Bicicletta, forza centripeta, pendolo capovolto
Caro Forum,
Sto riflettendo su come una bicicletta in movimento ed in piega verso l'interno della curva non cada verso l'interno della curva.
Bisogna richiamare il concetto di forza centripeta. Manteniamoci nel sistema inerziale (evitando forze fittizie come quella centrifuga) ed osserviamo la bici in movimento. La forza centripeta e' fornita dalla forza di attrito statico fra il copertone e la strada.
Consideriamo per ora un oggetto puntiforme. In passato mi ero chiesto come con una forza radiale come quella centripeta, diretta verso il centro di rotazione, l'oggetto possa mantenersi a distanza fissa R dal centro stesso mentre si muove. Se l'oggetto fosse fermo verrebbe risucchiato verso il suddetto centro. Ma l'oggetto si muove simultaneamente si muove un po' lungo la tangente alla curva ed un po' verso l'interno della curva. Questi due spostamenti avvengono allo stesso tempo e creano una traiettoria curvilinea con raggio R (purche' la forza centripeta sia adeguata). In sostanza, l'oggetto e' continuamente spostato, tirato verso l'interno della curva ma il moto tangenziale alla curva rende la sua posizione sempre uguale al raggio R della curva.
Ora, la bicicletta non e' un oggetto puntiforme ma un corpo esteso che fa contatto con l'asfalto nel punto di contatto copertone/strada. Si puo' pensare alla bicicletta come un pendolo invertito fissato ad una estremita' con la strada. Se siamo in curva e non pieghiamo la bici verso l'interno, a prescindere dal fatto che l'attrito statico con l'asfalto sia sufficiente, veniamo catapultati verso l'esterno della curva, per INERZIA, direi. Il pendolo invertito soffre cioe' una deviazione dalla verticale perche' tutte le parti del pendolo, seppur collegate fra loro, non sono collegate direttamente con il punto in basso a contatto con la strada e sono libere di muoversi per inerzia verso l'esterno della curva.
Matematicamente, ci sono 3 forze in gioco: forza di attrito statico, forza peso, forza normale. Se prendiamo come polo P il punto di contatto copertone/asfalto, la forza normale e la forza di attrito producono momenti meccanici nulli.
La forza peso produce invece un momento meccanico non nullo che se la bici fosse ferma la farebbe cadere verso l'interno della curva. Se la bici e' in movimento invece, il momento meccanico gravitazionale esiste comunque ma la bici non cade!
Cosa bilancia il momento meccanico gravitazionale? Niente. Non c'e' cancellazione, bilanciamento di questo momento con un'altro momento meccanico. Questo momento meccanico esiste e cerca di far cadere la bici continuamente verso il pavimento.
Significa che la bici e' in continua rotazione verso l'interno della curva (cerca di cadere) mentre si muove in continuazione e contemporaneamente verso l'esterno della curva stessa. Questo porta ad una piega che non fa cadere la bici!
Il fatto che la bici sembri in questo equilibrio dinamico era (e') oggetto di confusione perche' pensavo sempre che se un oggetto non ruota (rispetto ad un certo polo) in una certa direzione, significa che il momento meccanico totale deve essere per forza nullo. Ma non e' cosi' nel caso della bici. Il termine "equilibrio dinamico" e' un po' fuorviante....
Scusate la lungaggine ma ho pensato fosse utile condividere questi pensieri che cercano di capire un po' piu' a fondo la situazione...
Grazie
astruso83
Sto riflettendo su come una bicicletta in movimento ed in piega verso l'interno della curva non cada verso l'interno della curva.
Bisogna richiamare il concetto di forza centripeta. Manteniamoci nel sistema inerziale (evitando forze fittizie come quella centrifuga) ed osserviamo la bici in movimento. La forza centripeta e' fornita dalla forza di attrito statico fra il copertone e la strada.
Consideriamo per ora un oggetto puntiforme. In passato mi ero chiesto come con una forza radiale come quella centripeta, diretta verso il centro di rotazione, l'oggetto possa mantenersi a distanza fissa R dal centro stesso mentre si muove. Se l'oggetto fosse fermo verrebbe risucchiato verso il suddetto centro. Ma l'oggetto si muove simultaneamente si muove un po' lungo la tangente alla curva ed un po' verso l'interno della curva. Questi due spostamenti avvengono allo stesso tempo e creano una traiettoria curvilinea con raggio R (purche' la forza centripeta sia adeguata). In sostanza, l'oggetto e' continuamente spostato, tirato verso l'interno della curva ma il moto tangenziale alla curva rende la sua posizione sempre uguale al raggio R della curva.
