Bracket con momento totale

[LoreT314]

Salve, nel calcolo delle correzioni fini di un atomo di idrogeno capita di dover effettuare conti di questo tipo
$$, dove $J$ è il momento totale.
Il mio professore scrive che questo bracket è uguale a $\int dr r^2 R_(n,l) 1/r R_(n,l)$ ma non riesco a capire in che modo le parti angolari si prendono cura di loro stesse. Io provavo a giustificarlo usando il fatto che $|n\, l \, s \, j \, m_j> =|n> \otimes |l\, s\, j \, m_j>$ ma non sono sicuro che sia vera quest'ultima cosa.

[Lampo1089]

E' corretto quanto dici: quando passi al calcolo nella rappresentazione delle coordinate le funzioni d'onda sono in forma fattorizzabile e l'integrale si fattorizza in un integrale radiale e un integrale angolare sull'angolo solido. Nell'integrale radiale consiste nel prodotto di modulo quadro della parte radiale della funzione d'onda moltiplicato per $1/r$ (oltre al termine $r^2$ che proviene dal jacobiano della trasformazione), l'integrale angolare invece è pari ad 1 per l'ortonormalità delle armoniche sferiche.

[LoreT314]

Eh il problema è che quello funziona nel caso in cui avessi una cosa del tipo $$. Se ci aggiungo anche lo spin ho due strade: o uso gli stati $|n,l,s,m_l,m_s> =|n,l,m> \otimes |s,m_s>$ e quindi per le proprietà del prodotto tensoriale ho che $ =*$ e quindi ricado nel caso precedente, oppure uso la base $|n,l,s,j,m_j>$ come sto facendo io, il problema è che gli stati $|n,l,s,j,m_j>$ non sono riconducibili a una scrittura del tipo $|\psi> \otimes |\chi>$ con $|\psi>$ che sta nello spazio delle coordinate e $|\chi>$ nello spazio di spin e quindi non riesco a sistemare quel passaggio come si può fare invece con gli stati $|n,l,s,m_l,m_s>$.

[Lampo1089]

non sono riconducibili a una scrittura del tipo |ψ>⊗|χ> con ∣ψ> che sta nello spazio delle coordinate e ∣χ> nello spazio di spin

questo è vero, ma comunque l'integrale si fattorizzerà e l'integrale "angolare" sarà pari ad 1 per normalizzazione. Per approfondire, dai un occhio al teorema di wigner eckart, o più semplicemente prova a verificare cosa accade in un caso esplicito (utilizzando i coeff di clebsh gordan)

Però, il realtà, parte radiale della funzione d'onda dipenderà non solo dal numero quantico $l$, ma anche $j$.