Biliardo

[fu^2]

una pallina da biliardo si muove con una velocità $v_0$ e viene colpita da una stcca ad un'altezza $h$ rispetto al centro di massa della biglia.
grazie all'impulso dato la pallina arriva ad una velocità $v_f=9/7v_0$.
dimostrare che l'altezza $h=4/5R$.

soluzione:

essendo una pallina piena il suo momento di inerzia vale $I_0=2/5mR^2$ rispetto al suo centro di massa.
essendo che rotola per il th di Stainer (nn so come si scrive ) il suo momento di inerzia totale $I=I_0+mR^2=7/5mR^2$.
le due equazioni cardinali si ha:
$F=(dp)/(dt)$ e $M=(dL)/(dt)=I(domega)/(dt)$

in particolare $M=FRsin(alpha)$ ma se si nota facendo un bel disegno si può ricondurre $alpha=pi/2+phi=>sin(pi/2+phi)=cosphi$ ma essendo che l'angolo preso in considerazione è quello tra l'asta e la congiungente al centro, $Rcosphi=h=>M=Fh$

quindi mettendo a sistema le due equazioni cardinali otteniamo:
${(Fdt=dp),(Fdt=I/hdomega):}$
quindi otteniamo l'equazione finale:

$dp=I/hdomega$ ricordando che $omega=v/R$otteniamo
$dp=I/h(dv)/R$ integrando otteniamo $p_f-p_0=I/(hR)(v_f-v_0)=>m(9/7-1)v_0)=I/(hR)(9/7-1)v_0=>mhR=7/5mR^2=>h=7/5R


dov'è che sbaglio?

[fu^2]

mi sta venendo una botta di ignoranza.. ma bigliardo è giusto con la g?

[remo2]

no!
ci vuole la L!
biliardo!

[fu^2]

allora edito
per il problema invece?

[Sk_Anonymous]

Il risultato di h=7/5R è in ogni caso errato perché maggiore di R.Un possibile errore potrebbe essere il braccio della forza che tu hai calcolato come uguale ad h mentre deve essere R+h.Ciò perché esso deve essere considerato rispetto al centro istantaneo di rotazione che è poi il punto di contatto della sfera col piano orizzontale.Anche così però viene h=2/5R che è più accettabile ma sempre diverso da quello ...ufficiale.Sei sicuro che la risposta sia quella?
A...parziale difesa di fu^2 informo che "bigliardo" è accettato dai vocabolari più frequentemente in uso (vedi Devoto-Oli) ma è meno comune di "biliardo"...
Ciao

[fu^2]

infatti 7/5 è un assurdo
beh magari è un errore del testo...
quindi una correzione è pensare giustamente che $h=h'+R$ e da qui $/7/5-5/5)R$


grazie

ps grazie anche dell'"aggiornamento" grammaticale

[MaMo2]

Poichè tutte le forze agenti sulla biglia hanno momento nullo rispetto al punto di contatto possiamo applicare la conservazione del momento angolare. Visto che inizialmente il moto è puramente traslatorio si ha:

$mv_0(R+h)=Iomega=7/5mvR=9/5mv_0R$

Da questa si ottiene $h=4/5R$.

[fu^2]

grazie mille MaMo...
una domanda idiota: l'impulso che dà l'ata sulla biglia varia il suo momento angolare, non ha un momento nulla rispetto al punto di contatto del terreno, o sbaglio?... una variazione della quantità di moto si ha effettivamente... o no?