Baricentro e inerzia di una lamina forata
Salve, mi sono imbattuto in un problema di meccanica razionale riguardante tale lamina forata di massa m.
Attraverso molti calcoli, sono riuscito a trovare il baricentro: applicando il teorema di Varignon esso dovrebbe risultare nel punto $ ((a-b)/2, 0) $.
Il problema riguarda l'inerzia, non saprei proprio come avviarmi. Mi calcolo la densità della lastra, ovvero $ sigma = m/(ab) $ e poi come dovrei procedere?
Attraverso molti calcoli, sono riuscito a trovare il baricentro: applicando il teorema di Varignon esso dovrebbe risultare nel punto $ ((a-b)/2, 0) $.
Il problema riguarda l'inerzia, non saprei proprio come avviarmi. Mi calcolo la densità della lastra, ovvero $ sigma = m/(ab) $ e poi come dovrei procedere?
Risposte
Io calcolerei il momento di inerzia del rettangolo e del cerchio rispetto al medesimo asse di rotazione, e poi farei la differenza.
Era anche la mia idea, ma non ho la massa del rettangolo e del cerchio, bensì la massa totale, del rettangolo meno il cerchio. Quindi rimarrei sempre bloccato.
Hai il diametro del cerchio, cos'altro ti serve per calcolare le due masse?
E se $m$ è la massa della lastra forata quella che hai scritto non può essere la densità della lastra ...
Cordialmente, Alex
E se $m$ è la massa della lastra forata quella che hai scritto non può essere la densità della lastra ...
Cordialmente, Alex
Non credo di aver capito, purtroppo mi sono proprio bloccato. Sapevo che in questi casi si dovesse lavorare con le densità, ma proprio non riesco ad andare avanti.
Ma scusa, se la massa della lamina forata è m, è abbastanza facile trovare la densità superficiale!
$$\sigma = \frac{m}
{{ab - \pi \frac{{{b^2}}}
{4}}} = \frac{{4m}}
{{4ab - \pi {b^2}}}$$
Da questa poi calcoli la massa che avrebbe un rettangolo di pari dimensioni e un cerchio grande come il buco:
$$\eqalign{
& {m_R} = \sigma ab = m\frac{{4ab}}
{{4ab - \pi {b^2}}} \cr
& {m_C} = \sigma \pi \frac{{{b^2}}}
{4} = \pi \frac{{{b^2}}}
{4}\frac{{4m}}
{{4ab - \pi {b^2}}} = m\frac{{\pi {b^2}}}
{{4ab - \pi {b^2}}} \cr} $$
Adesso con queste masse calcoli il momento di inerzia del rettangolo e gli sottrai il momento di inerzia del cerchio, e il gioco è fatto.
(mi sembra inoltre che il baricentro non stia affatto dove hai calcolato tu)
$$\sigma = \frac{m}
{{ab - \pi \frac{{{b^2}}}
{4}}} = \frac{{4m}}
{{4ab - \pi {b^2}}}$$
Da questa poi calcoli la massa che avrebbe un rettangolo di pari dimensioni e un cerchio grande come il buco:
$$\eqalign{
& {m_R} = \sigma ab = m\frac{{4ab}}
{{4ab - \pi {b^2}}} \cr
& {m_C} = \sigma \pi \frac{{{b^2}}}
{4} = \pi \frac{{{b^2}}}
{4}\frac{{4m}}
{{4ab - \pi {b^2}}} = m\frac{{\pi {b^2}}}
{{4ab - \pi {b^2}}} \cr} $$
Adesso con queste masse calcoli il momento di inerzia del rettangolo e gli sottrai il momento di inerzia del cerchio, e il gioco è fatto.
(mi sembra inoltre che il baricentro non stia affatto dove hai calcolato tu)
Ti ringrazio, quindi dopo essermi calcolato le masse procedo al calcolo dell'inerzia.
Ho fatto qualche errore di calcolo per trovarmi il baricentro, ero molto stanco e non ho prestato attenzione alle semplificazioni.
Ho prima trovato, geometricamente, i baricentri del rettangolo pieno e del foro: essi corrispondono rispettivamente ai punti $ (a/2, b/2) $ e $ (b/2, b/2) $. Successivamente ho calcolato le aree delle figure: $ A_1=a*b $ e $ A_2=(pi*b^2)/4 $ .
Quindi ho applicato il teorema di Varignon che dice che $ x_G = (A_1*x_1-A_2*x_2)/(A_1-A_2) $ e $ y_G = (A_1*y_1-A_2*y_2)/(A_1-A_2) $ , dove ovviamente ho considerato l'area del foro come negativa.
Andando a sostituire ho: $ x_G=(4a^2b-pib^3)/(2(4ab-pib^2)) $ che prima ho erroneamente semplificato e $ y_G=(4ab^2-pib^3)/(2(4ab-pib^2)) $ , che questa volta posso semplificare, e diventa $ y_G= b/2 $ .
Giusto così o potrei semplificare ulteriormente la $ x_G $ ?
Ho fatto qualche errore di calcolo per trovarmi il baricentro, ero molto stanco e non ho prestato attenzione alle semplificazioni.
Ho prima trovato, geometricamente, i baricentri del rettangolo pieno e del foro: essi corrispondono rispettivamente ai punti $ (a/2, b/2) $ e $ (b/2, b/2) $. Successivamente ho calcolato le aree delle figure: $ A_1=a*b $ e $ A_2=(pi*b^2)/4 $ .
Quindi ho applicato il teorema di Varignon che dice che $ x_G = (A_1*x_1-A_2*x_2)/(A_1-A_2) $ e $ y_G = (A_1*y_1-A_2*y_2)/(A_1-A_2) $ , dove ovviamente ho considerato l'area del foro come negativa.
Andando a sostituire ho: $ x_G=(4a^2b-pib^3)/(2(4ab-pib^2)) $ che prima ho erroneamente semplificato e $ y_G=(4ab^2-pib^3)/(2(4ab-pib^2)) $ , che questa volta posso semplificare, e diventa $ y_G= b/2 $ .
Giusto così o potrei semplificare ulteriormente la $ x_G $ ?
Non posso semplificare?
Puoi dividere sopra e sotto per b:
$${r_G} = \frac{{4{a^2} - \pi {b^2}}}
{{2\left( {4a - \pi b} \right)}}$$
Dal punto di vista puramente estetico puoi anche scrivere:
$$\eqalign{
& \rho = \frac{b}
{a} \cr
& {r_G} = \frac{a}
{2}\left( {\frac{{4 - \pi {\rho ^2}}}
{{4 - \pi \rho }}} \right) \cr} $$
Da questa relazione si vede come la posizione a/2 della lastra non bucata venga influenzata dal buco.
Si vede che per $\rho $ tendente a 0 (lastra lunghissima e stretta) o anche a 1 (lastra quadrata) l'ascissa baricentrica tende a a/2, come è anche intuibile.
$${r_G} = \frac{{4{a^2} - \pi {b^2}}}
{{2\left( {4a - \pi b} \right)}}$$
Dal punto di vista puramente estetico puoi anche scrivere:
$$\eqalign{
& \rho = \frac{b}
{a} \cr
& {r_G} = \frac{a}
{2}\left( {\frac{{4 - \pi {\rho ^2}}}
{{4 - \pi \rho }}} \right) \cr} $$
Da questa relazione si vede come la posizione a/2 della lastra non bucata venga influenzata dal buco.
Si vede che per $\rho $ tendente a 0 (lastra lunghissima e stretta) o anche a 1 (lastra quadrata) l'ascissa baricentrica tende a a/2, come è anche intuibile.
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