Bilancio di energia meccanica. Esercizio.
Una pompa comprime una portata di $300 (kg)/(h)$ di acqua dalla pressione di $1.00 a t m$ alla pressione di $20.5 a t m$. La sezione di ingresso e di uscita sono praticamente alla stessa quota ed hanno uguale diametro. La temperatura dell'acqua all'ingresso della pompa è di $30^oC$. Si calcoli:
1) La potenza meccanica teorica necessaria, in $kW$, nella ipotesi di compressione adiabatica reversibile.
2) La variazione di temperatura subita dall'acqua.
Punto 2) Calcolo $T_2$
$T_2 = (p_2*T_1)/(p_1) = (20.5 * 30)/(1)= 615^oC$
Si ha variazione di temperatura che è $615^oC - 30^oC = 585^oC $
Punto 1)
Equazione di Bernoulli
$gz_1 + (w_1^2)/2 + p_1v_1 =gz_2 + (w_2^2)/2 + p_2v_2 $
Siamo alla stessa altezza e quindi:
$ (w_1^2)/2 + p_1v_1 = (w_2^2)/2 + p_2v_2 $
Ma per poter sfruttare Bernoulli, occorrono le velocità$ w$ e i volumi specifici, e quindi non penso proprio che io possa utilizzare il Bernoulli, penso che si debba usare la seguente:
$dot(L) = -dot(m) *(h_2 - h_1)$
All'ingresso siamo in condizione di equilibrio tra liquido- vapore, utilizzo le tabelle di Proprietà termodinamiche dell'acqua in condizioni di saturazione-temperature.
$30^oC$ con $h_(l_1) = 125.61 (kJ)/(kg)$
In uscita abbiamo la pressione e quindi usiamo le tabelle in condizione di equilibrio tra liquido- vapore Proprietà termodinamiche dell'acqua in condizioni di saturazione- pressione.
Abbiamo che $p_2= 20.5 atm$ sono $20.705 b a r$, quindi si deve interpolare:
a $20 b a r$ si ha $h_l = 908.0 (kJ)/(kg)$
a $22 b a r$ si ha $h_l = 930.3 (kJ)/(kg)$
$930.3 - 908.0 = 22.3$
$2 : 22.3 = 0.705 : x$ allora $x= 7.86 (kJ)/(kg)$
Quindi $908.0 (kJ)/(kg) + 7.86 (kJ)/(kg) = 915.86 (kJ)/(kg)$
Ad $20.5 a t m$ si ha $h_(l_2) = 915.86 (kJ)/(kg)$
La potenza cercata sarà:
$dot(L) = -300 (kg)/(h) *(915.86 (kJ)/(kg) - 125.61 (kJ)/(kg)) = -237075 (kJ)/h $
$ 237075 (kJ)/h *(h)/(3600s)*(1000J)/(kJ) = -65854.16 J/s= W$
Ma pendo che sia potenza spesa e quindi si ha il valore negativo $ dot(L) = -65854.16 W$
Dite che ho fatto bene
1) La potenza meccanica teorica necessaria, in $kW$, nella ipotesi di compressione adiabatica reversibile.
2) La variazione di temperatura subita dall'acqua.
Punto 2) Calcolo $T_2$
$T_2 = (p_2*T_1)/(p_1) = (20.5 * 30)/(1)= 615^oC$
Si ha variazione di temperatura che è $615^oC - 30^oC = 585^oC $
Punto 1)
Equazione di Bernoulli
$gz_1 + (w_1^2)/2 + p_1v_1 =gz_2 + (w_2^2)/2 + p_2v_2 $
Siamo alla stessa altezza e quindi:
$ (w_1^2)/2 + p_1v_1 = (w_2^2)/2 + p_2v_2 $
Ma per poter sfruttare Bernoulli, occorrono le velocità$ w$ e i volumi specifici, e quindi non penso proprio che io possa utilizzare il Bernoulli, penso che si debba usare la seguente:
$dot(L) = -dot(m) *(h_2 - h_1)$
All'ingresso siamo in condizione di equilibrio tra liquido- vapore, utilizzo le tabelle di Proprietà termodinamiche dell'acqua in condizioni di saturazione-temperature.
$30^oC$ con $h_(l_1) = 125.61 (kJ)/(kg)$
In uscita abbiamo la pressione e quindi usiamo le tabelle in condizione di equilibrio tra liquido- vapore Proprietà termodinamiche dell'acqua in condizioni di saturazione- pressione.
