Bilancio della massa per un volume di controllo
L'equazione del bilancio della massa per un volume di controllo è un'equazione del seguente tipo:
$a/d=(b-c)/d$ (1),
dove l'incognita $d$ rappresenta un intervallo di tempo, $a$ la variazione della massa del VC nel tempo $d$, $b$ la massa totale entrante nel tempo $d$ e $c$ la massa totale uscente nel tempo $d$.
Consideriamo ora due modi estetici diversi in cui tale equazione è scritta:
$(Delta m_(VC))/(Delta t)=m_E/(Delta t)-m_U/(Delta t)$ (2)
$(dm_(VC))/dt=(dm_E)/dt-(dm_U)/dt$ (3).
Qualsiasi sia la "grandezza" delle quantità con le quali si ha a che fare, si potrebbe usare sempre l'equazione scritta nella forma (1). Tuttavia, quando si lavora con quantità numeriche abbastanza grandi, si usa l'equazione (1) scritta nella forma (2), mentre, quando si ha a che fare con numeri molto piccoli, vicini allo zero, si usa l'equazione (1) scritta nella forma (3).
Che ne pensate?
$a/d=(b-c)/d$ (1),
dove l'incognita $d$ rappresenta un intervallo di tempo, $a$ la variazione della massa del VC nel tempo $d$, $b$ la massa totale entrante nel tempo $d$ e $c$ la massa totale uscente nel tempo $d$.
Consideriamo ora due modi estetici diversi in cui tale equazione è scritta:
$(Delta m_(VC))/(Delta t)=m_E/(Delta t)-m_U/(Delta t)$ (2)
$(dm_(VC))/dt=(dm_E)/dt-(dm_U)/dt$ (3).
Qualsiasi sia la "grandezza" delle quantità con le quali si ha a che fare, si potrebbe usare sempre l'equazione scritta nella forma (1). Tuttavia, quando si lavora con quantità numeriche abbastanza grandi, si usa l'equazione (1) scritta nella forma (2), mentre, quando si ha a che fare con numeri molto piccoli, vicini allo zero, si usa l'equazione (1) scritta nella forma (3).
Che ne pensate?
Risposte
La (1) e la (2) sono esattamente la stessa cosa., cambi solo nome alle variabili.
E' un'equazione, se hai un'incognita e gli altri dati assegnati, semplicemente, la risolvi.
La usi dunque per ricavare il valore di una grandezza ad un determinato istante (supponendo di conoscere $t_0$)
note le altre.
... no, questa cosa non ha senso. Cioè non ha senso neanche pensarla
la (3) è una relazione differenziale. La usi per sapere l'evoluzione temporale di una certa grandezza,
non hai valori in un istante, ma funzioni nel tempo.
Riassumendo
dalla (2) ricavi il valore istantaneo (conoscendo il resto).
dalla (3) l'evoluzione del sistema
E' un'equazione, se hai un'incognita e gli altri dati assegnati, semplicemente, la risolvi.
La usi dunque per ricavare il valore di una grandezza ad un determinato istante (supponendo di conoscere $t_0$)
note le altre.
Tuttavia, quando si lavora con quantità numeriche abbastanza grandi, si usa l'equazione (1) scritta nella forma (2), mentre, quando si ha a che fare con numeri molto piccoli, vicini allo zero, si usa l'equazione (1) scritta nella forma (3).
... no, questa cosa non ha senso. Cioè non ha senso neanche pensarla
la (3) è una relazione differenziale. La usi per sapere l'evoluzione temporale di una certa grandezza,
non hai valori in un istante, ma funzioni nel tempo.
Riassumendo
dalla (2) ricavi il valore istantaneo (conoscendo il resto).
dalla (3) l'evoluzione del sistema
Ciao seven, ho fatto questa domanda perché come ben saprai i libri di Ingegneria quando scrivono $dx$, ad esempio, indicano una variabile che può assumere dei valori molto piccoli. Quindi io ho interpretato l'equazione (3) come un'equazione nelle incognite $dm_(VC)$, $dt$, $dm_E$, $dm_U$ con la particolarità che tali incognite possono assumere dei valori non troppo grandi. Quindi tale impostazione non va bene?
"lisdap":
Ciao seven, ho fatto questa domanda perché come ben saprai i libri di Ingegneria quando scrivono $dx$, ad esempio, indicano una variabile che può assumere dei valori molto piccoli. Quindi io ho interpretato l'equazione (3) come un'equazione nelle incognite $dm_(VC)$, $dt$, $dm_E$, $dm_U$ con la particolarità che tali incognite possono assumere dei valori non troppo grandi. Quindi tale impostazione non va bene?
Il $dx$ non è una variabile che può assumere valori molto piccoli.
Nei testi di ingegneria viene usata la nozione di infinitesimo, il $dx$, come anche in fisica, anche se manca di rigore.
L'uso degli infinitesimi è esclusivamente teorico e ai fini del calcolo vengono considerati delle quantità algebriche a tutti gli effetti:
da essi si ricavano agevolmente, attraverso bilanci, applicazioni di principi e leggi fisiche su un sistema, delle relazioni differenziali che ne descrivono importanti proprietà e applicabili ai problemi.
Non hai visto quanti bilanci si fanno su cubetti elementari? a me è venuta la nasuea
Il $dx$ non va usato per ricavare numeri negli esercizi.
Ciao seven, il mio testo, per contribuire ad aumentare la confusione, dice proprio:
"......consideriamo un elemento di area MOLTO PICCOLO $dA$".
