Bolla di sapone.
Salve, sono bloccato su questo esercizio:
Si pone una carica $q$ sulla superficie di una bolla di sapone inizialmente scarica di raggio $R_0$. A causa della repulsione mutua della superficie carica, il raggio aumenta fino al valore $R$ alquanto più grande. Far vedere che:
$q=sqrt[32/3*pi^2*\epsilon_0*p*R_0*R*(R^2+R_0*R+R_0^2)^2]$
Come potrei ragionare per iniziare? Avevo pensato di uguagliare il lavoro compiuto dalla bolla premendo contro l'atmosfera alla diminuzione di energia del campo elettrico. Però come faccio a trovare il lavoro della bolla?
Si pone una carica $q$ sulla superficie di una bolla di sapone inizialmente scarica di raggio $R_0$. A causa della repulsione mutua della superficie carica, il raggio aumenta fino al valore $R$ alquanto più grande. Far vedere che:
$q=sqrt[32/3*pi^2*\epsilon_0*p*R_0*R*(R^2+R_0*R+R_0^2)^2]$
Come potrei ragionare per iniziare? Avevo pensato di uguagliare il lavoro compiuto dalla bolla premendo contro l'atmosfera alla diminuzione di energia del campo elettrico. Però come faccio a trovare il lavoro della bolla?
Risposte
Relativamente ad una sua superficie infinitesima devi scrivere una relazione di equilibrio fra le forze dovute alla pressione interna, atmosferica esterna e alla pressione elettrostatica.
Direi però che fatti quattro conti veloci la relazione che hai postato non sia corretta.
... non so se ho fatto qualche errore, ma a me risulta
$q=\sqrt{32 \p(R^3-R_0^3) \pi^2 \epsilon_0 R}$
Direi però che fatti quattro conti veloci la relazione che hai postato non sia corretta.
... non so se ho fatto qualche errore, ma a me risulta
$q=\sqrt{32 \p(R^3-R_0^3) \pi^2 \epsilon_0 R}$
Grazie della risposta.
Ma la pressione è costante quindi?
$p=101325Pa$
A me risulta
$L=int_(R_0)^Rp*dV=int_(R_0)^Rp*4*pi*R^2*dR=(4*p)/3*pi*(R^3-R_0^3)$
$C_0=4*pi*R_0*\epsilon_0$
$C=4*pi*R*\epsilon_0$
$L=\DeltaU=1/2*(Q^2)/(4*pi*\epsilon_0)*(1/R_0-1/R)$
Ma la pressione è costante quindi?
$p=101325Pa$
A me risulta
$L=int_(R_0)^Rp*dV=int_(R_0)^Rp*4*pi*R^2*dR=(4*p)/3*pi*(R^3-R_0^3)$
$C_0=4*pi*R_0*\epsilon_0$
$C=4*pi*R*\epsilon_0$
$L=\DeltaU=1/2*(Q^2)/(4*pi*\epsilon_0)*(1/R_0-1/R)$
Scusa ma non capisco il tuo metodo; io ho risolto bilanciando le forze in questo modo
$(p-p\ V_i/V_f)\Delta S=E_m q/S \Delta S =(1/2 q/(4\pi \epsilon_0 R^2)) q/S \Delta S $
e quindi, semplificando
$p(1-R_0^3/R^3) = q^2/(32 \pi^2 \epsilon_0 R^4) $
dalla quale, la relazione che ho in precedenza postato.
$(p-p\ V_i/V_f)\Delta S=E_m q/S \Delta S =(1/2 q/(4\pi \epsilon_0 R^2)) q/S \Delta S $
e quindi, semplificando
$p(1-R_0^3/R^3) = q^2/(32 \pi^2 \epsilon_0 R^4) $
dalla quale, la relazione che ho in precedenza postato.
Scusa non ho capito bene come hai bilanciato le forze. Il testo l'ho copiato pari pari dal libro ma non sarebbe la prima volta che ha un errore.
"SirDanielFortesque":
Scusa non ho capito bene come hai bilanciato le forze.
A primo membro ho scritto la forza netta dovuta alla differenza fra pressione esterna ed interna e a secondo membro la forza dovuta alla pressione elettrostatica, dove con $E_m$ ho indicato il campo elettrico medio.
"SirDanielFortesque":
...Il testo l'ho copiato pari pari dal libro ma non sarebbe la prima volta che ha un errore.
La relazione iniziale da te postata è già dimensionalmente errata, con quel $\text{m}^6$ (relativo al prodotto fra i raggi) sotto radice, invece del necessario $\text{m}^4$.
Grazie ho capito adesso.
Di nulla. 
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