Ora, la bicicletta non e' un oggetto puntiforme ma un corpo esteso che fa contatto con l'asfalto nel punto di contatto copertone/strada. Si puo' pensare alla bicicletta come un pendolo invertito fissato ad una estremita' con la strada. Se siamo in curva e non pieghiamo la bici verso l'interno, a prescindere dal fatto che l'attrito statico con l'asfalto sia sufficiente, veniamo catapultati verso l'esterno della curva, per INERZIA, direi. Il pendolo invertito soffre cioe' una deviazione dalla verticale perche' tutte le parti del pendolo, seppur collegate fra loro, non sono collegate direttamente con il punto in basso a contatto con la strada e sono libere di muoversi per inerzia verso l'esterno della curva.
Matematicamente, ci sono 3 forze in gioco: forza di attrito statico, forza peso, forza normale. Se prendiamo come polo P il punto di contatto copertone/asfalto, la forza normale e la forza di attrito producono momenti meccanici nulli.
La forza peso produce invece un momento meccanico non nullo che se la bici fosse ferma la farebbe cadere verso l'interno della curva. Se la bici e' in movimento invece, il momento meccanico gravitazionale esiste comunque ma la bici non cade!
Cosa bilancia il momento meccanico gravitazionale? Niente. Non c'e' cancellazione, bilanciamento di questo momento con un'altro momento meccanico. Questo momento meccanico esiste e cerca di far cadere la bici continuamente verso il pavimento.
Significa che la bici e' in continua rotazione verso l'interno della curva (cerca di cadere) mentre si muove in continuazione e contemporaneamente verso l'esterno della curva stessa. Questo porta ad una piega che non fa cadere la bici!
Il fatto che la bici sembri in questo equilibrio dinamico era (e') oggetto di confusione perche' pensavo sempre che se un oggetto non ruota (rispetto ad un certo polo) in una certa direzione, significa che il momento meccanico totale deve essere per forza nullo. Ma non e' cosi' nel caso della bici. Il termine "equilibrio dinamico" e' un po' fuorviante....
Scusate la lungaggine ma ho pensato fosse utile condividere questi pensieri che cercano di capire un po' piu' a fondo la situazione...
Grazie
astruso83
Risposte
Ti ho già risposto, sommariamente, nel penultimo post dove abbiamo parlato di rotazione, circa l'equilibrio dinamico della bicicletta. Riguarda quella risposta. Ci sono due momenti uguali e contrari che tengono la bici in equilibrio dinamico nel riferimento rotante, non inerziale, del ciclista.
Questo, detto molto alla buona.
Naturalmente sarebbe utile se altri dicessero la propria idea.
Questo, detto molto alla buona.
Naturalmente sarebbe utile se altri dicessero la propria idea.
Certo, dal sistema non inerziale della bicicletta si sono due momenti opposti (quello della forza peso e quello della forza centrifuga).
Ma se lasciamo fuori la forza centrifuga e studiamo la situazione dal punto di vista inerziale della strada, non ci sono due momenti opposti ma solo quello non nullo della forza peso.
astruso83
Ma se lasciamo fuori la forza centrifuga e studiamo la situazione dal punto di vista inerziale della strada, non ci sono due momenti opposti ma solo quello non nullo della forza peso.
astruso83
Come ti ha fatto notare navigatore, in questo caso se ti chiedessero di calcolare, nota la velocità con cui il ciclista percorre la curva e il raggio della curva percorsa, quanto la bicicletta sia inclinata, la cosa più semplice è porsi in un sistema non inerziale che vede il ciclista fermo e scrivere l'equilibrio dei momenti rispetto ad un qualunque polo, tenendo conto delle forze apparenti.
A te però vedo piace complicare, certo va bene se lo scopo è quello di comprendere meglio le cose.
In un sistema inerziale esterno, non ci sono forze apparenti e tutte le caratteristiche del moto si determinano scrivendo la prima e la seconda equazione cardinale della dinamica, tenendo bene conto delle forze in gioco.
Per la prima equazione vettoriale, quella della quantità di moto, c'è poco da dire, le uniche forze sono il peso verticale e la reazione della strada, che ha una componente che bilancia il peso e l'altra che fornisce la forza centripeta che fa descrivere al ciclista la traiettoria curva.
Per la seconda equazione vettoriale, quella del momento angolare, le cose sono più complesse.
L'equazione, senza le forze apparenti, vale riferendosi ad un sistema inerziale esterno, ma per non rendere le cose ultra-complicate conviene scrivere le componenti di questa equazione vettoriale rispetto ai versori di una terna mobile che ha l'asse z normale alla strada e che ruota attorno a tale asse z con la stessa velocità angolare del ciclista che percorre la curva.
