Biot-Savart e Ampère

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Il mio testo di fisica, il Gettys, partendo dalla legge di Biot-Savart \(d\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{Id\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\), ovvero\[\mathbf{B}(\mathbf{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_a^b I\frac{d\boldsymbol{\ell}(t)}{dt}\times\frac{\mathbf{x}-\boldsymbol{\ell}(t)}{\|\mathbf{x}-\boldsymbol{\ell}(t)\|^3}dt\]dove \(\boldsymbol{\ell}:[a,b]\to\mathbb{R}^3\) è una parametrizzazione del cammino della corrente, dimostra che il campo magnetico \(\mathbf{B}\) ad una distanza $R$ da un filo elettrico infinito percorso da una corrente $T$ ha modulo $B=\frac{\mu_0 I}{2\pi R}$ e direzione e verso illustrati in figura.

Da tale legge il mio libro dimostra che, per tale corrente rettilinea e per un camminoooi chiuso $\gamma$ vale la legge di Ampère\[\oint_{\gamma}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{r}=\mu_0 I_{\text{conc}}\]ed enuncia poi, senza provarlo, che tale formula è valida per qualunque corrente, non solo rettilinea, aggiungendo anche che dalla legge di Ampère si può derivare quella di Biot-Savart.

Cercando in rete come dimostrare che \(\oint_{\gamma}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{r}=\mu_0\int_{S_{\gamma}}\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}\) (so che \(I_{\text{conc}}=\int_{S_{\gamma}}\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}\), dove $\mathbf{j}$ è la densità di corrente e $S_{\gamma}$ una superficie il cui bordo è $\gamma$) per correnti non necessariamente rettilinee e come dimostrare anche che si può derivare viceversa la legge di Ampère da quella di Biot-Savart, mi imbatto solamente in dimostrazioni per me inacessibili che fanno uso della $\delta$ di Dirac, che ho solo studiato in analisi funzionale nel caso monodimensionale e senza conoscerne il "senso fisico".

Si può dimostrare l'equivalenza delle leggi di Biot-Savart \(d\mathbf{B}=I\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{d\boldsymbol{\ell}\times\hat{\mathbf{r}}}{r^2}\) e di Ampère \(\oint_{\gamma}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{r}=\mu_0 I_{\text{conc}}\) facendo solo uso di strumenti tipici di "analisi 2" senza scomodare la $\delta$ di Dirac? Se sì, qualcuno sarebbe così buono da indicarmi qualche dimostrazione on line, o da fornirne una?
Grazie di cuore a tutti!

[***1117]

Ciao

Devi integrare il $d\vec{B}$ e poi farne il rotore , dopo di chè ottieni $rot\vec{B}=\mu_0 \vec{J}$ da cui $\int_S rot\vec{B} d\vec{s} = \mu_0 I$ applicando il teorema di Stokes avrai che

$\oint_{\gamma} \vec{B}d\vec{r}=\mu_0 I $

[DavideGenova1]

Grazie davvero, Samuele... Mi stai portando sulla strada giusta, infatti conosco il teorema di Stokes e perciò vedo come, da \(\text{rot}\vec{B}=\mu_0\vec{J}\) deriva che \(\oint_\gamma\vec{B}\cdot d\vec{r}=\mu_0 I_{\text{conc}}\), siccome \(\int_S \vec{J}\cdot d\vec{S}=I_{\text{conc}}\).
Mi rimane però, per dimostrare che Biot-Savart $\Rightarrow$ Ampère, mi rimane da vedere che \(\text{rot}\vec{B}=\mu_0\vec{J}\), cosa che non riesco a fare. Utilizzando le consuete assunzioni di derivabilità e continuità che si fanno in fisica, vedo che, con la notazione da me usata sopra, \[\text{rot}\vec{B}(\vec{x})= \text{rot}\left(\frac{\mu_0}{4\pi}\int_a^b I\vec{\ell}'(t)\times\frac{\vec{x}-\vec{\ell}(t)}{\|\vec{x}-\vec{\ell}(t)\|^3}dt\right)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_a^b \text{rot}\left(I\vec{\ell}'(t)\times\frac{\vec{x}-\vec{\ell}(t)}{\|\vec{x}-\vec{\ell}(t)\|^3}\right)dt \]dove direi proprio che possiamo operare la sostituzione \(I\vec{\ell}'(t)=A(\vec{\ell}(t))\|\vec{\ell}'(t)\|\vec{J}\) dove \(A(\vec{\ell}(t))\) è l'area attraversata ortogonalmente dalla corrente, ma, nonostante abbia cercato di applicare varie identità concernenti il rotore (come questa), non giungo a nulla.