Abbiamo che $p_2= 20.5 atm$ sono $20.705 b a r$, quindi si deve interpolare:
a $20 b a r$ si ha $h_l = 908.0 (kJ)/(kg)$
a $22 b a r$ si ha $h_l = 930.3 (kJ)/(kg)$
$930.3 - 908.0 = 22.3$
$2 : 22.3 = 0.705 : x$ allora $x= 7.86 (kJ)/(kg)$
Quindi $908.0 (kJ)/(kg) + 7.86 (kJ)/(kg) = 915.86 (kJ)/(kg)$
Ad $20.5 a t m$ si ha $h_(l_2) = 915.86 (kJ)/(kg)$
La potenza cercata sarà:
$dot(L) = -300 (kg)/(h) *(915.86 (kJ)/(kg) - 125.61 (kJ)/(kg)) = -237075 (kJ)/h $
$ 237075 (kJ)/h *(h)/(3600s)*(1000J)/(kJ) = -65854.16 J/s= W$
Ma pendo che sia potenza spesa e quindi si ha il valore negativo $ dot(L) = -65854.16 W$
Dite che ho fatto bene
Risposte
Ti dico la mia in attesa di utenti più esperti.... 
Secondo me il punto 1 va bene, il lavoro puo' essere calcolato, specialmente in processi ritenuti adiabatici, come moltiplicazione di un massa o portata massica nel caso per la differenza di entalpia.
Non ho compreso invece come hai calcolato il punto n.2
Secondo me il punto 1 va bene, il lavoro puo' essere calcolato, specialmente in processi ritenuti adiabatici, come moltiplicazione di un massa o portata massica nel caso per la differenza di entalpia.
Non ho compreso invece come hai calcolato il punto n.2
"mttjpn":
Ti dico la mia in attesa di utenti più esperti....
Ok, aspettiamo qualche esperto
"mttjpn":
Secondo me il punto 1 va bene...
Speriamo!
"mttjpn":
Non ho compreso invece come hai calcolato il punto n.2
Se la sezione di ingresso e la sezione di uscita hanno lo stesso diametro, si ha una condizione di volume costante e quindi si ha una trasformazione Isocora, da cui la mia conclusione!
Tutto qui!
Dall'equazione di bernoulli, sotto le ipotesi valide che il liquido sia incomprimbile e le flange di aspirazione e mandata siano alla stessa altrezza si ricava la potenza di una pompa,
$ W=Q*\DeltaH $ , con Q in m3/s e H in Pa, in modo da ottenere la potenza in Watt.
Vi suggerisco caldamente, per esercizio, di trovare la potenza della pompa usando Bernoulli, perche qui la avete applicata male, al punto di dire che "...per poter sfruttare Bernoulli, occorrono le velocitàw e i volumi specifici, e quindi non penso proprio che io possa utilizzare il Bernoulli".
Essendo Bernoulli alla base della fluidodinamica si puo' utilizzare sempre, purche con i dovuti ragionamenti e non con copia e incolla solo perche esiste.
Si assume che il rendimento della pompa sia 1, altrimenti la formula sopra andrebbe divisa per il rendimento.
Qui NON siamo in condizioni di vapor saturo, e' acqua bella liquida all ingresso e ancora piu liquida alla mandata.
Quindi (1) NON si possono usare le tabelle del vapor saturo e (2) si possono assumere densita e calore specifico costanti e validi rispettivamente $1,000[kg]/[m^3]$ e $4,186 [J/[kg*K]]$
Detto cio'
$ Q=300[kg]/h=(300*10^(-3))/[3600][m^3/sec]=83.3*10^[-6][m^3/sec] = 83.3*10^[-3][kg]/[sec]$
$\DeltaH=19.5atm=19.5*101,325Pa=1.976*10^6Pa$
Il risultato da W=164W
Sicccome l'azione di pompaggio e' adiabatica, da $U=Q-L$ si capisce che tutto il lavoro va in energia interna cioe'
$mc\DeltaT=L$ ovvero $\dotm*c\DeltaT=W$
Quindi,
$ \DeltaT=[164]/[4,186*83.3*10^[-3]] =0.47C$
La variazione di temperatura come calcolata da te al punto 1 non va bene perche quell'equazione si riferisce a un gas, ma questo e' un liquido, per di piu nemmeno saturo
$ W=Q*\DeltaH $ , con Q in m3/s e H in Pa, in modo da ottenere la potenza in Watt.
Vi suggerisco caldamente, per esercizio, di trovare la potenza della pompa usando Bernoulli, perche qui la avete applicata male, al punto di dire che "...per poter sfruttare Bernoulli, occorrono le velocitàw e i volumi specifici, e quindi non penso proprio che io possa utilizzare il Bernoulli".
