Biot-Savart$\Rightarrow$Ampère senza $\delta$ (o con spiegazione dei passaggi)
Ciao, amici! Tempo chiedetti come sia possibile dimostrare la legge di Ampère a partire dalla legge di Biot-Savart per una distribuzione lineare di corrente che genera quindi un campo magnetico \(\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint\frac{Id\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\). A quella domanda ricevetti una risposta, che non sono stato in grado di capire per l'uso che fa della $\delta$ di Dirac, concernente il caso di una distribuzione di corrente tridimensionale, per cui vale \(\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\mathbf{J}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2}dV\) o, per usare una notazione più esplicita,\[\mathbf{B}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\mathbf{J}(\mathbf{y})\times\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^3}d^3y\]
Volevo quindi rilanciare chiedendo come si può dimostrare la legge di Ampère, nella forma \[\oint_{\gamma}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{r}=\mu_0 I_{\text{conc}}\quad\text{ oppure }\quad\nabla\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J},\]senza fare uso della $\delta$ di Dirac o, se lo si fa, spiegando che cosa significano gli integrali che si utilizzano (Riemann, Lebesgue, notazione simbolica per funzionali lineari o altro) e le derivate (derivate nel senso ordinario usato in analisi matematica elementare, derivate di distribuzioni...) e quali proprietà di tali integrali giustificano possibili passaggi in cui si commutino eventualmente segni di integrale e derivata.
$\infty$ grazie a chiunque posti una dimostrazione, od un link ad essa, con tali caratteristiche!
Volevo quindi rilanciare chiedendo come si può dimostrare la legge di Ampère, nella forma \[\oint_{\gamma}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{r}=\mu_0 I_{\text{conc}}\quad\text{ oppure }\quad\nabla\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J},\]senza fare uso della $\delta$ di Dirac o, se lo si fa, spiegando che cosa significano gli integrali che si utilizzano (Riemann, Lebesgue, notazione simbolica per funzionali lineari o altro) e le derivate (derivate nel senso ordinario usato in analisi matematica elementare, derivate di distribuzioni...) e quali proprietà di tali integrali giustificano possibili passaggi in cui si commutino eventualmente segni di integrale e derivata.
$\infty$ grazie a chiunque posti una dimostrazione, od un link ad essa, con tali caratteristiche!
Risposte
Sia $\mathbf{J}:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ di classe $C^2 (\mathbb{R}^3)$ e sia il suo supporto contenuto nel sottoinsieme $V\subset\mathbb{R}^3$ limitato e $\mu$-misurabile secondo l'usuale misura $3$-dimensionale di Lebesgue.
Definiamo $$\mathbf{A}(\mathbf{x}):=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}$$dove notiamo che il punto $\mathbf{y}=\mathbf{x}$ non preclude la sommabilità di \(\mathbf{y}\mapsto \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^{-1}\) su alcun sottoinsieme $\mu$-misurabile e limitato di $\mathbb{R}^3$, come si può verificare usando coordinate sferiche intorno a $\mathbf{x}$ e tenendo conto delle proprietà dell'integrale di Lebesgue e della sua relazione con quello di Riemann.