Per non semplificare troppo le cose, perché so che poi lo chiederesti, scegliamo l'origine di questa terna, non nel centro di massa del ciclista più bici, ma al centro della circonferenza che descrive la traiettoria (circolare) della bici e al livello della strada, con asse x diretto radialmente dall'origine verso il ciclista e asse y normale a x e z con la regola della mano destra, supponiamo anche che il centro di massa del ciclista più la bici sia nel piano zx.
In questo riferimento la velocità angolare del ciclista è $vec omega=((0),(0),(omega))$, mentre la matrice di inerzia del "corpo rigido" ciclista più bici (assumiamo il ciclista più la sua bici come un corpo rigido) è genericamente $ =((I_{x x},I_{x y},I_{x z}),(I_{x y}, I_{y y}, I_{y z}),(I_{x z}, I_{y z}, I_{z z}))$
C'è da notare che comunque per le scelte fatte si trova che $I_{yz}=0$.
La seconda equazione si scrive quindi come.
$dot vec omega + vec omega times vec omega = ((0),(P *(R-h*sin(alpha)) - N R),(0))$
dove $P$ è il peso del ciclista $N$, pari (e opposta) al peso, è la reazione verticale della strada, $R$ è il raggio della curva, $h$ la distanza tra il centro di massa del ciclista più bici dal punto di contatto a terra, e $alpha$ l'angolo di inclinazione rispetto alla verticale.
Svolgendo i conti si trova, imponendo che sia $dot vec omega=0$, che la prima e la terza equazione scalare non danno alcuna informazione, mentre dalla seconda, esprimendo il termine deviatorico $I_{x z}$ della matrice di inerzia in funzione dell'angolo di inclinazione $alpha$ della bicicletta, si può ricavare l'incognita $alpha$.
Quindi, per rispondere al tuo dubbio, se vuoi è vero che in un certo senso è l'inerzia che dal punto di vista di un'osservatore inerziale bilancia il momento del peso e mantiene la bici inclinata, o meglio: tutti i punti che compongono la bici più il ciclista per un osservatore inerziale tendono a avere un moto rettilineo e quindi a partire per la tangente, pertanto il ciclista non potrebbe percorrere la curva stando dritto, l'inclinazione permette al peso di contrastare questo effetto (a patto che il punto di contatto col terreno fornisca la forza centripeta totale necessaria).
Come si vede però è meglio scegliere la via più semplice per arrivare al risultato...
A te però vedo piace complicare, certo va bene se lo scopo è quello di comprendere meglio le cose.
In un sistema inerziale esterno, non ci sono forze apparenti e tutte le caratteristiche del moto si determinano scrivendo la prima e la seconda equazione cardinale della dinamica, tenendo bene conto delle forze in gioco.
Per la prima equazione vettoriale, quella della quantità di moto, c'è poco da dire, le uniche forze sono il peso verticale e la reazione della strada, che ha una componente che bilancia il peso e l'altra che fornisce la forza centripeta che fa descrivere al ciclista la traiettoria curva.
Per la seconda equazione vettoriale, quella del momento angolare, le cose sono più complesse.
L'equazione, senza le forze apparenti, vale riferendosi ad un sistema inerziale esterno, ma per non rendere le cose ultra-complicate conviene scrivere le componenti di questa equazione vettoriale rispetto ai versori di una terna mobile che ha l'asse z normale alla strada e che ruota attorno a tale asse z con la stessa velocità angolare del ciclista che percorre la curva.
Per non semplificare troppo le cose, perché so che poi lo chiederesti, scegliamo l'origine di questa terna, non nel centro di massa del ciclista più bici, ma al centro della circonferenza che descrive la traiettoria (circolare) della bici e al livello della strada, con asse x diretto radialmente dall'origine verso il ciclista e asse y normale a x e z con la regola della mano destra, supponiamo anche che il centro di massa del ciclista più la bici sia nel piano zx.
In questo riferimento la velocità angolare del ciclista è $vec omega=((0),(0),(omega))$, mentre la matrice di inerzia del "corpo rigido" ciclista più bici (assumiamo il ciclista più la sua bici come un corpo rigido) è genericamente $ =((I_{x x},I_{x y},I_{x z}),(I_{x y}, I_{y y}, I_{y z}),(I_{x z}, I_{y z}, I_{z z}))$
C'è da notare che comunque per le scelte fatte si trova che $I_{yz}=0$.
La seconda equazione si scrive quindi come.