Essendo Bernoulli alla base della fluidodinamica si puo' utilizzare sempre, purche con i dovuti ragionamenti e non con copia e incolla solo perche esiste.
Si assume che il rendimento della pompa sia 1, altrimenti la formula sopra andrebbe divisa per il rendimento.
Qui NON siamo in condizioni di vapor saturo, e' acqua bella liquida all ingresso e ancora piu liquida alla mandata.
Quindi (1) NON si possono usare le tabelle del vapor saturo e (2) si possono assumere densita e calore specifico costanti e validi rispettivamente $1,000[kg]/[m^3]$ e $4,186 [J/[kg*K]]$
Detto cio'
$ Q=300[kg]/h=(300*10^(-3))/[3600][m^3/sec]=83.3*10^[-6][m^3/sec] = 83.3*10^[-3][kg]/[sec]$
$\DeltaH=19.5atm=19.5*101,325Pa=1.976*10^6Pa$
Il risultato da W=164W
Sicccome l'azione di pompaggio e' adiabatica, da $U=Q-L$ si capisce che tutto il lavoro va in energia interna cioe'
$mc\DeltaT=L$ ovvero $\dotm*c\DeltaT=W$
Quindi,
$ \DeltaT=[164]/[4,186*83.3*10^[-3]] =0.47C$
La variazione di temperatura come calcolata da te al punto 1 non va bene perche quell'equazione si riferisce a un gas, ma questo e' un liquido, per di piu nemmeno saturo
"professorkappa":
Vi suggerisco caldamente, per esercizio, di trovare la potenza della pompa usando Bernoulli, perche qui la avete applicata male.....
Sto cercando pure di applicarla,
$gz_1 + (w_1^2)/2 + p_1v_1=gz_2 + (w_2^2)/2 + p_2v_2 + R+L $ , (L= lavoro, R= perdite di carico)
Da quello che hai detto in un altro esercizio, mi sembra di aver compreso che Bernoulli non si possa applicare in assenza di perdite di carico, ed in sostanza li hai anche fatto un esempio con la corrente che io ricordo e confermo dalla Fisica, solo che il mio testo dice si può avere il caso di perdite di carico trascurabili ed anche lavoro trascurabile e quindi si procede con arrivare ad:
$gz_1 + (w_1^2)/2 + p_1v_1=gz_2 + (w_2^2)/2 + p_2v_2 $
Questo viene detto nel mio testo e io ti allego l'immagine per evitare che ci sia una cattiva interpretazione di quello che ho letto:
Questo che è scritto parla chiaramente del fatto che ci possono essere resistenze interne trascurabili e quindi con Bernoulli si può procedere ugualmente, mentre in quell'altro thread hai detto che non è possibile usare Bernoulli se non ci sono perdite $R$, adesso ho però un po le idee confuse
Nonostante queste mie confusioni, però sto cercando di vedere una via risolutiva applicando Bernoulli!
Ma dai dati che ho, anche in questo caso mi sembra che l'esercizio non vuole che si opti ad utilizzare Bernoulli, ed in effetti il mio testo nella teoria parla di $dot(L) = - dot(m)(h_2 - h_1)$, ed anche il nostro collega di Thread pensa questo:
"mttjpn":
Ti dico la mia in attesa di utenti più esperti....
Secondo me il punto 1 va bene, il lavoro puo' essere calcolato, specialmente in processi ritenuti adiabatici, come moltiplicazione di un massa o portata massica nel caso per la differenza di entalpia.
Pfk, sono sicuro che tu dici sempre cose più che giuste, è un dato di fatto, ma non potrebbe essere fattibile la soluzione che ho dato
Cosa ne dici
"professorkappa":
Dall'equazione di Bernoulli, sotto le ipotesi valide che il liquido sia incomprimbile e le flange di aspirazione e mandata siano alla stessa altrezza si ricava la potenza di una pompa,
$ W=Q*\DeltaH $ , con Q in m3/s e H in Pa, in modo da ottenere la potenza in Watt.
Sto cercando di ricostruire la formula che hai scritto $ W=Q*\DeltaH $ che non la vedo esplicitata sui miei testi, e trovando qua e la sul web, ho trovato che quella si chiama prevalenza e non potenza, ma vuol dire che prevalenza = potenza
Vediamo se è la stessa cosa di quello che sto per scrivere....
Per i sistemi a flusso stazionario si ha che:
$dot(E)_(e n t r a n t e) = dot(E)_(u s c e n t e)$
Ossia:
$dot(Q)_(e n t r) + dot(L)_(e n t r)+ dot(m)_(e n t r)*(h+(w^2)/(2) + gz)= dot(Q)_(u s c)+ dot(L)_(u s c)+ dot(m)_(u s c )*(h+(w^2)/(2) + gz)$
Ovviamente $dot(Q)$ è potenza termica.