Userò il seguente
Inoltre farò uso di questo
Quindi, se definiamo \(\mathbf{B}(\mathbf{x}):=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V \mathbf{J}(\mathbf{y})\times\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^3}d\mu_{\mathbf{y}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\nabla_x\times\left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}\right]d\mu_{\mathbf{y}}\), direi, come il lemma (1) garantisce, ponendo $\varphi$ uguale alle componenti di $\mathbf{J}$, anche sotto ipotesi meno restrittive per $\mathbf{J}$, che $$\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}$$e, usando una nota formula per il rotore del rotore, che può essere applicata perché il lemma (2), ponendo \(f(\mathbf{z})=\|\mathbf{z}\|^{-1}\) e $g$ uguale di volta in volta ad una delle componenti di $\mathbf{J}$, idea fondamentale che mi ha permesso di cominciare a vedere attraverso la nebbia dell'outline of proof della Wikipedia, che è poi l'unica derivazione della legge di Ampère da quella di Biot-Savart per una distribuzione tridimensionale di corrente che sono riuscito a trovare, implica che $$\mathbf{A}\in C^2(\mathbb{R}^3),$$ vediamo che $$\nabla_x\times\mathbf{B}(\mathbf{x})=\nabla_x\times(\nabla_x\times\mathbf{A})(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi} \nabla_x\left[\nabla_x\cdot\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}\right]-\frac{\mu_0}{4\pi} \nabla_x^2\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}$$$$=\frac{\mu_0}{4\pi} \nabla_x\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y\cdot\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}-\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y^2\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}$$dove il primo addendo è nullo se $\forall \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3\quad\nabla_x\cdot\mathbf{J}(\mathbf{x})=0$, come nel caso di una corrente stazionaria, e dove il secondo addendo, lui sì che vale, come dimostrabile in modo analogo a questo, $$-\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y^2\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}=\mu_0\mathbf{J}(\mathbf{x})$$che, se $\mathbf{J}\in C^{\infty}(\mathbb{R}^3)$, si può scrivere come \(\mu_0\int\delta(\mathbf{y}-\mathbf{x})\mathbf{J}(\mathbf{y})d^3y\), che è tuttaltro (lo dico in riferimento alla formulazione dell'outline of proof della Wikipedia), in generale, da \(-\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\nabla_x^2[\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^{-1}]\mathbf{J}(\mathbf{y})d\mu_{\mathbf{y}}\equiv\mathbf{0}\).
[size=85]Si noti anche, per inciso, che invece nel termine \(\nabla_x\cdot\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}\) si può effettuare, come mostra di nuovo il lemma (1), una derivazione rispetto alle componenti di $\mathbf{x}$ sotto il segno di integrale, per cui, $$\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y\cdot\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}=\nabla_x\cdot\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}=\nabla_x\cdot\int_V\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}=\int_V\mathbf{J}(\mathbf{y})\cdot\nabla_x\left[\frac{1} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}\right]d\mu_{\mathbf{y}}$$per cui sarei portato ad interpretare gli integrali dell'outline of proof della Wikipedia, che sono poi gli stessi usati dal Jackson, tutti come integrali di Lebesgue tranne però quello in cui compare \(\nabla^2\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{l}|}\right)\).
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Che cosa ne pensate?
$\aleph_1$ grazie a tutti!
Definiamo $$\mathbf{A}(\mathbf{x}):=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{V}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}$$dove notiamo che il punto $\mathbf{y}=\mathbf{x}$ non preclude la sommabilità di \(\mathbf{y}\mapsto \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^{-1}\) su alcun sottoinsieme $\mu$-misurabile e limitato di $\mathbb{R}^3$, come si può verificare usando coordinate sferiche intorno a $\mathbf{x}$ e tenendo conto delle proprietà dell'integrale di Lebesgue e della sua relazione con quello di Riemann.
Userò il seguente
(1) Lemma: Sia $\varphi:V\subset\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ limitata e $\mu_{\mathbf{y}}$-misurabile, con $\mu_{\mathbf{y}}$ la consueta misura $3$-dimensionale di Lebesgue, e dove $V$ è limitato e misurabile rispetto alla misura $\mu_{\mathbf{y}}$. Definiamo, per ogni $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3$, $$\Phi(\mathbf{x}):=\int_V \frac{\varphi(\mathbf{y})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}$$allora $\Phi\in C^1(\mathbb{R}^3)$ e, per $k=1,2,3$, $$\forall\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3\quad\quad\frac{\partial \Phi(\mathbf{x})}{\partial x_k}=\int_V\frac{\partial}{\partial x_k} \left[\frac{\varphi(\mathbf{y})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}\right]d\mu_{\mathbf{y}}=\int_V \varphi(\mathbf{y})\frac{y_k-x_k}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^3}d\mu_{\mathbf{y}}$$dimostrato qui con note sulla continuità di $\Phi$ e derivate parziali qui.
