Blocchi in moto su un piano inclinato mobile
Salve a tutti,
stavo cercando di svolgere il seguente esercizio:
Nel sistema in figura il blocco $B$ di massa $ m = 20 kg$ e con $\alpha = 0,2 rad$, poggia su di un piano orizzontale ed è tenuto fermo dal rialzo; i corpi $C_1$ e $C_2$ di masse $m_1 = 1 kg$ ed $m_2 = 5 kg$, sono collegati da un filo inestensibile di massa trascurabile, la carrucola $C$ è perfettamente girevole ed ha massa trascurabile.
a) Tra il blocco $B$ e $C_2$ l'attrito sia trascurabile. Si calcoli il valore minimo del coefficiente di attrito statico tra i corpi $C_1$ e $C_2$ necessario affinché questi, lasciati liberi con velocità nulle nella posizione iniziale di figura, rimangano in quiete, e le componenti orizzontale e verticale della reazione $R$ sviluppata complessivamente dal piano $P$ di appoggio e dal rialzo.
b )I coefficienti di attrito dinamico tra $C_1$ e $C_2$ e tra il blocco $B$ e $C_2$ e tra il blocco $C_2$ valgano $\mu_12 = \mu2 = 0,05$ e il sistema venga lasciato libero nella posizione di figura con velocità iniziali nulle. Si calcoli il modulo $\sigma$ dell'accelerazione di $C_2$ e le componenti della reazione $R$.
Ho impostato il seguente sistema:
${ ( m_1 g sin\alpha - \tau + \mu_s m_1 g cos\alpha = 0 ),( (m_1 + m_2)gsin\alpha - \tau - \mu_s (m_2 + m_1) g cos\alpha = 0 ):}$
Risolvendo ottengo:
$mu_s = m_2 / (2m_1 + m_2) tg\alpha$
Mentre il libro fornisce la seguente soluzione:
$\mu_min = (m_2 - m_1)/(2m_1) tg\alpha$
Mi chiedevo: devo considerare l'attrito tra $C_1$ e $C_2$ nell'equazione del blocco $C_2$?
Grazie a tutti!
stavo cercando di svolgere il seguente esercizio:
Nel sistema in figura il blocco $B$ di massa $ m = 20 kg$ e con $\alpha = 0,2 rad$, poggia su di un piano orizzontale ed è tenuto fermo dal rialzo; i corpi $C_1$ e $C_2$ di masse $m_1 = 1 kg$ ed $m_2 = 5 kg$, sono collegati da un filo inestensibile di massa trascurabile, la carrucola $C$ è perfettamente girevole ed ha massa trascurabile.
a) Tra il blocco $B$ e $C_2$ l'attrito sia trascurabile. Si calcoli il valore minimo del coefficiente di attrito statico tra i corpi $C_1$ e $C_2$ necessario affinché questi, lasciati liberi con velocità nulle nella posizione iniziale di figura, rimangano in quiete, e le componenti orizzontale e verticale della reazione $R$ sviluppata complessivamente dal piano $P$ di appoggio e dal rialzo.
b )I coefficienti di attrito dinamico tra $C_1$ e $C_2$ e tra il blocco $B$ e $C_2$ e tra il blocco $C_2$ valgano $\mu_12 = \mu2 = 0,05$ e il sistema venga lasciato libero nella posizione di figura con velocità iniziali nulle. Si calcoli il modulo $\sigma$ dell'accelerazione di $C_2$ e le componenti della reazione $R$.
Ho impostato il seguente sistema:
${ ( m_1 g sin\alpha - \tau + \mu_s m_1 g cos\alpha = 0 ),( (m_1 + m_2)gsin\alpha - \tau - \mu_s (m_2 + m_1) g cos\alpha = 0 ):}$
Risolvendo ottengo:
$mu_s = m_2 / (2m_1 + m_2) tg\alpha$
Mentre il libro fornisce la seguente soluzione:
$\mu_min = (m_2 - m_1)/(2m_1) tg\alpha$
Mi chiedevo: devo considerare l'attrito tra $C_1$ e $C_2$ nell'equazione del blocco $C_2$?
Grazie a tutti!
Risposte
Stai risolvendo il quesito a) ovviamente.
Certo che devi considerare l'attrito tra i due blocchi, come forza interna che obbedisce al principio di azione e reazione.
Essa è applicata dal blocco $C_2$ al blocco $C_1$ in direzione discendente ( perché avendo il blocco $C_2$ massa maggiore di quello di sopra, tende a scendere, quindi sollecita per attrito quello di sopra verso il basso). Per reazione, il blocco di sopra, che vuole salire, applica la stessa forza di attrito ( che vale $\mu*m_1*gcos\alpha$) al blocco di sotto, verso l'alto.