$dot vec omega + vec omega times vec omega = ((0),(P *(R-h*sin(alpha)) - N R),(0))$
dove $P$ è il peso del ciclista $N$, pari (e opposta) al peso, è la reazione verticale della strada, $R$ è il raggio della curva, $h$ la distanza tra il centro di massa del ciclista più bici dal punto di contatto a terra, e $alpha$ l'angolo di inclinazione rispetto alla verticale.
Svolgendo i conti si trova, imponendo che sia $dot vec omega=0$, che la prima e la terza equazione scalare non danno alcuna informazione, mentre dalla seconda, esprimendo il termine deviatorico $I_{x z}$ della matrice di inerzia in funzione dell'angolo di inclinazione $alpha$ della bicicletta, si può ricavare l'incognita $alpha$.
Quindi, per rispondere al tuo dubbio, se vuoi è vero che in un certo senso è l'inerzia che dal punto di vista di un'osservatore inerziale bilancia il momento del peso e mantiene la bici inclinata, o meglio: tutti i punti che compongono la bici più il ciclista per un osservatore inerziale tendono a avere un moto rettilineo e quindi a partire per la tangente, pertanto il ciclista non potrebbe percorrere la curva stando dritto, l'inclinazione permette al peso di contrastare questo effetto (a patto che il punto di contatto col terreno fornisca la forza centripeta totale necessaria).
Come si vede però è meglio scegliere la via più semplice per arrivare al risultato...
Bella spiegazione Faussone, lo sapevo che prima o poi saresti intervenuto, anzi me lo auguravo! 
Io aggiungo qualche mio pensiero, senza matematica.
Prima di chiederci che succede alla bici in curva, perché non ci chiediamo :
"Come fa la bici ad andare diritta? Anzi, siamo sicuri che va in linea retta? Se è ferma, non ci sono dubbi: cade. E perché basta che il ciclista cominci a pedalare, anche lentamente, e la bici non cade più? " .
Forse se capiamo questo riusciamo meglio a capire il comportamento in curva.
Io vivo in una città dove si va in bici. Stamattina ero a piedi, e osservavo ciclisti che si avvicinavano a me, e ciclisti che si allontanavano.
No, direi di no, la bici, impercettibilmente ma decisamente, non segue una linea retta, quando "va diritta" secondo noi.
Io penso questo:
Il sistema bici+ciclista non è un corpo rigido, è un sistema reale deformabile. Le gomme si schiacciano, il contatto col suolo non è un punto ma una superficie. Il centro di massa non è un punto fisso.
Impercettibilmente, quando la bici tende a cadere da un lato, il ciclista sposta il tronco dall'altro, in modo che la verticale per il cdm cada sempre dentro il perimetro di appoggio, e corregge pure con microscopici gesti delle mani la posizione del manubrio, in modo da contrastare la caduta istante per istante. E la traiettoria non è una ideale "linea retta", ma una reale curva ondeggiante, sicuramente poco visibile, che però rimane confinata dentro le superfici di appoggio mobili delle due ruote.
Fateci caso….
E mi sto ricredendo sul ruolo dell'effetto giroscopico, sia pure piccolo ma presente, che ha la sua importanza, non è affatto trascurabile secondo me.
Prendiamo un disco sottile, come una moneta ma molto più schiacciato, di spessore quasi nullo. Se lo mettiamo " di taglio" a terra, la posizione è di "equilibrio instabile" ( non così per una vera moneta, che ha un certo spessore).Ma se lo facciamo rotolare per diritto con una certa velocità, rimane verticale mentre rotola.
Evidentemente il momento angolare iniziale e la velocità angolare inizialmente impressa attorno all'asse centrale di inerzia perpendicolare al piano del disco sono paralleli, e vale la uguaglianza : $\vecL = I \vec\omega$. Non c'è momento di forze esterne rispetto al cdm che coincide col centro del disco, quindi il momento angolare si conserva. Con la solita convenzione sul verso positivo delle rotazioni antiorarie, il disco che rotola allontanandosi davanti a voi ha i due vettori orientati verso sinistra.
Se ora il disco tende a cadere inclinandosi verso la vostra sinistra, il momento del peso rispetto al punto di contatto è rappresentato da un vettore diretto all'indietro. Nella stessa direzione deve ruotare quindi la punta del vettore $\vecL$ , secondo la nota relazione :
$\vecM_e = (d\vecL)/(dt)$
Ecco quindi che l'asse del disco tende a ruotare, visto dall'alto, in senso antiorario anche lui : perciò se il disco tende a cadere verso sinistra, la traiettoria sul piano si curva dalla stessa parte, a sinistra.
