Baricentro triangolo "cavo"
Il baricentro di un triangolo pieno è rappresentato dall'incontro delle mediane, quale è il baricentro di un triangolo senza la parte centrale, cioé un triangolo formato solo dal perimetrro?
Io ho fatto un certo ragionamento e alla fine trovo poi un punto diverso rispetto al baricentro del triangolo pieno, i due punti coincidono sicuramente nel triangolo equilatero, ma non coincidono in altri triangoli (e forse coincidono solo in questo caso).
Ho sbagliato qualcosa?
Io ho fatto un certo ragionamento e alla fine trovo poi un punto diverso rispetto al baricentro del triangolo pieno, i due punti coincidono sicuramente nel triangolo equilatero, ma non coincidono in altri triangoli (e forse coincidono solo in questo caso).
Ho sbagliato qualcosa?
Risposte
Qual è la massa che attribuisci a ciascun lato? La sua lunghezza? Nulla di strano, applica la definizione.
Per la verità la massa non l'ho considerata proprio dato che volevo usare un concetto puramente geometrico.
Ho pensato che siccome il baricentro geometrico di un numero di punti finito lo si ottiene facendo la media aritmetica delle ascisse e ordinate, per estendere il concetto a un corpo continuo lineare avrei dovuto dividere la lunghezza del corpo in parti uguali prendere i punti a una delle estremità (delle piccole parti) calcolare ascisse e ordinate di questi punti, fare la media e poi calcolare il limite di questa media usando divisioni in parti uguali sempre in numero $n$ finito maggiore (della figura lineare).
Se avessi avuto a che fare con una figura piana (un'area) avrei dovuto dividerla in un una griglia di parti uguali, prendendo ascisse e ordinate di uno dei punti ad un angolo dei quadratini, mandando poi il numero dei quadratini al limite.
Detto questo, secondo questa idea qua se faccio passare l'asse $x$ del mio sistema di riferimento per la base $c$ del triangolo di lati $a, b, c$ e altezza $h$ (relativa a $c$).
Per conoscere $Yb$ (coordinata y del baricentro) dovrò dividere la somma delle aree laterali $(a*h)/2 + (b*h)/2$ per il perimetro del triangolo...
$Yb = ((a + b) / (2* (a + b + c))) * h$
$Yb$ non è detto che sia uguale a $1/3 h$.
Fine.
Ma la mia idea di baricentro geometrico estesa a figure continue è corretta?
Ho pensato che siccome il baricentro geometrico di un numero di punti finito lo si ottiene facendo la media aritmetica delle ascisse e ordinate, per estendere il concetto a un corpo continuo lineare avrei dovuto dividere la lunghezza del corpo in parti uguali prendere i punti a una delle estremità (delle piccole parti) calcolare ascisse e ordinate di questi punti, fare la media e poi calcolare il limite di questa media usando divisioni in parti uguali sempre in numero $n$ finito maggiore (della figura lineare).
Se avessi avuto a che fare con una figura piana (un'area) avrei dovuto dividerla in un una griglia di parti uguali, prendendo ascisse e ordinate di uno dei punti ad un angolo dei quadratini, mandando poi il numero dei quadratini al limite.
Detto questo, secondo questa idea qua se faccio passare l'asse $x$ del mio sistema di riferimento per la base $c$ del triangolo di lati $a, b, c$ e altezza $h$ (relativa a $c$).
Per conoscere $Yb$ (coordinata y del baricentro) dovrò dividere la somma delle aree laterali $(a*h)/2 + (b*h)/2$ per il perimetro del triangolo...
$Yb = ((a + b) / (2* (a + b + c))) * h$
$Yb$ non è detto che sia uguale a $1/3 h$.
Fine.
Ma la mia idea di baricentro geometrico estesa a figure continue è corretta?
semplicità per semplicità, puoi sostituire ai tre lati i loro punti medi concentrando in essi tutta la massa
Il baricentro di tre sbarrette saldate per le estremità (questo sarebbe il tuo triangolo cavo se ho capito bene) è pari al baricentro dei baricentri delle singole aste (ognuno pesato con la massa della propria sbarretta).
Questo mi pare il modo più semplice per eseguire il calcolo.
Non ha capito molto di quello che hai scritto poi, comunque se quello che hai riportato sarebbe il metodo per ricavare il baricentro del triangolo cavo detto, non mi pare vada bene, non occorre riferirsi all'area di alcun triangolo visto che si parla di barrette qui.
EDIT Non avevo visto la risposta di abatefarina
Questo mi pare il modo più semplice per eseguire il calcolo.
