Baricentro triangolo rettangolo

[Wintel]

Ciao; devo calcolare il baricentro di un triangolo rettangolo di cateti $a$ e $b$.
Io so che la posizione del baricentro di una figura piana è determinata dalla relazione:
$x_G=1/m \int \rho x dS$
però non so come procedere...non ho capito il procedimento da seguire; qualcuno è in grado di aiutarmi?

[Sk_Anonymous]

MAh..io non mi complicherei la vita con gli integrali, e comunque uno solo non ti basta.

Io metterei i cateti su due assi cartesiani con origine nel vertice dove si trova l'angolo retto. Poi troverei i punti medi dei due cateti, troverei le equazioni delle due mediane, e ne farei l'intersezione.

[ralf86]

Ciao. Se ti ricordi che il baricentro divide ogni mediana in due, una il doppio dell'altra, si trova la soluzione senza fare conti, solo ragionando sul disegno.

[Sk_Anonymous]

"ralf86":Ciao. Se ti ricordi che il baricentro divide ogni mediana in due, una il doppio dell'altra, si trova la soluzione senza fare conti, solo ragionando sul disegno.

Certo! Disegnato il triangolo, basta disegnare due mediane, ed è fatto : G è il loro punto di intersezione.
Non c'è neanche bisogno di ricordarsi che G divide ciascuna mediana in due parti, di cui quella dal vertice a G è doppia dell'altra.

MA si può anche fare così : dal vertice dove si trova l'angolo retto , misuro $1/3a $ sul cateto $a$ , $1/3b $ sul cateto $b$, e in questi punti disegno le due parallele ai cateti : esse si incontrano sempre in G, per la proprietà prima detta.

Anzi, non faccio proprio niente , ce l'ho già le coordinate di G in quel riferimento : $ (1/3a , 1/3b ) $ .

MA ora penso che Wintel tutto questo lo sappia, solo che il suo esercizio richiede espressamente di usare il calcolo integrale, a scopo didattico, forse.

Wintel, ci sei ?

[Wintel]

Si, esattamente...mi si richiede di farlo con gli integrali.

[Sk_Anonymous]

Non è difficile.
Metti il triangolo come ti ho detto : angolo retto C nell'origine ; vertice A sull'asse x ,sicché : $A(a,0)$ ; vertice B sull'asse y, sicché : $ B(0,b)$ . L' ipotenusa BA appartiene a una retta, che ha una certa equazione.

Considera una strisciolina di superficie, delimitata da due parallele all'asse x , distanti $dy$ ; l'area elementare della strisciolina vale : $dS = x*dy$ , dove $x$ inizia sull'asse y e finisce sulla ipotenusa detta. Questa area elementare ha una certa distanza y dall'asse x.
D questa area elementare, considerata rettangolare, puoi calcolare il momento statico elementare rispetto all'asse x :
$dM_x = dS*y$ .
Percio il momento statico $M_x$ di tutto il triangolo rispetto all'asse x lo calcoli integrando $dM_x$ da 0 a b .

Ottenuto $M_x$, lo dividi per l'area del triangolo , e ottieni $y_G$ .

La stessa procedura segui per calcolare $x_G$ , considerando ora una strisciolina parallela all'asse y.

Vai!