E questo, magari con qualche complicazione analitica in più, credo succeda anche per la bici.
Ci deve essere però una velocità limite minima, al di sotto della quale il disco non si mantiene in rotazione nel piano verticale. E infatti, dopo un po', a causa degli attriti, il disco rallenta, e cade.
Io aggiungo qualche mio pensiero, senza matematica.
Prima di chiederci che succede alla bici in curva, perché non ci chiediamo :
"Come fa la bici ad andare diritta? Anzi, siamo sicuri che va in linea retta? Se è ferma, non ci sono dubbi: cade. E perché basta che il ciclista cominci a pedalare, anche lentamente, e la bici non cade più? " .
Forse se capiamo questo riusciamo meglio a capire il comportamento in curva.
Io vivo in una città dove si va in bici. Stamattina ero a piedi, e osservavo ciclisti che si avvicinavano a me, e ciclisti che si allontanavano.
No, direi di no, la bici, impercettibilmente ma decisamente, non segue una linea retta, quando "va diritta" secondo noi.
Io penso questo:
Il sistema bici+ciclista non è un corpo rigido, è un sistema reale deformabile. Le gomme si schiacciano, il contatto col suolo non è un punto ma una superficie. Il centro di massa non è un punto fisso.
Impercettibilmente, quando la bici tende a cadere da un lato, il ciclista sposta il tronco dall'altro, in modo che la verticale per il cdm cada sempre dentro il perimetro di appoggio, e corregge pure con microscopici gesti delle mani la posizione del manubrio, in modo da contrastare la caduta istante per istante. E la traiettoria non è una ideale "linea retta", ma una reale curva ondeggiante, sicuramente poco visibile, che però rimane confinata dentro le superfici di appoggio mobili delle due ruote.
Fateci caso….
E mi sto ricredendo sul ruolo dell'effetto giroscopico, sia pure piccolo ma presente, che ha la sua importanza, non è affatto trascurabile secondo me.
Prendiamo un disco sottile, come una moneta ma molto più schiacciato, di spessore quasi nullo. Se lo mettiamo " di taglio" a terra, la posizione è di "equilibrio instabile" ( non così per una vera moneta, che ha un certo spessore).Ma se lo facciamo rotolare per diritto con una certa velocità, rimane verticale mentre rotola.
Evidentemente il momento angolare iniziale e la velocità angolare inizialmente impressa attorno all'asse centrale di inerzia perpendicolare al piano del disco sono paralleli, e vale la uguaglianza : $\vecL = I \vec\omega$. Non c'è momento di forze esterne rispetto al cdm che coincide col centro del disco, quindi il momento angolare si conserva. Con la solita convenzione sul verso positivo delle rotazioni antiorarie, il disco che rotola allontanandosi davanti a voi ha i due vettori orientati verso sinistra.
Se ora il disco tende a cadere inclinandosi verso la vostra sinistra, il momento del peso rispetto al punto di contatto è rappresentato da un vettore diretto all'indietro. Nella stessa direzione deve ruotare quindi la punta del vettore $\vecL$ , secondo la nota relazione :
$\vecM_e = (d\vecL)/(dt)$
Ecco quindi che l'asse del disco tende a ruotare, visto dall'alto, in senso antiorario anche lui : perciò se il disco tende a cadere verso sinistra, la traiettoria sul piano si curva dalla stessa parte, a sinistra.
E questo, magari con qualche complicazione analitica in più, credo succeda anche per la bici.
Ci deve essere però una velocità limite minima, al di sotto della quale il disco non si mantiene in rotazione nel piano verticale. E infatti, dopo un po', a causa degli attriti, il disco rallenta, e cade.
L'argomento "motivo per cui la bicicletta è stabile quando in moto" credo non sia quello che chiedeva astruso83 che si riferiva più alla dinamica in curva, che tuttavia è moltissimo legata a quell'argomento più generale.
Infatti peraltro non è del tutto vero dire che una bicicletta, o una motocicletta, siano stabili per effetto giroscopico, quello è solo uno dei motivi ed è oltretutto piuttosto marginale, come è ben spiegato, per chi ha voglia di leggere, qui.
Infatti peraltro non è del tutto vero dire che una bicicletta, o una motocicletta, siano stabili per effetto giroscopico, quello è solo uno dei motivi ed è oltretutto piuttosto marginale, come è ben spiegato, per chi ha voglia di leggere, qui.
Sono d'accordo.
L'inclinazione in avanti della forcella sembra essere importantissima. Sto leggendo degli articoli in inglese e l'angolo che la forcella ha con la verticale e' detto caster che puo' essere positivo o negativo. Per avere stabilita' l'angolo deve essere positivo.