Non ha capito molto di quello che hai scritto poi, comunque se quello che hai riportato sarebbe il metodo per ricavare il baricentro del triangolo cavo detto, non mi pare vada bene, non occorre riferirsi all'area di alcun triangolo visto che si parla di barrette qui.
EDIT Non avevo visto la risposta di abatefarina
"l'abatefarina":
semplicità per semplicità, puoi sostituire ai tre lati i loro punti medi concentrando in essi tutta la massa
Ma viene fuori lo stesso risultato se le masse dei lati sono distribuite equamente sui lati e sono proporzionali alla lunghezza dei lati?
Io questo volevo sapere. La coordinata $Yb$ col sistema che passa per la base è la stessa?
In realtà non sapevo se inserire qua il messaggio o in geometria. Le masse si potrebbero non prendere proprio in considerazione dato che le coordinate del baricentro geometrico sono una media geometrica di ascisse, ordinate e... distribuite su linee, superfici, volumi e cosí via.
@bub
Scusami ma io continuo a non capire quello che stai chiedendo.
Ok assumiamo pure che le barrette siano tutte omogenee, pertanto non serve conoscere alcuna massa per determinare il baricentro univocamente.
Ti abbiamo detto che il metodo più semplice consiste nel calcolare il baricentro complessivo considerando il baricentro risultante dai baricentri delle singole barrette: insomma puoi assumere nulla la massa delle barrette e mettere una massa concentrata nel baricentro di ciascuna barretta (nel centro quindi) pari alla massa della barretta stessa (che è proporzionale alla lunghezza della singola barretta) e trovi il baricentro di quelle tre masse concentrate.
Questo è il metodo più semplice.
Altrimenti certo puoi fare diversamente e applicare la definizione di baricentro, ma considera che hai solo barrette non ha senso riferirsi a aree o sotto-aree del triangolo.
Detto questo: quale è la tua domanda/dubbio?
Scusami ma io continuo a non capire quello che stai chiedendo.
Ok assumiamo pure che le barrette siano tutte omogenee, pertanto non serve conoscere alcuna massa per determinare il baricentro univocamente.
Ti abbiamo detto che il metodo più semplice consiste nel calcolare il baricentro complessivo considerando il baricentro risultante dai baricentri delle singole barrette: insomma puoi assumere nulla la massa delle barrette e mettere una massa concentrata nel baricentro di ciascuna barretta (nel centro quindi) pari alla massa della barretta stessa (che è proporzionale alla lunghezza della singola barretta) e trovi il baricentro di quelle tre masse concentrate.
Questo è il metodo più semplice.
Altrimenti certo puoi fare diversamente e applicare la definizione di baricentro, ma considera che hai solo barrette non ha senso riferirsi a aree o sotto-aree del triangolo.
Detto questo: quale è la tua domanda/dubbio?
"Faussone":
Altrimenti certo puoi fare diversamente e applicare la definizione di baricentro, ma considera che hai solo barrette non ha senso riferirsi a aree o sotto-aree del triangolo.
Ma nel caso del perimetro ho linee e sotto-linee.
Io ho scritto che se il corpo è lineare (una linea) va diviso in un numero finito di lunghezze uguali (che vanno poi aumentate per calcolare poi il limite)... L'ho scritto nell'altro messaggio.
Se c'è un perimetro di triangolo (il caso specifico), questo perimetro quanto è lungo? $L$?
Si divide $L$ in $n$ (numero naturale) parti ("lineette") uguali e si prende una delle due estremità di questi pezzettini (sempre la stessa in verso di percorrenza) sul perimetro e si calcola la distanza dall'asse dato ($x$, o $y$ che sia) del punto sul perimetro, si sommano tutti gli $y$ e si dividono per $n$, si sommano tutti gli $x$ e si dividono per $n$ si fa tendere $n$ all'infinito e si calcola il limite.
Questa cosa ha senso per fare una media, lo stesso senso della divisione di un'area in una quadrettatura in parti uguali.
Questo discorso vale anche per linee curve, lo si può applicare a qualsiasi tipo di linea, si prende la linea e la si divide in parti uguali (che in questo caso sono lunghezze) sempre in numero maggiore.
Mandando al limite la cosa ($n$ tende ad infinito) poi si può ragionare perciò anche con delle aree per figure lineari (con volumi per figure dotate di area, ipervolumi per figure tridimensionali e così via).
Ad esempio il baricentro nel triangolo pieno si trova ad altezza un terzo da una base perché il volume di un qualsiasi tetraedro si calcola (AreaBase * Altezza) / 3, se si divide tutto questo volume del tetraedro per la AreaBase viene fuori Altezza/3.
Io ho chiesto se veniva fuori la stessa coordinata $Yb$ usando un sistema di riferimento con asse $x$ piazzato in una base e triangolo rivolto nella parte positiva di $y$ (nel caso del triangolo cavo) con masse proporzionali ai lati e distribuite in modo omogeneo e ancora non è arrivata una risposta.