Per quanto riguarda l'implicazione inversa Ampère $\Rightarrow$ Biot-Savart, comunque, non saprei proprio come procedere...

$\infty$ grazie ancora a te e a chi altri intervenga!

[***1117]

Ma figurati

Una cosa alla volta , allora la formula di induzione Magnetica può essere scritta come :

$\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi} rot \int \frac{\vec{J}}{|x-x'|}dV$ calcoliamo il rotore

$rot\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi} rot rot \int \frac{\vec{J}}{|x-x'|}dV$

da cui dalle note proprietà del rotore

$rot\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi} \nabla \int \vec{J}(x')\nabla (\frac{1}{|x-x'|}) dV - \frac{\mu_0}{4\pi} \int \vec{J}(x') \nabla^2 (\frac{1}{|x-x'|})dV $

Ma $\nabla (\frac{1}{|x-x'|})=-\nabla'(\frac{1}{|x-x'|})$ e $\nabla^2 (\frac{1}{|x-x'|})=-4\pi\delta$ (Scusami ma devo usarla )

$rot\vec{B}=-\frac{mu_0}{4\pi} \nabla \int \vec{J}(x') \nabla' (\frac{1}{|x-x'|}) dV + \mu_0 \vec{J}(x)$

Integrando per parti

$rot\vec{B}=\mu_0 \vec{J}+\frac{mu_0}{4\pi} \nabla \int \frac{\nabla' J(x')}{|x-x'|}dV$ Formula generale , per casi stazionari si ha : $\nabla \vec{J} = 0 $ per cui :

$rot\vec{B}=\mu_0 \vec{J}$

[***1117]

Per il caso inverso può impostare questi conti :

$\oint \vec{B}d\vec{r}=\mu_0I$ , $\int rot\vec{B}d\vec{s}=\mu_0I$ ovvero $rot\vec{B}=\mu_0 \vec{J}$

Ma $\vec{B}=rot\vec{A}$ per cui sostituendo e applicando una proprietà del rotore del rotore si arriva a :

$\nabla ^2 \vec{A}=-\mu_0 \vec{J}$ che ha come soluzione $\vec{A}=\frac{\mu_0}{4pi} \int \frac{\vec{J} dV}{|x-x'|}$

$\vec{B}=rot\vec{A}=rot (\frac{\mu_0}{4pi} \int \frac{\vec{J} dV}{|x-x'|} )= \frac{\mu_0}{4pi} \int \frac{d \vec{l} \times \vec{|x-x'|}}{|x-x'|^3} $

[DavideGenova1]

"MillesoliSamuele":$rot\vec{B}=\frac{\mu_0}{4\pi} \nabla \int \vec{J}(x')\nabla (\frac{1}{|x-x'|}) dV - \frac{\mu_0}{4\pi} \int \vec{J}(x') \nabla^2 (\frac{1}{|x-x'|})dV $

Fin qua ci sono. Ovviamente intendendo gli integrali come integrali di Riemann su un compatto $V$ tale che \(x'\notin V\), punto in cui la funzione integranda non esiste, e dove \(\nabla^2 (\frac{1}{|x-x'|})=0\). Questo perché, la $\delta$ di Dirac non ho idea di quali proprietà abbia né di che senso acquisti l'integrale (per cui non so come varrebbero per esempio le varie proprietà di derivazione sotto il segno di integrale che ho utilizzato per seguire i tuoi calcoli, se la funzione integranda non esiste per \(x=x'\)), eccetto che per il caso monodimensionale che conosco dall'analisi funzionale in cui, se $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ è una funzione di classe $C^{\infty}$ a supporto compatto, \(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x-a)f(x)dx=f(a)\) (che poi, invece che un integrale di Riemann improprio, è un modo per scrivere il funzionale $T$ tale che \(T(f)=f(a)\) e che, per derivata, ha \(\frac{dT}{dx}(f)=-\frac{df}{dx}(a)\)).
Quindi mi par di capire che non esista modo di evitare la $\delta$ e rimanere con i nostri comodi integrali di Riemann... E usando invece la legge di Biot-Savart per correnti "filiformi" integrando sulla curva parametrizzata da \(\boldsymbol{\ell}\) come ho scritto nel primo post?