Il copertone, quando si gira a destra o a sinistra, ha la zona di contatto (contact patch) che si trova dietro la forcella. Nello girare si deforma la contact patch (torsione) e si causa un momento meccanico che spinge la forcella di nuovo nella direzione in avanti.
Nel caso di caster negativo, la bici diventa instabile.
Grazie,
astruso83
L'inclinazione in avanti della forcella sembra essere importantissima. Sto leggendo degli articoli in inglese e l'angolo che la forcella ha con la verticale e' detto caster che puo' essere positivo o negativo. Per avere stabilita' l'angolo deve essere positivo.
Il copertone, quando si gira a destra o a sinistra, ha la zona di contatto (contact patch) che si trova dietro la forcella. Nello girare si deforma la contact patch (torsione) e si causa un momento meccanico che spinge la forcella di nuovo nella direzione in avanti.
Nel caso di caster negativo, la bici diventa instabile.
Grazie,
astruso83
Sì certo, ma non è solo la forma della forcella della ruota anteriore a determinare la stabilità o meno. L'effetto giroscopico, pur piccolo, ha la sua importanza. Maggiore è la velocità, come in una motocicletta da corsa, maggiore è l'importanza.
Sulla dinamica della bicicletta sono stati scritti volumi.
Anche questo articolo che avevo già linkato (dove all'inizio si parla di ben otto equazioni differenziali accoppiate, scritte da qualcuno,in cui ci sono da considerare 70 parametri) non è male:
http://qinf.fisica.unimi.it/~paris/bicicletta.pdf
Sulla dinamica della bicicletta sono stati scritti volumi.
Anche questo articolo che avevo già linkato (dove all'inizio si parla di ben otto equazioni differenziali accoppiate, scritte da qualcuno,in cui ci sono da considerare 70 parametri) non è male:
http://qinf.fisica.unimi.it/~paris/bicicletta.pdf
Riguardo al problema della bicicletta, avrei un dubbio che probabilmente qualcuno può chiarire.
Da una analisi delle relazioni che legano i parametri cinematici mi risulta che la bicicletta, formata da due ruote e con sterzo mobile, se non è iperstatica e non ci sono vincoli inefficaci, ha 3 gradi di libertà. Infatti si può vedere come formata da quattro corpi rigidi, che, se liberi nello spazio tridimensionale, avrebbero n=24 gradi di libertà, due cerniere sferiche per il contatto delle ruote a terra e tre cerniere cilindriche, con grado di vincolo complessivo pari a v=2*3+3*5=21.
Di fatto stabilendo le quazioni (velocità nulla dei punti di contatto solidali alle ruote, velocità "sulle cerniere cilindriche" uguali per i corpi rigidi collegati, velocità angolari relative tra i corpi rigidi orientate secondo l'asse delle cerniere cilindriche) si ottiene che il numero di equazioni è inferiore di 3 rispetto al numero delle incognite.
C'è un dubbio che riguarda una ulteriore equazione, che secondo me dovrei usare, se indipendente dalle altre, visto che fino a questo punto dell'analisi è stato considerato il solo schema strutturale istantaneo della bicicletta, indipendentemente da come i punti di contatto delle ruote, quelli geometrici, non solidali ai corpi in contatto, si muovono sul piano. L'equazione è quella che lega tali velocità alle velocità angolari delle ruote rispetto al telaio e allo sterzo. Se così fosse i gradi di libertà, della bicicletta, non dello schema strutturale istantaneo, in definitiva sarebbero 2, giusto?
Da una analisi delle relazioni che legano i parametri cinematici mi risulta che la bicicletta, formata da due ruote e con sterzo mobile, se non è iperstatica e non ci sono vincoli inefficaci, ha 3 gradi di libertà. Infatti si può vedere come formata da quattro corpi rigidi, che, se liberi nello spazio tridimensionale, avrebbero n=24 gradi di libertà, due cerniere sferiche per il contatto delle ruote a terra e tre cerniere cilindriche, con grado di vincolo complessivo pari a v=2*3+3*5=21.
Di fatto stabilendo le quazioni (velocità nulla dei punti di contatto solidali alle ruote, velocità "sulle cerniere cilindriche" uguali per i corpi rigidi collegati, velocità angolari relative tra i corpi rigidi orientate secondo l'asse delle cerniere cilindriche) si ottiene che il numero di equazioni è inferiore di 3 rispetto al numero delle incognite.