$dot(L)$ è la potenza.
Arrangiata per il caso nostro, la via che mi rende più vicino alla tua formula $ W=Q*\DeltaH $ e che:
$dot(Q)_(e n t r) + dot(L)_(e n t r)+ dot(m)_(e n t r)*(h)= dot(Q)_(u s c)+ dot(L)_(u s c)+ dot(m)_(u s c )*(h)$
$W = dot(m)_(u s c )*(h_2 - h_1)$ con $dot(m)$ in $m^3/s$ e $h$ che è entalapia specifica $(J)/(s)$.
Ho tentato di ricostruire un tuo ragionamento ma non so se ci sia qualcosa in comune con quello che hai detto tu
E se non ho detto nulla di concreto, come ci si arriva a scrivere la seguente $ W=Q*\DeltaH $ che hai scritto tu
No, hai letto male. Bernoulli si puo applicare sempre, perdite di carico o no.
Sono le perdite di carico che non possono essere trascurate sempre altrimenti si rischiano paradossi come nell'altro esercizio dove ti ho mostrato che trascurando le perdite di carico si arrivava al paradosso che le pressioni erano identiche all ingresso e all uscita.
Non vedo l'immagine.
Comunque qui le perdite di carico si possono trascurare.
Bernoulli si scrive cosi
All energia del fluido in ingresso, va aggiunta la energia della pompa per ottenere l'energia finale.
Per unita' di massa, vale dunque
$ p_1/[rho]+w_1/[2]+gh_1+L/m=p_2/[rho]+w_2/[2]+gh_2 $
liquido incomprimibile, stessa altezza, stessa velocita'. Fatte le dovute semplificazioni, l lavoro per unita' di massa L/m e' dato dalla differenza di pressione, differenza che moltiplicata per la portata in massa/sec) ti dara la potenza.
Sono le perdite di carico che non possono essere trascurate sempre altrimenti si rischiano paradossi come nell'altro esercizio dove ti ho mostrato che trascurando le perdite di carico si arrivava al paradosso che le pressioni erano identiche all ingresso e all uscita.
Non vedo l'immagine.
Comunque qui le perdite di carico si possono trascurare.
Bernoulli si scrive cosi
All energia del fluido in ingresso, va aggiunta la energia della pompa per ottenere l'energia finale.
Per unita' di massa, vale dunque
$ p_1/[rho]+w_1/[2]+gh_1+L/m=p_2/[rho]+w_2/[2]+gh_2 $
liquido incomprimibile, stessa altezza, stessa velocita'. Fatte le dovute semplificazioni, l lavoro per unita' di massa L/m e' dato dalla differenza di pressione, differenza che moltiplicata per la portata in massa/sec) ti dara la potenza.
Antonio, se continui a fare edit dei post succede che io leggo, rispondo a quel post e la mia risposta va a finire a fronte di un post tuo completamente stravolto, sembra il blaterare di 2 sordi.
Prevalenza non e' potenza.
h in bernoulli non e' entalpia, e altezza.
Non puoi, a meta esercizio, uscirtene con la prevalenza. La prevalenza la devi consocere PRIMA di fare l'esercizio.
Ma per spiegare tutto qui bisogna partire dalla teoria del moto stazionario. Diventa impossibile se non hai chiari i termini dell equazione di bernoulli e soprattutto le unita di misura associate.
Prevalenza non e' potenza.
h in bernoulli non e' entalpia, e altezza.
Non puoi, a meta esercizio, uscirtene con la prevalenza. La prevalenza la devi consocere PRIMA di fare l'esercizio.
Ma per spiegare tutto qui bisogna partire dalla teoria del moto stazionario. Diventa impossibile se non hai chiari i termini dell equazione di bernoulli e soprattutto le unita di misura associate.
Perdonami per gli edit, per quanto riguarda Bernoulli io conosco bene il suo principio, sia im termini dimensionali ecc., ho solo tentato di ricostruire alcuni tuoi concetti!
"professorkappa":
$ p_1/[rho]+w_1/[2]+gh_1+L/m=p_2/[rho]+w_2/[2]+gh_2 $ .
Scusami, ma qui la velocità dell'energia cinetica dovrebbe essere elevata al quadrato, no?
Cioè $w_1^2/2$ idem per la $w_2^2/2$ , giusto
si, e' saltato nella prima e se l'e' trascinato sul copia incolla
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