Buona serata!
"......consideriamo un elemento di area MOLTO PICCOLO $dA$".
Buona serata!
è solo un espediente teorico.. quel piccolo non è quantificato, piccolo sta per infinitesimo
Ok, però infinitesimo che vuol dire? Una cosa che tende a zero vero? E a che mi serve prendere un elemento infinitesimo se neanche riesco ad immaginarmelo visto che se penso ad un'area di $0,00000000000001 mm^2$ l'area in questione è più piccola?
Ti ringrazio seven, e scusa la testa dura
Ti ringrazio seven, e scusa la testa dura
e a che ti serve immaginartelo?mettiamola così: è l'area più piccola che tu possa immaginare.
Applicando i principi della fisica a modelli infinitesimi riesci a caratterizzare un sistema localmente
e quindi a scrivere equazioni di bilancio integro-differenziali per quel sistema.
Non so, pensa alla fluidodinamica, l'equazione di continuità..
visto che ne parliamo http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_ ... nuit%C3%A0
tra l'altro è proprio quello di cui parli tu... solo riferita al volume materiale
Se vuoi riferirti al volume di controllo ci sono alcune considerazioni da fare
La dimostrazione corretta, cioè senza passare per infinitesimi e giocattoli del genere,
la trovi sulle dispense di fluidodinamica di Piva della Sapienza.
Su quelle dispense (un po' stringate a dire il vero) si fa fisica matematica,
quindi il rigore c'è, non è quello di un testo di fisica.
(non ci sono se o ma, si applica l'analisi pura come è, non quella di Liebniz)
Tra l'altro l'uso degli infinitesimi per dimostrare delle equazioni non è rigoroso e
porta a tutte queste domande, che comunque è giusto porsi..
Spesso avrai sentito che il $dV$ deve essere piccolo, ma non troppo,
perché nella realtà deve contenere un certo numero di molecole (meccanica dei continui)
tale che vi sia continuità tra le proprietà fisiche dei volumetti adiacenti
(per intenderci se $V=l^3$ e $l$ è pari alla distanza intermolecolare della struttura, avresti
cubi a densità nulla adiacenti a cubi a densità massima, e quindi.. ora spiego).
Questa frase a parer mio non ha proprio senso e induce solo in errore lo studente:
dopotutto essendo l'uso degli infinitesimi poco giustificabile tanto vale
tirare fuori frasi che facciano capire dei concetti che rimangano impressi
(cioè, il fine giustifica i mezzi).
L'unica cosa che si vuol dire è che il modello di continuo è adatto a descrivere
fenomeni di una certa scala, non può essere usato per andare a caratterizzare
un materiale a livello microscopico o reticolare, dove le grandezze
che consideriamo continue sono discontinue e vanno modellate come tali.
In conclusione, al $dqualsiasicosa$, non devi attribuire un valore o una quantità algebrica,
anche se quando svolgi i calcoli lo consideri tale.
Il suo uso è una scorciatoia per ottenere gli stessi risultati che potresti ottenere
rigorosamente dall'analisi standard, ma che per pigrizia non si fa.
Applicando i principi della fisica a modelli infinitesimi riesci a caratterizzare un sistema localmente
e quindi a scrivere equazioni di bilancio integro-differenziali per quel sistema.
Non so, pensa alla fluidodinamica, l'equazione di continuità..
visto che ne parliamo http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_ ... nuit%C3%A0
tra l'altro è proprio quello di cui parli tu... solo riferita al volume materiale
Se vuoi riferirti al volume di controllo ci sono alcune considerazioni da fare
La dimostrazione corretta, cioè senza passare per infinitesimi e giocattoli del genere,
la trovi sulle dispense di fluidodinamica di Piva della Sapienza.
Su quelle dispense (un po' stringate a dire il vero) si fa fisica matematica,
quindi il rigore c'è, non è quello di un testo di fisica.
(non ci sono se o ma, si applica l'analisi pura come è, non quella di Liebniz)
Tra l'altro l'uso degli infinitesimi per dimostrare delle equazioni non è rigoroso e
porta a tutte queste domande, che comunque è giusto porsi..
Spesso avrai sentito che il $dV$ deve essere piccolo, ma non troppo,
perché nella realtà deve contenere un certo numero di molecole (meccanica dei continui)
tale che vi sia continuità tra le proprietà fisiche dei volumetti adiacenti
(per intenderci se $V=l^3$ e $l$ è pari alla distanza intermolecolare della struttura, avresti
cubi a densità nulla adiacenti a cubi a densità massima, e quindi.. ora spiego).
Questa frase a parer mio non ha proprio senso e induce solo in errore lo studente:
dopotutto essendo l'uso degli infinitesimi poco giustificabile tanto vale
tirare fuori frasi che facciano capire dei concetti che rimangano impressi
(cioè, il fine giustifica i mezzi).
L'unica cosa che si vuol dire è che il modello di continuo è adatto a descrivere
fenomeni di una certa scala, non può essere usato per andare a caratterizzare
un materiale a livello microscopico o reticolare, dove le grandezze
che consideriamo continue sono discontinue e vanno modellate come tali.
In conclusione, al $dqualsiasicosa$, non devi attribuire un valore o una quantità algebrica,
anche se quando svolgi i calcoli lo consideri tale.
Il suo uso è una scorciatoia per ottenere gli stessi risultati che potresti ottenere
rigorosamente dall'analisi standard, ma che per pigrizia non si fa.
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