Inoltre farò uso di questo
(2) Lemma: Sia $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ integrabile, secondo la consueta misura $3$-dimensionale di Lebesgue measure $\mu_{\mathbf{y}}$, su ogni sottoinsieme misurabile e limitato di $\mathbb{R}^n$, e sia $g \in C^k(\mathbb{R}^n)$ a supporto compatto. Allora la funzione $h$, definita dadimostrato qua.
$$h(\mathbf{x}) := \int_{\mathbb{R}^n} f(\mathbf{x}-\mathbf{y})g(\mathbf{y}) d\mu_{\mathbf{y}}$$
è tale che $h\in C^k(\mathbb{R}^n)$ e le sue derivate parziali di ordine $\le k$ sono
$$D_x^{\alpha}h(\mathbf{x}) = \int_{\mathbb{R}^n}f(\mathbf{x}-\mathbf{y})D_y^{\alpha}g(\mathbf{y})\,d\mu_{\mathbf{y}}$$
Quindi, se definiamo \(\mathbf{B}(\mathbf{x}):=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V \mathbf{J}(\mathbf{y})\times\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^3}d\mu_{\mathbf{y}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\nabla_x\times\left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})}{\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}\right]d\mu_{\mathbf{y}}\), direi, come il lemma (1) garantisce, ponendo $\varphi$ uguale alle componenti di $\mathbf{J}$, anche sotto ipotesi meno restrittive per $\mathbf{J}$, che $$\nabla\times\mathbf{A}=\mathbf{B}$$e, usando una nota formula per il rotore del rotore, che può essere applicata perché il lemma (2), ponendo \(f(\mathbf{z})=\|\mathbf{z}\|^{-1}\) e $g$ uguale di volta in volta ad una delle componenti di $\mathbf{J}$, idea fondamentale che mi ha permesso di cominciare a vedere attraverso la nebbia dell'outline of proof della Wikipedia, che è poi l'unica derivazione della legge di Ampère da quella di Biot-Savart per una distribuzione tridimensionale di corrente che sono riuscito a trovare, implica che $$\mathbf{A}\in C^2(\mathbb{R}^3),$$ vediamo che $$\nabla_x\times\mathbf{B}(\mathbf{x})=\nabla_x\times(\nabla_x\times\mathbf{A})(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi} \nabla_x\left[\nabla_x\cdot\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}\right]-\frac{\mu_0}{4\pi} \nabla_x^2\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}$$$$=\frac{\mu_0}{4\pi} \nabla_x\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y\cdot\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}-\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y^2\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}$$dove il primo addendo è nullo se $\forall \mathbf{x}\in\mathbb{R}^3\quad\nabla_x\cdot\mathbf{J}(\mathbf{x})=0$, come nel caso di una corrente stazionaria, e dove il secondo addendo, lui sì che vale, come dimostrabile in modo analogo a questo, $$-\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y^2\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}=\mu_0\mathbf{J}(\mathbf{x})$$che, se $\mathbf{J}\in C^{\infty}(\mathbb{R}^3)$, si può scrivere come \(\mu_0\int\delta(\mathbf{y}-\mathbf{x})\mathbf{J}(\mathbf{y})d^3y\), che è tuttaltro (lo dico in riferimento alla formulazione dell'outline of proof della Wikipedia), in generale, da \(-\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3}\nabla_x^2[\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|^{-1}]\mathbf{J}(\mathbf{y})d\mu_{\mathbf{y}}\equiv\mathbf{0}\).
[size=85]Si noti anche, per inciso, che invece nel termine \(\nabla_x\cdot\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}\) si può effettuare, come mostra di nuovo il lemma (1), una derivazione rispetto alle componenti di $\mathbf{x}$ sotto il segno di integrale, per cui, $$\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\nabla_y\cdot\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}=\nabla_x\cdot\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}=\nabla_x\cdot\int_V\frac{\mathbf{J}(\mathbf{y})} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}d\mu_{\mathbf{y}}=\int_V\mathbf{J}(\mathbf{y})\cdot\nabla_x\left[\frac{1} {\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|}\right]d\mu_{\mathbf{y}}$$per cui sarei portato ad interpretare gli integrali dell'outline of proof della Wikipedia, che sono poi gli stessi usati dal Jackson, tutti come integrali di Lebesgue tranne però quello in cui compare \(\nabla^2\left(\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{l}|}\right)\).
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$\aleph_1$ grazie a tutti!
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