Bhabha scattering
Ciao!
Sto studiando lo scattering di bhabha. Per ora ci hanno fatto vedere solo il risultato finale usando la teoria di fermi "giocattolo" (non ho ancora capito se "giocattolo" è un termine universalmente usato o è un appellativo dato dal mio prof). Questa teoria suppone che sia l'elettrone, sia il positrone siano particelle senza spin.
Il risultato finale che si ottiene è:
[tex]\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{1}{64\pi ^2 E^2_{cm}}\left(\frac{g^2}{E^2_{cm}}\right)^2\left[ \frac{1}{sin^4\frac{\theta}{2}}-\frac{2}{sin^2\frac{\theta}{2}}+1\right][/tex]
Ora però ho alcuni dubbi. La costante di accoppiamento quanto vale? E' semplicemente la carica "e" dell'elettrone? Perchè il libro dice che nella teoria giocattolo g ha le dimensioni di un momento, ma nella vita reale è adimensionale, quindi non si può porre semplicemente g=e.
Poi nel momento in cui considero lo spin, il prof ha detto che il termine che deriva dal diagramma di annichilazione deve essere moltiplicato per (1+cos^2 theta). Ma per quanto riguarda il termine derivante dal diagramma di scambio?
Sto studiando lo scattering di bhabha. Per ora ci hanno fatto vedere solo il risultato finale usando la teoria di fermi "giocattolo" (non ho ancora capito se "giocattolo" è un termine universalmente usato o è un appellativo dato dal mio prof). Questa teoria suppone che sia l'elettrone, sia il positrone siano particelle senza spin.
Il risultato finale che si ottiene è:
[tex]\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{1}{64\pi ^2 E^2_{cm}}\left(\frac{g^2}{E^2_{cm}}\right)^2\left[ \frac{1}{sin^4\frac{\theta}{2}}-\frac{2}{sin^2\frac{\theta}{2}}+1\right][/tex]
Ora però ho alcuni dubbi. La costante di accoppiamento quanto vale? E' semplicemente la carica "e" dell'elettrone? Perchè il libro dice che nella teoria giocattolo g ha le dimensioni di un momento, ma nella vita reale è adimensionale, quindi non si può porre semplicemente g=e.
Poi nel momento in cui considero lo spin, il prof ha detto che il termine che deriva dal diagramma di annichilazione deve essere moltiplicato per (1+cos^2 theta). Ma per quanto riguarda il termine derivante dal diagramma di scambio?
Risposte
"lucagalbu":
Ciao!
Sto studiando lo scattering di bhabha. Per ora ci hanno fatto vedere solo il risultato finale usando la teoria di fermi "giocattolo"
Chiaramente intendevo teoria di Feynman, non di Fermi
Ciao,
per prima cosa ti confermo che teoria giocattolo (o toy model) è un termine diffuso e indica che stai utilizzando una teoria che non rappresenta nulla di fisico però ha tutte le caratteristiche di una teoria fisica. Di solito questi toy model si usano perchè sono più semplici da trattare dal punto di vista dei conti.
Per quanto riguarda il tuo risultato devi innanzitutto capire all'interno di quale teoria stai lavorando. Se stai trattando $e^-$ ed $e^+$ come particelle senza spin, probabilmente, stai facendo la teoria dei campi scalari complessi interagenti (con cosa interagiscono?). Se scrivi la lagrangiana dovrebbe essere chiaro. Quindi secondo me stai facendo una specie di toy model per l'elettrodinamica scalare.
Quando consideri anche gli spin, i fermioni sono descritti dalla lagrangiana di Dirac
[tex]$L_{D} = \bar{\psi} ( i \gamma^\mu \partial_\mu - m ) \psi$[/tex]
i fotoni da quella di Maxwell
[tex]$L_{EM} = - \frac{1}{4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}$[/tex]
e l'interazione è fornita dal cosiddetto accoppiamento minimale
[tex]$\partial_{\mu} \rightarrow D_\mu = \partial_\mu + i e A_{\mu}$[/tex]
e diventa
[tex]$L_{int} = - e A_{\mu} \bar{\psi} \gamma^\mu \psi$[/tex]
(spero ti sia chiara la notazione...sennò mi spiego meglio)
quindi le regole di Feynman cambiano molto. Però se prendi un certo toy model, il tuo per capirci, hai che i vertici delle due teorie hanno la stessa struttura. Quindi puoi costruire dei diagrammi di Feynman simili a quelli della QED e farci dei conti molto più semplici perchè non hai le gamma e gli indici vettoriali a complicare il tutto. Sinceramente non saprei dirti come cambia il diagramma di scambio in QED, per il calcolo esplicito ti rimando o a queste dispense o a un libro di teoria dei campi, tipo il Peskin e Schroeder. Mi verrebbe da dire che cambia nello stesso modo in virtù della simmetria di crossing però non sono sicuro dovrei fare i conti...
per prima cosa ti confermo che teoria giocattolo (o toy model) è un termine diffuso e indica che stai utilizzando una teoria che non rappresenta nulla di fisico però ha tutte le caratteristiche di una teoria fisica. Di solito questi toy model si usano perchè sono più semplici da trattare dal punto di vista dei conti.
