Base delle funzioni antisimmetriche
E' un argomento di struttura della materia, da quello che ho capito si dice che una qualsiasi funzione antisimmetrica può essere scritta come combinazione lineare di determinanti di Slater perchè questi formano una base dello spazio delle funzioni antisimmetriche, qualcuno potrebbe darmi una dimostrazione di quest'ultima affermazione?
Risposte
E' una conseguenza del fatto che c'è una base canonica sulla $k$-esima algebra esterna di uno spazio vettoriale, che in dimensione massima coincide col determinante (cioè la maniera in cui di solito viene introdotto il determinante, l'unica applicazione $n$-lineare alternante che vale 1 sulla base canonica, si può rifrasare così: \(\det\) è la base canonica di \(\bigwedge^n(V)\) se \(V\cong K^n\), e in particolare \(\bigwedge^n V\) ha dimensione 1).
In dimensione più bassa, \(\bigwedge^k V\) ha dimensione \(\binom nk\) e la sua base canonica è fatta da \(e_{i_1}\land\dots\land e_{i_k}\) dove \(\{i_1
Corollario, tra l'altro, è che \(\dim(\bigwedge^* V) = \dim(\bigoplus_{k=0}^n\bigwedge^k V) =\sum_{k=0}^n \dim(\bigwedge^k V)=\sum_{k=0}^n\binom nk=2^n\).
In dimensione più bassa, \(\bigwedge^k V\) ha dimensione \(\binom nk\) e la sua base canonica è fatta da \(e_{i_1}\land\dots\land e_{i_k}\) dove \(\{i_1
Corollario, tra l'altro, è che \(\dim(\bigwedge^* V) = \dim(\bigoplus_{k=0}^n\bigwedge^k V) =\sum_{k=0}^n \dim(\bigwedge^k V)=\sum_{k=0}^n\binom nk=2^n\).
Purtroppo non ho grandi competenze in questo campo e non riesco a comprendere la tua risposta. Espongo qua ciò che non ho capito:
1 - quando dici che il determinante è una base della k-esima algebra esterna di uno spazio vettoriale, intendi che c'è un solo determinante che fa da base?
2 - cos'è un'applicazione n-lineare?
3 - a un certo punto dici "in dimensione più bassa", in che senso?
1 - quando dici che il determinante è una base della k-esima algebra esterna di uno spazio vettoriale, intendi che c'è un solo determinante che fa da base?
2 - cos'è un'applicazione n-lineare?
3 - a un certo punto dici "in dimensione più bassa", in che senso?
Vorrei specificare che il mio problema si riferiva alle funzioni antisimmetriche cioè tali che:
$ f(x_1,...,x_i,...,x_j,...,x_n)=-f(x_1,...,x_j,...,x_i,...,x_n) $ $ AA i,j=1,...,n $
(che rappresentano un sistema di n fermioni interagenti) e che queste potevano scriversi come
$ f(x_1,x_2,...,x_n)=sum_{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n}c_{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n}\psi_{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n} $ dove $ \alpha_i =1,...,n AA i $ e $ \psi_{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n} = | ( \psi_{\alpha_1}(x_1) , \psi_{\alpha_1}(x_2) , ... , \psi_{\alpha_1}(x_n) ),( \psi_{\alpha_2}(x_1), \psi_{\alpha_2}(x_2) , ... , \psi_{\alpha_2}(x_n) ),( ... , ... , ... , ... ),( \psi_{\alpha_n}(x_1) , \psi_{\alpha_n}(x_2) , ... , \psi_{\alpha_n}(x_n) ) | $ sono i determinanti di Slater calcolati usando le funzioni di particella singola
$ f(x_1,...,x_i,...,x_j,...,x_n)=-f(x_1,...,x_j,...,x_i,...,x_n) $ $ AA i,j=1,...,n $
(che rappresentano un sistema di n fermioni interagenti) e che queste potevano scriversi come
$ f(x_1,x_2,...,x_n)=sum_{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n}c_{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n}\psi_{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n} $ dove $ \alpha_i =1,...,n AA i $ e $ \psi_{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n} = | ( \psi_{\alpha_1}(x_1) , \psi_{\alpha_1}(x_2) , ... , \psi_{\alpha_1}(x_n) ),( \psi_{\alpha_2}(x_1), \psi_{\alpha_2}(x_2) , ... , \psi_{\alpha_2}(x_n) ),( ... , ... , ... , ... ),( \psi_{\alpha_n}(x_1) , \psi_{\alpha_n}(x_2) , ... , \psi_{\alpha_n}(x_n) ) | $ sono i determinanti di Slater calcolati usando le funzioni di particella singola
Ok, pensavo che la domanda riguardasse la dimensione dello spazio delle funzioni lineari e alternanti (o "antisimmetriche").
Invece la tua domanda sembra riguardare lo spazio delle funzioni \(F : \mathbb R^n\to \mathbb R\) che sono antisimmetriche nel senso che \(F(x_{\pi 1},\dots,x_{\pi n})=(-1)^{|\pi|}F(x_1,\dots,x_n)\) dove \(\pi\) è una generica permutazione di \(\{1,\dots,n\}\) e \(|\pi|\) il suo segno.
Una dimostrazione che è facile trovare googlando è qui, https://arxiv.org/pdf/2007.15298.pdf teorema 2 e lemma 3.
Invece la tua domanda sembra riguardare lo spazio delle funzioni \(F : \mathbb R^n\to \mathbb R\) che sono antisimmetriche nel senso che \(F(x_{\pi 1},\dots,x_{\pi n})=(-1)^{|\pi|}F(x_1,\dots,x_n)\) dove \(\pi\) è una generica permutazione di \(\{1,\dots,n\}\) e \(|\pi|\) il suo segno.
Una dimostrazione che è facile trovare googlando è qui, https://arxiv.org/pdf/2007.15298.pdf teorema 2 e lemma 3.
Grazie per avermi mandato l'articolo, io avevo cercato a lungo senza trovare niente di utile. Ho provato a leggere la dimostrazione del teorema 2, ma non capisco cosa intenda quando scrive $ varphi _1(x_j|x_{!= j}):=\chi(x_{1:n}) $ ho capito cosa significa $ varphi _1(x_j|x_{!= j}) $ ma non 1:n
E' la tupla \(\{x_1,\dots,x_n\}\), credo
ma allora non capisco mi sembra che alla fine sia stata scritta una funzione antisimmetrica di n variabili come una funzione simmetrica di n variabili divisa per una funzione antisimmetrica di n variabili, e quindi non si sia concluso niente.
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