Perciò il sistema va scritto diversamente, e ti dico subito che il tuo libro ha ragione. Vediamo.
Equilibrio del blocco superiore, parallelamente al piano inclinato: (considero positive le forze dirette verso il basso) :
$m_1*gsen\alpha - \tau + \mu*m_1*gcos\alpha = 0 $ ----------(1)
Equilibrio del blocco inferiore, sempre parallelamente al piano inclinato:
$m_2*gsen\alpha - \tau - \mu*m_1*gcos\alpha = 0 $ ----------(2)
Le due tensioni $\tau$ agenti sui due blocchi sono entrambe dirette verso l'alto, chiaro perché?
Sommando membro a membro (1) e (2), ottieni la tensione : $\tau = (m_1 + m_2)/2 * g*sen\alpha$
e sostituendo in una delle due, dopo alcuni passaggi hai la formula risolutiva del libro:
$\mu = (m_2 - m_1)/(2m_1)*tg\alpha$
Certo che devi considerare l'attrito tra i due blocchi, come forza interna che obbedisce al principio di azione e reazione.
Essa è applicata dal blocco $C_2$ al blocco $C_1$ in direzione discendente ( perché avendo il blocco $C_2$ massa maggiore di quello di sopra, tende a scendere, quindi sollecita per attrito quello di sopra verso il basso). Per reazione, il blocco di sopra, che vuole salire, applica la stessa forza di attrito ( che vale $\mu*m_1*gcos\alpha$) al blocco di sotto, verso l'alto.
Perciò il sistema va scritto diversamente, e ti dico subito che il tuo libro ha ragione. Vediamo.
Equilibrio del blocco superiore, parallelamente al piano inclinato: (considero positive le forze dirette verso il basso) :
$m_1*gsen\alpha - \tau + \mu*m_1*gcos\alpha = 0 $ ----------(1)
Equilibrio del blocco inferiore, sempre parallelamente al piano inclinato:
$m_2*gsen\alpha - \tau - \mu*m_1*gcos\alpha = 0 $ ----------(2)
Le due tensioni $\tau$ agenti sui due blocchi sono entrambe dirette verso l'alto, chiaro perché?
Sommando membro a membro (1) e (2), ottieni la tensione : $\tau = (m_1 + m_2)/2 * g*sen\alpha$
e sostituendo in una delle due, dopo alcuni passaggi hai la formula risolutiva del libro:
$\mu = (m_2 - m_1)/(2m_1)*tg\alpha$
"navigatore":
Le due tensioni $\tau$ agenti sui due blocchi sono entrambe dirette verso l'alto, chiaro perché?
Si è chiaro.
Ciò che non riesco ad afferrare è perché non devo considerare nella (2) la massa di $m_1$ (parlo della forza peso parallela al piano e non della forza di attrito). I due corpi non sono sovrapposti? Oppure, cerco di trovare le parole "adatte", dato che siamo su di un piano inclinato e le due masse sono collegate da un filo, il peso di $C_1$ non grava su $C_2$?
Grazie per la risposta!
I due corpi sono sovrapposti, è vero. Quindi $C_1$ grava su $C_2$.
MA le due eq scritte riguardano l'equilibrio alla traslazione dei due corpi parallelamente al piano inclinato, ciascuno per conto proprio. Una volta considerata la forza di attrito che si scambiano, hai finito per quanto riguarda l' interazione tra essi.
In altre parole: se scomponi ciascuno dei due pesi nelle componenti parallela e normale al piano, l'eventuale moto parallelo al piano ( accelerazione, ecc) di ciascun corpo dipende dalle sole componenti parallele dei pesi, dall'attrito e dalla tensione. Se fai il diagramma di corpo libero lo vedi.
Le componenti normali al piano sono equilibrate dal piano stesso.
MA le due eq scritte riguardano l'equilibrio alla traslazione dei due corpi parallelamente al piano inclinato, ciascuno per conto proprio. Una volta considerata la forza di attrito che si scambiano, hai finito per quanto riguarda l' interazione tra essi.
In altre parole: se scomponi ciascuno dei due pesi nelle componenti parallela e normale al piano, l'eventuale moto parallelo al piano ( accelerazione, ecc) di ciascun corpo dipende dalle sole componenti parallele dei pesi, dall'attrito e dalla tensione. Se fai il diagramma di corpo libero lo vedi.
Le componenti normali al piano sono equilibrate dal piano stesso.
Grazie mille, tutto chiaro!
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