Per quanto riguarda il tuo risultato devi innanzitutto capire all'interno di quale teoria stai lavorando. Se stai trattando $e^-$ ed $e^+$ come particelle senza spin, probabilmente, stai facendo la teoria dei campi scalari complessi interagenti (con cosa interagiscono?). Se scrivi la lagrangiana dovrebbe essere chiaro. Quindi secondo me stai facendo una specie di toy model per l'elettrodinamica scalare.
Quando consideri anche gli spin, i fermioni sono descritti dalla lagrangiana di Dirac
[tex]$L_{D} = \bar{\psi} ( i \gamma^\mu \partial_\mu - m ) \psi$[/tex]
i fotoni da quella di Maxwell
[tex]$L_{EM} = - \frac{1}{4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}$[/tex]
e l'interazione è fornita dal cosiddetto accoppiamento minimale
[tex]$\partial_{\mu} \rightarrow D_\mu = \partial_\mu + i e A_{\mu}$[/tex]
e diventa
[tex]$L_{int} = - e A_{\mu} \bar{\psi} \gamma^\mu \psi$[/tex]
(spero ti sia chiara la notazione...sennò mi spiego meglio)
quindi le regole di Feynman cambiano molto. Però se prendi un certo toy model, il tuo per capirci, hai che i vertici delle due teorie hanno la stessa struttura. Quindi puoi costruire dei diagrammi di Feynman simili a quelli della QED e farci dei conti molto più semplici perchè non hai le gamma e gli indici vettoriali a complicare il tutto. Sinceramente non saprei dirti come cambia il diagramma di scambio in QED, per il calcolo esplicito ti rimando o a queste dispense o a un libro di teoria dei campi, tipo il Peskin e Schroeder. Mi verrebbe da dire che cambia nello stesso modo in virtù della simmetria di crossing però non sono sicuro dovrei fare i conti...
"alle.fabbri":
(spero ti sia chiara la notazione...sennò mi spiego meglio)
No, non ho capito nulla eheh! Ma il problema non è la notazione, è che non ho mai studiato QFT, sono arrivato all'equazione di dirac e KG, ma niente di più.
Pensavo fosse una cosa molto più semplice, del tipo: per considerare gli effetti dello spin moltiplica per un certo fattore.
Credo che prenderò per buona la formula finale senza farmi troppe domande
"lucagalbu":
Pensavo fosse una cosa molto più semplice, del tipo: per considerare gli effetti dello spin moltiplica per un certo fattore.
Magari....
Il viaggio dai principi primi a quel fattore moltiplicativo è molto lungo. Se non stai studiando per un esame di QFT puoi lasciar perdere e accettare il risultato. Però mi rimane la curiosità di sapere cosa stai studiando...
Sto studiando per l'esame di fisica ed astrofisica nucleare del 3° anno. E' un esame in tre parti, nella prima si parla di dell'interazione particelle/radiazione con la materia, nella seconda parte c'è un'introduzione al modello standard e nella terza parte si fa qualcosa di cosmologia.
E' solo che spesso la prof fa un casino di conti per poi arrivare ad una formula che non va bene (come nel caso dello scattering di bhabha) e che deve essere sostituita da quella giusta. Il problema è che poi fa tutti i conti e i grafici usando la formula approssimata! E quindi volevo capire quale fosse la formula giusta per vedere cosa effettivamente succede nel mondo reale. Ho provato a cercare su internet ma l'unica cosa che ho trovato è una formula abbastanza complicata con dentro delle cose chiamate variabili di mandelston (o qualcosa del genere)
E' solo che spesso la prof fa un casino di conti per poi arrivare ad una formula che non va bene (come nel caso dello scattering di bhabha) e che deve essere sostituita da quella giusta. Il problema è che poi fa tutti i conti e i grafici usando la formula approssimata! E quindi volevo capire quale fosse la formula giusta per vedere cosa effettivamente succede nel mondo reale. Ho provato a cercare su internet ma l'unica cosa che ho trovato è una formula abbastanza complicata con dentro delle cose chiamate variabili di mandelston (o qualcosa del genere)
Quelle cose si chiamano variabili di Mandelstam e sono un trick cinematico per realizzare "a vista" la simmetria di crossing di cui accennavo prima. Un ulteriore pregio è quello di essere degli invarianti relativistici e se riesci a esprimere i tuoi risultati in funzione di queste, hai gratis che sono veri per tutti i sistemi di riferimento connessi da trasformazioni di Lorentz (essenzialmente il sistema del centro di massa e quello del laboratorio).