Io volevo solo capire se era errato il mio ragionamento, non sto chiedendo il metodo più semplice per calcolare un qualcosa.
Metti il triangolo ABC col lato AB sull’asse x , e il punto A coincidente con l’origine delle coordinate. Il centro di AB ha ascissa $ x= (AB)/2$ , ordinata $0$ . Disegna i punti medi degli altri due lati AC e CB , e trovane le coordinate.
Hai difficoltà a calcolare la media pesata delle coordinate $x_i$ e delle coordinate $y_i$ , assumendo come “pesi” le lunghezze di ciascun lato ?
Hai difficoltà a calcolare la media pesata delle coordinate $x_i$ e delle coordinate $y_i$ , assumendo come “pesi” le lunghezze di ciascun lato ?
Non capivo bene come eliminare poi le masse, se sono proporzionali ai lati poi si eliminano.
$Yb = (h/2 * m_a + h/2 * m_b + 0 * m_c) / (m_a + m_b + m_c)$
se $m_a/a = m_b/b = m_c/c$ (con $a$ , $b$, $c$ indico anche la lunghezza dei lati).
allora
$Yb = (h * (a + b)) / (2 * (a + b + c))$
grazie
$Yb = (h/2 * m_a + h/2 * m_b + 0 * m_c) / (m_a + m_b + m_c)$
se $m_a/a = m_b/b = m_c/c$ (con $a$ , $b$, $c$ indico anche la lunghezza dei lati).
allora
$Yb = (h * (a + b)) / (2 * (a + b + c))$
grazie
@bub
Evidentemente tra me e te c'è proprio una difficoltà di comprensione: dal tuo penultimo messaggio avevo dedotto che volevi sapere come si applica il metodo generale per trovare il baricentro nel caso del tuo "triangolo cavo".
Avevo pensato quindi di chiederti a che livello sei di matematica, pensavo infatti di impostare il calcolo generale con gli integrali, visto che i tuoi ragionamenti (se intuisco bene) puntavano a quello in pratica.
Poi Kanal ti ha rifatto il discorso che ti avevo fatto anche io prima, cioè di partire con i baricentri delle singole aste pesate con la loro lunghezza, quindi finalmente hai impostato e completato il calcolo e ti sta bene quella risposta....
Bene così allora, quella è la via più semplice da seguire per il calcolo del baricentro in questo caso.
Evidentemente tra me e te c'è proprio una difficoltà di comprensione: dal tuo penultimo messaggio avevo dedotto che volevi sapere come si applica il metodo generale per trovare il baricentro nel caso del tuo "triangolo cavo".
Avevo pensato quindi di chiederti a che livello sei di matematica, pensavo infatti di impostare il calcolo generale con gli integrali, visto che i tuoi ragionamenti (se intuisco bene) puntavano a quello in pratica.
Poi Kanal ti ha rifatto il discorso che ti avevo fatto anche io prima, cioè di partire con i baricentri delle singole aste pesate con la loro lunghezza, quindi finalmente hai impostato e completato il calcolo e ti sta bene quella risposta....
Bene così allora, quella è la via più semplice da seguire per il calcolo del baricentro in questo caso.
Volevo capire solo se il mio ragionamento era scorretto. Pensavo fosse scorretto perché mi aspettavo (sbagliando) che il baricentro geometrico del triangolo "cavo" dovesse trovarsi nello stesso punto di quello pieno (dato che anche se si considerano solo i vertici si trova là il baricentro).
Ho cercato via internet, ma dal punto di vista geometrico si trovano pagine web che parlano solo di quello relativo al triangolo pieno. Per le figure lineari (le linee insomma, uso un'espressione impropria) ci sono pagine che trattano gli archi di circonferenza.
Si può calcolare il baricentro (indipendentemente dalle masse) anche di quello cavo.
Non sono ad alcun livello avanzato, se no non avrei chiesto
.
Ho cercato via internet, ma dal punto di vista geometrico si trovano pagine web che parlano solo di quello relativo al triangolo pieno. Per le figure lineari (le linee insomma, uso un'espressione impropria) ci sono pagine che trattano gli archi di circonferenza.
Si può calcolare il baricentro (indipendentemente dalle masse) anche di quello cavo.
Non sono ad alcun livello avanzato, se no non avrei chiesto
.
Conosci gli integrali?
(Non bisogna essere a un livello avanzato per conoscerli).
Almeno da questo si può capire come meglio risponderti.
(Non bisogna essere a un livello avanzato per conoscerli).
Almeno da questo si può capire come meglio risponderti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo