx)=Ccos(kx)+Dsen(kx) che nel punto zero darebbe A=C.
Tuttavia, resterebbero comunque indeterminate le tre costanti A, B e D che non posso ricavare nemmeno dalla condizione sulla derivata.
Da queste considerazioni, credo di aver scritto qualcosa di ridondante oppure di aver mancato qualche condizione.
Domanda: Questa buca di potenziale infinita con dentro la delta di dirac, potrei vederla come due buche infinite l' una vicino all' altra? Se così fosse imporrei come condizione che sulla parete che hanno in comune (nel punto zero) la funzione d'onda debba annullarsi.
Spero di essere stata chiara e mi scuso se il mio dubbio risulta essere banale.
Risposte
E' una domanda tutt'altro che banale.
Non puoi vederle come 2 buche una a fianco all'altra perché, come saprai, lo "spessore" della delta di Dirac tende a zero, quindi di sicuro le due funzioni d'onda non sono affatto indipendenti ma interagiscono.
La delta di Dirac ha valore che tende a infinito e dominio che tende a zero, ma il prodotto dei due rimane fisso.
Per prima cosa ti cosa ti consiglierei di risolvere un problema piu' semplice, ovvero il caso di un onda che incontra una barriera di potenziale di larghezza e altezza finite.
Poi fai il limite e mandi la larghezza del dominio a zero e il valore a infinito, tenendo costante il prodotto.
Cosi' cominci a schiarirti le idee. Neanche io l'ho mai fatto, comunque l'onda dovrebbe proseguire attenuata ma "indisturbata".
Poi puoi provare a fare la stessa cosa prima inserendo una barriera finita in un buca infinita e restringendo la barriera come prima.
Ammesso che i calcoli siano fattibili.
Non puoi vederle come 2 buche una a fianco all'altra perché, come saprai, lo "spessore" della delta di Dirac tende a zero, quindi di sicuro le due funzioni d'onda non sono affatto indipendenti ma interagiscono.
La delta di Dirac ha valore che tende a infinito e dominio che tende a zero, ma il prodotto dei due rimane fisso.
Per prima cosa ti cosa ti consiglierei di risolvere un problema piu' semplice, ovvero il caso di un onda che incontra una barriera di potenziale di larghezza e altezza finite.
Poi fai il limite e mandi la larghezza del dominio a zero e il valore a infinito, tenendo costante il prodotto.
Cosi' cominci a schiarirti le idee. Neanche io l'ho mai fatto, comunque l'onda dovrebbe proseguire attenuata ma "indisturbata".
Poi puoi provare a fare la stessa cosa prima inserendo una barriera finita in un buca infinita e restringendo la barriera come prima.
Ammesso che i calcoli siano fattibili.
Ti ringrazio per la risposta,
in effetti la delta di dirac è un po "troppo stretta" per pensare che faccia da barriera, quindi l' ipotesi delle due buche vicine è assolutamente da scartare.
Cercherò di seguire il tuo suggerimento... Buona domenica sera
in effetti la delta di dirac è un po "troppo stretta" per pensare che faccia da barriera, quindi l' ipotesi delle due buche vicine è assolutamente da scartare.
Cercherò di seguire il tuo suggerimento... Buona domenica sera
"Bibi":
Vengo al mio dubbio: non capisco come scrivere la condizione di continuità della funzione d' onda nel punto zero.
Siccome in entrambe le zone [-a,0); (0,+a] le soluzioni sono oscillanti, mi verrebbe da dire:
Acos(kx)+Bsen(kx)=Ccos(kx)+Dsen(kx) che nel punto zero darebbe A=C.
Mi sembra ok.
Tuttavia, resterebbero comunque indeterminate le tre costanti A, B e D che non posso ricavare nemmeno dalla condizione sulla derivata.
Sicura? Io credo che tu possa ricavare una relazione che leghi B e D tramite la condizione sul salto della derivata. Poi ci sono le condizioni al contorno per via della buca infinita. E poi non dimentichiamo la normalizzazione della funzione d'onda. A meno che non ho frainteso del tutto il tuo problema.
Domanda: Questa buca di potenziale infinita con dentro la delta di dirac, potrei vederla come due buche infinite l' una vicino all' altra?
Sono d'accordo con Quinzio, si tratta di due cose fisicamente diverse IMHO.
Sicura? Io credo che tu possa ricavare una relazione che leghi B e D tramite la condizione sul salto della derivata. Poi ci sono le condizioni al contorno per via della buca infinita. E poi non dimentichiamo la normalizzazione della funzione d'onda. A meno che non ho frainteso del tutto il tuo problema.
Ciao, grazie per la risposta... Allora provo a portare avanti i calcoli.
Eravamo a:
Acos(kx) + Bsin(kx)
Ccos(kx) + Dsin(kx)
Dalla condizione di continuità della funzione d' onda in zero, ottenevamo A=C
Per la derivata prima discontinua, impongo: D - B = -2mA / kh^2
E' giusta questa ultima relazione? La A al secondo membro sarebbe la funzione d'onda calcolata nel punto zero.
Ho utilizzato due condizioni ed ho 4 variabili, escludendo la normalizzazione, mi manca un' ultima condizione, quale?
Mi scuso se non ho ancora imparato ad utilizzare la simbologia giusta (sono nuova
) e volevo precisare che quando scrivo "h" intendo "h tagliato".
"Bibi":
Dalla condizione di continuità della funzione d' onda in zero, ottenevamo A=C
Per la derivata prima discontinua, impongo: D - B = -2mA / kh^2
Ho utilizzato due condizioni ed ho 4 variabili, escludendo la normalizzazione, mi manca un' ultima condizione, quale?
La particella non e' in una buca di potenziale infinita? Ai confini della buca la funzione d'onda si deve annullare.
La particella non e' in una buca di potenziale infinita? Ai confini della buca la funzione d'onda si deve annullare.
Sì, deve essere che $psi(-a)=psi(a)=0$
$Acos(ka)-Bsin(ka)=0$ in $-a$
$Acos(ka)+Dsin(ka)=0$ in $a$
Da queste equazioni direi proprio che $B=-D$
Ricapitolando:
$A=C$
$B=-D$
Poi ho la condizione sulla derivata dove posso esprimere ad esempio $D$ in funzione di $A$ e poi $A$ dalla normalizzazione?
Se è così, mi ero persa proprio in un bicchier d' acqua...
d'oh
"Bibi":
Ricapitolando:
$A=C$
$B=-D$
Poi ho la condizione sulla derivata dove posso esprimere ad esempio $D$ in funzione di $A$ e poi $A$ dalla normalizzazione?
Si'. E non dimenticare che in MQ la normalizzazione della funzione e' in un certo senso arbitraria. Le condizioni al contorno sono condizioni fisicamente piu' significative.
Se è così, mi ero persa proprio in un bicchier d' acqua...
L'importante e' ritrovarsi
"yoshiharu":
L'importante e' ritrovarsi
Grazie per avermi aiutata a farlo
Ciao a tutti, sono capitata su questa pagina mentre cercavo di risolvere un problema simile...
Domanda: non bisognerebbe scindere il problema in "soluzioni pari" e "soluzioni dispari"?
Domanda: non bisognerebbe scindere il problema in "soluzioni pari" e "soluzioni dispari"?
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