In ogni caso se tu, o chi passa di qua, avesse delle indicazioni bibliografiche, magari una dispensina on line, che, con dimostrazioni matematiche rigorose e complete (senza quelle omissioni risolte con è facile dimostrare che o è lasciata al lettore che trovo fastidiosissime e, usando testi come il Kolmogorov-Fomin, mi hanno causato terribili emicranie perché, se studio queste cose, da autodidatta e senza per adesso frequentare alcun corso, è perché desidero capire perché le cose stanno così e non memorizzare ed applicare formule che non capisco come siano state derivate) illustri le proprietà della $\delta$ utili a simili applicazioni, te ne sarei gratissimo, ché magari cominciare a dare qualche occhiata a questa distribuzione onnipresente in fisica non sarebbe una cattiva idea...

"MillesoliSamuele":Integrando per parti
$rot\vec{B}=\mu_0 \vec{J}+\frac{mu_0}{4\pi} \nabla \int \frac{\nabla' J(x')}{|x-x'|}dV$

So che \[-\vec{J}(x') \cdot\nabla' \left(\frac{1}{|x-x'|}\right)= \frac{\nabla' \cdot\vec{J}(x')}{|x-x'|}-\nabla'\cdot\left(\frac{\vec{J}(x')}{|x-x'|}\right)\]ma non capisco come mai l'integrale del secondo addendo sia nullo e, anche se, a meno che non si riesca ad evitare la $\delta$, in questa fase dei miei studi temo che mi toccherà rimandare la comprensione della dimostrazione, mi farebbe piacere capire questo passaggio per vedere che, almeno se $x$ è al di fuori della distribuzione di corrente, cioè se \(J(x)=0\), ossia se $\gamma$ non concatena alcuna corrente, vale \(\nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}=0\) ...

"MillesoliSamuele":Formula generale , per casi stazionari si ha : $\nabla \vec{J} = 0 $

Interessantissimo. Conseguenza del teorema della divergenza di Gauss, direi.

Per quanto riguarda la dimostrazione di Ampère $\Rightarrow$ Gauss, per dimostrare che

"MillesoliSamuele":$\nabla ^2 \vec{A}=-\mu_0 \vec{J}$ [...] ha come soluzione $\vec{A}=\frac{\mu_0}{4pi} \int \frac{\vec{J} dV}{|x-x'|}$

dimmi che non occorre, almeno considerando una distribuzione lineare di corrente con \(\vec{A}=\frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{Id\vec{\ell}}{|x-x'|}\), la $\delta$...

$\infty$ grazie ancora!

[***1117]

Scusami se non rispondo ma ho il PC fuori uso ,per un bel po..

Risponderti da cellulare sarebbe una vera impresa. Nel mentre ti consiglio di leggere il Griffiths e/o Halliday per le dimostrazioni (non sono come le ho descritte io) e per le distribuzioni il Rudin -Analisi Reale e Complessa. Spero che con essi giungerai alla risposta senza il mio Aiuto. Spero di poterti rispondere al più presto mal che vada .

[DavideGenova1]

Segnalo una dimostrazione dell'identità \(\nabla^2(|x-x'|^{-1})=-4\pi\delta(x-x')\), utilizzata per derivare la legge di Ampère da quella di Biot-Savart.
Mi rimane però un dubbio: come vedere che\[-\int\vec{J}(x')\cdot\nabla'\left(\frac{1}{|x-x'|}\right)d^3x'=\int\frac{\nabla'\cdot\vec{J}(x')}{|x-x'|}d^3x'\]dove ho scritto \(d^3x'\) per $dV$ per non perdere di vista le variabili di integrazione, che sono le componenti di \(x'\)...

[***1117]

Se non erro riesci a dimostrare l'uguaglianza tramite le proprietà della $\nabla$

[DavideGenova1]

Ho corretto l'ultimo post qui sopra perché mi sembra quella l'identità da dimostrare. So che \[\vec{J}(x')\cdot\nabla'\left(\frac{1}{|x-x'|}\right)=\nabla'\cdot\left(\frac{\vec{J}(x')}{|x-x'|}\right)-\frac{\nabla'\cdot\vec{J}(x') }{|x-x'|}\]sempre ragionando per \(x\ne x'\), quando poi, se sotto l'integrale con consideriamo il punto \(x'=x\), è tutto nullo , ma non saprei proprio se \(\nabla'\cdot\left(\frac{\vec{J}(x')}{|x-x'|}\right)=0\)... (a vedere che cosa accade poi facendo precedere queste espressioni, che sono integrandi, da \(\nabla\int d^3x'\) come nell'espressione di \(\nabla\times\vec{B}\) non sono comunque minimamente capace perché non ho neanche capito che cosa sia \(\int d^3x\) quindi figuriamoci utilizzarne le proprietà... )