C'è un dubbio che riguarda una ulteriore equazione, che secondo me dovrei usare, se indipendente dalle altre, visto che fino a questo punto dell'analisi è stato considerato il solo schema strutturale istantaneo della bicicletta, indipendentemente da come i punti di contatto delle ruote, quelli geometrici, non solidali ai corpi in contatto, si muovono sul piano. L'equazione è quella che lega tali velocità alle velocità angolari delle ruote rispetto al telaio e allo sterzo. Se così fosse i gradi di libertà, della bicicletta, non dello schema strutturale istantaneo, in definitiva sarebbero 2, giusto?
Per chiarezza riporto le equazioni che ho trovato, impostando la bicicletta come schema strtturale composto da due cerniere sferiche nei punti di contatto e tre cerniere cilindriche interne.
$vecv_(Cp)=vecv_(Ca)=0$
$vecv_(Op)=vecomega_pwedge(O_p-C_p)$
$vecv_(Oa)=vecomega_awedge(O_a-C_a)$
$vecv_S=vecv_(Op)+vecomega_twedge(S-O_p)$
$vecv_(Oa)=vecv_S+vecomega_swedge(O_a-S)$
$vecomega_t=vecomega_p+omega_(tp)vecp(alpha,theta)$
$vecomega_t=vecomega_a+omega_(sa)veca(alpha,theta,gamma)+omega_(ts)vecs(alpha,theta)$
Dove a sta per ruota anteriore, p per posteriore, t sta per telaio, s sta per sterzo, C sta per punto di contatto della ruota, O per centro di rivoluzione della ruota (centro dei cuscinetti), S è un punto sullo sterzo. Se non specificato diversamente con il doppio indice le velocità angolari sono quelle rispetto a terra.
$alpha, theta,gamma$ sono gli angoli rispettivamente di inclinazione del piano telaio rispetto alla verticale, di inclinazione dell'intersezione del piano del telaio con il piano orizzontale rispetto ad un asse di riferimento stabilito sul piano orizzontale, di inclinazione del piano dello sterzo rispetto al piano del telaio, mentre $veca,vecp,vecs$ sono i versori paralleli agli assi dei cuscinetti (anteriore, posteriore, sterzo rispettivamente), dipendenti dai parametri $alpha,gamma,theta$.
Queste sono 24 equazioni in 27 funzioni incognite (24 per posizione e angoli per i quattro corpi e 3 per le componenti delle velocità angolari relative ($omega_(tp),omega_(sa),omega_(ts)$), relative allo schema strutturale istantaneo.
A queste equazioni si deve aggiungerne una ulteriore, visto che queste non tengono conto dello spostamento dei punti di contatto delle ruote sul piano come punti geometrici. Teniamo conto che, stabiliti i valori degli angoli $alpha,theta,gamma$ e nota la posizione di un punto di contatto, anche l'altro punto di contatto è noto, quindi esiste una relazione tra le velocità. Questo fatto non è preso in considerazione nelle equazioni postate, visto che queste ad esempio non dipendono dalla forma della ruota, da cui dipende lo spostamento del punto di contatto, data la velocità angolare, ma solo dal vettore istantaneo $O-C$, che può essere uguale sia per ruota piana che per ruota deformata, ovvero può essere uguale per diversi valori di inclinazione della tangente al perimetro della ruota sul piano di rotolamento, secondo cui è orientata la velocità del punto di contatto geometrico.
Direi quindi che l'ulteriore equazione necessaria, per descrivere completamente la cinematica della bicicletta è indipendente dalle equazioni precedenti.
Se tutte le equazioni sono indipendenti allora rimangono 2 gradi di libertà.
In teoria quindi, se si bloccasse l'inclinazione $alpha$ e l'angolo di sterzo $gamma$ della bicicletta, questa potrebbe essere completamente bloccata, tranne alcuni casi particolari come sterzo dritto e bicicletta verticale. Non si spiega quindi come farebbe a sterzare con inclinazione costante e angolo di sterzo costante, cosa che si verifica comunemente nelle biciclette reali.
La spiegazione sta sulle deformazioni dei corpi, su parametri cinematici che determinano la dipendenza di alcune delle equazioni postate, dovuti al modo in cui viene costruita la bicicletta, secondo cui esisterebbe almeno un angolo di sterzo associato ad un angolo di inclinazione per cui la bicicletta non è bloccata?
