Biot-Savart per cariche discrete in movimento

[DavideGenova1]

La legge di Biot-Savart per una distribuzione di corrente lineare è \(d\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\), ovvero \[\mathbf{B}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_a^b I\frac{d\boldsymbol{\ell}(t)}{dt}\times\frac{\mathbf{x}-\boldsymbol{\ell}(t)}{\|\mathbf{x}-\boldsymbol{\ell}(t)\|^3}dt\]dove \(\boldsymbol{\ell}:[a,b]\to\mathbb{R}^3\) è una parametrizzazione del cammino della corrente. Quella per una distribuzione tridimensionale è analogamente \(d\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{dV\, \mathbf{J}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\), ossia \[\mathbf{B}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\mathbf{J}(\mathbf{l})\times\frac{\mathbf{x}-\mathbf{l}}{\|\mathbf{x}-\mathbf{l}\|^3}d^3l\](dove non ho idea di che cosa sia l'integrale, ma questa è un'altra storia: apparentemente direi che sia di Lebesgue, ma poi...).

Mi chiedevo se si possa definire similmente il campo per cariche discrete, come qualcosa del tipo di \[\mathbf{B}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\sum_iq_i\mathbf{v}_{i}\times\frac{\hat{\mathbf{r}}_i}{r_i^2} \] dove \(\hat{\mathbf{r}}_i\) è il versore che va dalla carica $i$-esima (di velocità \(\mathbf{v}_{i}\)) al punto di coordinata \(\mathbf{x}\) e $r_i$ la distanza tra essi...
Grazie a tutti!!!

[Newton_1372]

Prendiamo una carica q in moto con velocità $\vec v$. Mi chiedo che campo magnetico genera.
Ad una tale carica è associata una corrente
$I = (\Delta q)/(\Delta t) = (\Delta q \Delta x)/(\Delta x \Delta t)$
Ma $(\Delta x)/(\Delta t)$ è la velocità della carica, $\Delta q = q$ è la carica della particella. Quindi
$I = (q v)/(\Delta x)$. Non rimane che sostituire a biot Savat:

$\vec B =( \mu_0 I)/(4\pi) (\vec r \times d\vec l)/(r^3)$
Dove non c'è integrale perché la corrente è "infinitamente piccola". Non ti sarà difficile convincerti che nel caso specifico $d\vec ) = \Delta \vec x$. Sostituendo il valore di prima, e notando che $(v\Delta\vec x)/(\Delta x)=\vec v$, otteniamo finalmente

$\vec B = (\mu_0 q)/(4\pi) (\vec v\times \vec r)/(r^3)$

PS. In fisica non aver paura di ragionare "coi pezzettini", o semplificando i dx. In fisica tutto è differenziabile a tratti.

[DavideGenova1]

Bene... $\infty$ grazie!!!