Baricentro e matrice baricentrale di inerzia di una lamina quadrata
Ciao a tutti, vi vorrei sottoporre questo problema in quanto non ho trovato thread simili e sono giorni che tento invano di risolverlo.
Nella prova scritta di meccanica razionale mi è capitata una lamina quadrata omogenea ABCD di massa $ m $ e lato $ 2l $ i cui vertici B e C si muovono senza attrito rispettivamente sugli assi $ Ox $ e $ Oy $ del piano verticale $ Oxy $. Servendomi del parametro lagrangiano θ, ossia l'angolo tra l'asse delle ordinare ed il lato BC, devo ricavare la matrice baricentrale d'inerzia, le configurazioni equilibrio e l'equazione linearizzata del moto nell'intorno di una posizione di equilibrio stabile. Allego l'immagine con il testo ed il disegno per maggiore chiarezza.
Io ho pensato di applicare il teorema di stazionarietà del potenziale per ricavare le configurazioni di equilibrio (sulla lamina agiscono, oltre alla forza peso, anche una forza elastica ed una coppia di momento M) ma purtroppo non riesco a calcolare il baricentro del sistema.
La mia idea è di calcolarlo rispetto ad una base solidale con la lamina (anche perchè il testo mi suggerisce la terna $ Ge1e2e3 $), ed applicare poi una rototraslazione che mi permetta di ricavarne le coordinate rispetto alla terna ortogonale fissa con origine in O. Non riesco però a capire come svolgere questo passaggio.
Per quanto riguarda la matrice baricentrale d'inerzia so che $ Ix = Iy $ e che $ Iz = Ix + Iy $ poichè si tratta di un sistema piano, ma non ho capito rispetto a quali estremi di integrazione calcolare $ Ix $.
Vi ringrazio infinitamente già da ora!
Nella prova scritta di meccanica razionale mi è capitata una lamina quadrata omogenea ABCD di massa $ m $ e lato $ 2l $ i cui vertici B e C si muovono senza attrito rispettivamente sugli assi $ Ox $ e $ Oy $ del piano verticale $ Oxy $. Servendomi del parametro lagrangiano θ, ossia l'angolo tra l'asse delle ordinare ed il lato BC, devo ricavare la matrice baricentrale d'inerzia, le configurazioni equilibrio e l'equazione linearizzata del moto nell'intorno di una posizione di equilibrio stabile. Allego l'immagine con il testo ed il disegno per maggiore chiarezza.
Io ho pensato di applicare il teorema di stazionarietà del potenziale per ricavare le configurazioni di equilibrio (sulla lamina agiscono, oltre alla forza peso, anche una forza elastica ed una coppia di momento M) ma purtroppo non riesco a calcolare il baricentro del sistema.
La mia idea è di calcolarlo rispetto ad una base solidale con la lamina (anche perchè il testo mi suggerisce la terna $ Ge1e2e3 $), ed applicare poi una rototraslazione che mi permetta di ricavarne le coordinate rispetto alla terna ortogonale fissa con origine in O. Non riesco però a capire come svolgere questo passaggio.
Per quanto riguarda la matrice baricentrale d'inerzia so che $ Ix = Iy $ e che $ Iz = Ix + Iy $ poichè si tratta di un sistema piano, ma non ho capito rispetto a quali estremi di integrazione calcolare $ Ix $.
Vi ringrazio infinitamente già da ora!
Risposte
Il centro di massa del quadrato si troverà nel centro no?
"Vulplasir":
Il centro di massa del quadrato si troverà nel centro no?
Si certo dato che la lamina è omogenea, il problema è che essendo inclinata non riesco a determinare le coordinate del centro di massa rispetto alla terna cartesiana $ Oxy $.
Unisci i punti B e C con il centro G, l'angolo OBC vale $90-theta$, l'angolo CBG vale $45$, quindi...
Intanto grazie Vulplasir per il suggerimento! Probabilmente ormai sto perdendo di vista le soluzioni più semplici e mi sto complicando la vita da solo! 