$vecv_(Cp)=vecv_(Ca)=0$
$vecv_(Op)=vecomega_pwedge(O_p-C_p)$
$vecv_(Oa)=vecomega_awedge(O_a-C_a)$
$vecv_S=vecv_(Op)+vecomega_twedge(S-O_p)$
$vecv_(Oa)=vecv_S+vecomega_swedge(O_a-S)$
$vecomega_t=vecomega_p+omega_(tp)vecp(alpha,theta)$
$vecomega_t=vecomega_a+omega_(sa)veca(alpha,theta,gamma)+omega_(ts)vecs(alpha,theta)$
Dove a sta per ruota anteriore, p per posteriore, t sta per telaio, s sta per sterzo, C sta per punto di contatto della ruota, O per centro di rivoluzione della ruota (centro dei cuscinetti), S è un punto sullo sterzo. Se non specificato diversamente con il doppio indice le velocità angolari sono quelle rispetto a terra.
$alpha, theta,gamma$ sono gli angoli rispettivamente di inclinazione del piano telaio rispetto alla verticale, di inclinazione dell'intersezione del piano del telaio con il piano orizzontale rispetto ad un asse di riferimento stabilito sul piano orizzontale, di inclinazione del piano dello sterzo rispetto al piano del telaio, mentre $veca,vecp,vecs$ sono i versori paralleli agli assi dei cuscinetti (anteriore, posteriore, sterzo rispettivamente), dipendenti dai parametri $alpha,gamma,theta$.
Queste sono 24 equazioni in 27 funzioni incognite (24 per posizione e angoli per i quattro corpi e 3 per le componenti delle velocità angolari relative ($omega_(tp),omega_(sa),omega_(ts)$), relative allo schema strutturale istantaneo.
A queste equazioni si deve aggiungerne una ulteriore, visto che queste non tengono conto dello spostamento dei punti di contatto delle ruote sul piano come punti geometrici. Teniamo conto che, stabiliti i valori degli angoli $alpha,theta,gamma$ e nota la posizione di un punto di contatto, anche l'altro punto di contatto è noto, quindi esiste una relazione tra le velocità. Questo fatto non è preso in considerazione nelle equazioni postate, visto che queste ad esempio non dipendono dalla forma della ruota, da cui dipende lo spostamento del punto di contatto, data la velocità angolare, ma solo dal vettore istantaneo $O-C$, che può essere uguale sia per ruota piana che per ruota deformata, ovvero può essere uguale per diversi valori di inclinazione della tangente al perimetro della ruota sul piano di rotolamento, secondo cui è orientata la velocità del punto di contatto geometrico.
Direi quindi che l'ulteriore equazione necessaria, per descrivere completamente la cinematica della bicicletta è indipendente dalle equazioni precedenti.
Se tutte le equazioni sono indipendenti allora rimangono 2 gradi di libertà.
In teoria quindi, se si bloccasse l'inclinazione $alpha$ e l'angolo di sterzo $gamma$ della bicicletta, questa potrebbe essere completamente bloccata, tranne alcuni casi particolari come sterzo dritto e bicicletta verticale. Non si spiega quindi come farebbe a sterzare con inclinazione costante e angolo di sterzo costante, cosa che si verifica comunemente nelle biciclette reali.
La spiegazione sta sulle deformazioni dei corpi, su parametri cinematici che determinano la dipendenza di alcune delle equazioni postate, dovuti al modo in cui viene costruita la bicicletta, secondo cui esisterebbe almeno un angolo di sterzo associato ad un angolo di inclinazione per cui la bicicletta non è bloccata?
http://www3.imperial.ac.uk/pls/portallive/docs/1/42149696.PDF
A questo link si può trovare una soluzione del problema, ottenuta per piccoli angoli di inclinazione e di sterzo della bicicletta.
Non ho compreso bene l'impostazione iniziale del problema, se non ho capito male l'equazione della derivata del momento angolare del solo baricentro tiene conto della velocità del polo rispetto a cui viene calcolato, non vengono considerate inerzie distribuite.
Per quanto riguarda la cinematica, viene utilizzato in pratica il teorema di Chasles, per i moti rigidi piani, per cui l'eventuale bloccaggio della bicicletta non è preso in considerazione, come si ricava dalle ipotesi fatte nell'ottenere l'equazione di moto (s).
A questo link si può trovare una soluzione del problema, ottenuta per piccoli angoli di inclinazione e di sterzo della bicicletta.
Non ho compreso bene l'impostazione iniziale del problema, se non ho capito male l'equazione della derivata del momento angolare del solo baricentro tiene conto della velocità del polo rispetto a cui viene calcolato, non vengono considerate inerzie distribuite.
Per quanto riguarda la cinematica, viene utilizzato in pratica il teorema di Chasles, per i moti rigidi piani, per cui l'eventuale bloccaggio della bicicletta non è preso in considerazione, come si ricava dalle ipotesi fatte nell'ottenere l'equazione di moto (s).
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