Con riferimento a questa figura come processo schematico di urto a due corpi (ricorda che siamo relativistici e quantistici quindi quello che entra non deve necessariamente essere uguale a quello che esce, esempio [tex]$e^+e^- \rightarrow \mu^+ \mu^-$[/tex]) hai che le variabili sono definite così
[tex]$s = (p_1 + p_2)^2 $[/tex]
[tex]$t = (p_1 - p_3)^2$[/tex]
[tex]$u = (p_1 - p_4)^2$[/tex]
dove con il quadrato s'intende l'usuale prodotto scalare di Lorentz. Per esempio nel centro di massa hai che [tex]$s=E^2_{cm}$[/tex] (perchè la quantità di moto totale è nulla) però nel sistema del laboratorio definendo [tex]$p_1 = (E_1 , \vec{p}_1)$ e $p_1 = (E_2 , \vec{p}_2)$[/tex], ricordandoti che vale [tex]$E^2 = |\vec{p}|^2 + m^2$[/tex] (ho tacitamente posto [tex]c=1[/tex]) ottieni
[tex]$s = m_1^2 + m_2^2 + 2 \sqrt{(|\vec{p}_1|^2+m_1^2)(|\vec{p}_2|^2+m_2^2)} - 2| \vec{p}_1| | \vec{p}_2 | \cos \theta$[/tex]
che dipende solo dai parametri cinematici dell'urto, cioè i moduli delle quantità di moto e l'angolo tra queste. Ora quindi puoi prendere una formula tipo questa di wikipedia e andare ad esplicitare tutto per benino e vedere se ti torna il risultato. E' un pacco di algebra ma concettualmente non c'è nulla di difficile. Il difficile è arrivare al risultato riportato su wikipedia....
Con riferimento a questa figura come processo schematico di urto a due corpi (ricorda che siamo relativistici e quantistici quindi quello che entra non deve necessariamente essere uguale a quello che esce, esempio [tex]$e^+e^- \rightarrow \mu^+ \mu^-$[/tex]) hai che le variabili sono definite così
[tex]$s = (p_1 + p_2)^2 $[/tex]
[tex]$t = (p_1 - p_3)^2$[/tex]
[tex]$u = (p_1 - p_4)^2$[/tex]
dove con il quadrato s'intende l'usuale prodotto scalare di Lorentz. Per esempio nel centro di massa hai che [tex]$s=E^2_{cm}$[/tex] (perchè la quantità di moto totale è nulla) però nel sistema del laboratorio definendo [tex]$p_1 = (E_1 , \vec{p}_1)$ e $p_1 = (E_2 , \vec{p}_2)$[/tex], ricordandoti che vale [tex]$E^2 = |\vec{p}|^2 + m^2$[/tex] (ho tacitamente posto [tex]c=1[/tex]) ottieni
[tex]$s = m_1^2 + m_2^2 + 2 \sqrt{(|\vec{p}_1|^2+m_1^2)(|\vec{p}_2|^2+m_2^2)} - 2| \vec{p}_1| | \vec{p}_2 | \cos \theta$[/tex]
che dipende solo dai parametri cinematici dell'urto, cioè i moduli delle quantità di moto e l'angolo tra queste. Ora quindi puoi prendere una formula tipo questa di wikipedia e andare ad esplicitare tutto per benino e vedere se ti torna il risultato. E' un pacco di algebra ma concettualmente non c'è nulla di difficile. Il difficile è arrivare al risultato riportato su wikipedia....
Ah, sono quelle le costanti di Mandelstam! Pensavo fossero cose molto più complicate e per questo non ero neanche andato avanti a leggere wikipedia (che le riporta subito sotto).
Cmq ho deciso che per l'esame imparo la formula così com'è (anche perchè mi hanno confermato che effettivamente la prof non vuole che gliela ricaviamo), però appena ho tempo voglio provare a esplicitare le variabili di Mandelstam e vedere cosa ne esce, giusto per curiosità personale.
Grazie per l'aiuto!
Cmq ho deciso che per l'esame imparo la formula così com'è (anche perchè mi hanno confermato che effettivamente la prof non vuole che gliela ricaviamo), però appena ho tempo voglio provare a esplicitare le variabili di Mandelstam e vedere cosa ne esce, giusto per curiosità personale.
Grazie per l'aiuto!
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