Dunque sviluppando i calcoli ottengo, dato che il lato è lungo $ 2l $, quanto segue:
$ G = ( 2l sin (θ) - sqrt{2}l sin (45-θ), 2l cos (θ) + sqrt{2}l cos (45 - θ)) $.
E' corretto oppure mi sono perso nei calcoli?
Grazie infinite davvero.
Dunque sviluppando i calcoli ottengo, dato che il lato è lungo $ 2l $, quanto segue:
$ G = ( 2l sin (θ) - sqrt{2}l sin (45-θ), 2l cos (θ) + sqrt{2}l cos (45 - θ)) $.
E' corretto oppure mi sono perso nei calcoli?
Grazie infinite davvero.
No, il segmento $BG$ forma un angolo $135-theta$ con l'orizzontale, quindi $y_G=lsqrt(2)sin(135-theta)$ e $x_G=$...?
"Vulplasir":
No, il segmento $ BG $ forma un angolo $ 135-theta $ con l'orizzontale, quindi $ y_G=lsqrt(2)sin(135-theta) $ e $ x_G= $...?
$ x_G = lsqrt{2} cos (45 + θ) $, se non mi sono perso di nuovo, giusto?
Grazie.
Ultima domanda: nel secondo punto del quesito 3) devo calcolare nuovamente le posizioni di equilibrio ordinarie usando una sola equazione cardinale pura della statica.
Ho adottato l'equazione dei momenti, scegliendo come polo il baricentro $ G $ della lamina che ho pensato essere il punto di applicazione della risultante delle reazioni vincolari agenti su $ B $ e $ C $. Ho così potuto elidere i prodotti vettoriali che coinvolgessero i vincoli dall'equazione.
Purtroppo mi non tornano gli stessi risultati ottenuti con il teorema di stazionarietà del potenziale.
Il ragionamento è sbagliato oppure ho fatto confusione nei calcoli?
Ho adottato l'equazione dei momenti, scegliendo come polo il baricentro $ G $ della lamina che ho pensato essere il punto di applicazione della risultante delle reazioni vincolari agenti su $ B $ e $ C $. Ho così potuto elidere i prodotti vettoriali che coinvolgessero i vincoli dall'equazione.
Purtroppo mi non tornano gli stessi risultati ottenuti con il teorema di stazionarietà del potenziale.
Il ragionamento è sbagliato oppure ho fatto confusione nei calcoli?
Riguarda il primo risultato che hai dato per la posizione lungo x del baricentro: $2lsintheta-sqrt2lsin(45-theta)$, è esatto tranne l'angolo $45-theta$, l'angolo è quello che ti ho detto io.
No, le reazioni in B e C sono ortogonali ai rispettivi assi, essi si intersecano in un punto in generale diverso da G, per un noto teorema sui sistemi di vettori concorrenti allora il sistema delle reazioni in B e C è equivalente alla loro risultante applicata nel loro punto di intersezione.
baricentro G della lamina che ho pensato essere il punto di applicazione della risultante delle reazioni vincolari agenti su B e C
No, le reazioni in B e C sono ortogonali ai rispettivi assi, essi si intersecano in un punto in generale diverso da G, per un noto teorema sui sistemi di vettori concorrenti allora il sistema delle reazioni in B e C è equivalente alla loro risultante applicata nel loro punto di intersezione.
Riguarda il primo risultato che hai dato per la posizione lungo x del baricentro: $ 2lsintheta-sqrt2lsin(45-theta) $, è esatto tranne l'angolo $ 45-theta $, l'angolo è quello che ti ho detto io.
Scusami per l'ennesima rottura, ma ragionandoci all'infinito la coordinata $ x_G $ continua a venirmi $ x_G = 2lsintheta-sqrt2lcos(135-theta) $ che, applicando le formule di sommazione per archi è equivalente alla scrittura $ x_G = lsqrt{2} cos (45 + θ) $.
Purtroppo non riesco capire dove sbaglio!
Non avevo considerato il fatto che avessi usato le formule dei seni per rimaneggiare il risultato, allora si va bene.
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