Baricentro di un rettangolo omogeneo
Salve!
Ho problemi a risolvere il seguente quesito, non so se entra in gioco anche la densità nel calcolo del baricentro.
"Dall'estremo D di un rettangolo omogeneo ABCD, di lati AB=a e AD=b, condurre una retta DE in modo che, tagliando il rettangolo secondo la retta DE, il trapezio ABED che si ottiene sia tale che, appendendolo per il punto E, il lato AD risulti orizzontale."
Vi ringrazio in anticipo!!
c ___________e_____ b
d |_________________| a
(immaginate la retta ED che taglia il rettangolo in un triangolo e in un trapezio entrambi rettangoli).
Ho problemi a risolvere il seguente quesito, non so se entra in gioco anche la densità nel calcolo del baricentro.
"Dall'estremo D di un rettangolo omogeneo ABCD, di lati AB=a e AD=b, condurre una retta DE in modo che, tagliando il rettangolo secondo la retta DE, il trapezio ABED che si ottiene sia tale che, appendendolo per il punto E, il lato AD risulti orizzontale."
Vi ringrazio in anticipo!!
c ___________e_____ b
d |_________________| a
(immaginate la retta ED che taglia il rettangolo in un triangolo e in un trapezio entrambi rettangoli).
Risposte
non so se ho capito bene, ma io interpreto come se fosse un quadro rettangolare appeso per il punto E del lato BC (in alto) lasciando tutto il rettangolo al di sotto di tale retta. perché AD risulti orizzontale il quadro deve essere in equilibrio stabile...
il baricentro, se il rettangolo è omogeneo, coincide con il centro geometrico della figura, che è l'intersezione delle diagonali...
la retta che passa per E e per il baricentro deve essere verticale....
E deve essere il punto medio di BC.
se è sufficiente questo, il resto dovrebbe essere banale...
io non sono una specialista dell'argomento, se qualcuno vuole specificare qualcosa o chiarire qualche concetto per me intuitivo, è pregato di intervenire... ciao.
il baricentro, se il rettangolo è omogeneo, coincide con il centro geometrico della figura, che è l'intersezione delle diagonali...
la retta che passa per E e per il baricentro deve essere verticale....
E deve essere il punto medio di BC.
se è sufficiente questo, il resto dovrebbe essere banale...
io non sono una specialista dell'argomento, se qualcuno vuole specificare qualcosa o chiarire qualche concetto per me intuitivo, è pregato di intervenire... ciao.
Se non vado errato, relativamente ad un sistema particellare o continuo (i cui punti sono dotati di massa), se il corpo è omogeneo, la densità è costante.
Nonostante questo, non riesco ancora a capire la sua richiesta. Ok, lo appendiamo per il punto E. Ma in che modo rendiamo AD orizzontale? Nella figura riportata, la parte del trapezio rettangolo è tratteggiata, mentre quella del triangolo è vuota. Non so se questo c'entri qualcosa, ma in ogni caso partiamo dall'ipotesi che il nostro rettangolo sia omogeneo, quindi non dovrebbero esserci discrepanze di densità.
Avevo pensato al calcolo dei rispettivi baricentri del triangolo e del trapezio, e poi sommarne le coordinate. Ma è possibile?
La distanza EB è incognita, e di conseguenza anche la distanza CE. E anche se trovassi il baricentro di tutta la figura, come risolvo il problema?
Nonostante questo, non riesco ancora a capire la sua richiesta. Ok, lo appendiamo per il punto E. Ma in che modo rendiamo AD orizzontale? Nella figura riportata, la parte del trapezio rettangolo è tratteggiata, mentre quella del triangolo è vuota. Non so se questo c'entri qualcosa, ma in ogni caso partiamo dall'ipotesi che il nostro rettangolo sia omogeneo, quindi non dovrebbero esserci discrepanze di densità.
Avevo pensato al calcolo dei rispettivi baricentri del triangolo e del trapezio, e poi sommarne le coordinate. Ma è possibile?
La distanza EB è incognita, e di conseguenza anche la distanza CE. E anche se trovassi il baricentro di tutta la figura, come risolvo il problema?
il problema non è affatto difficile e non rientra la densita di massa essendo costante, se io ho interpretato bene la traccia ti chiede che il lato ad stia orizzontale quando appendi per il punto E il solo trapezio.
Basta adesso imporre che forza peso e reazione vincolare in E giacciano sulla stessa retta....ora ti mando i calcoli dettagliati.
Basta adesso imporre che forza peso e reazione vincolare in E giacciano sulla stessa retta....ora ti mando i calcoli dettagliati.
"Mex24":
...
Avevo pensato al calcolo dei rispettivi baricentri del triangolo e del trapezio...
Buona idea. Trova la posizione dei due baricentri e poi considera le masse del triangolo e del trapezio concentrate in essi.
Il baricentro di queste due masse deve trovarsi lungo la verticale passante per il punto E.
Dunque, ho chiamato con $x$ la distanza |BE|. Ora devo calcolare il baricentro del trapezio ed imporre che giaccia sulla retta parallela al lato |AB| perchè tale è la direzione della forza di gravità che è applicata nel baricentro appunto.
La coordinata del baricentro sara funzione di x.
Calcolo il momento statico dell'area del trapezio, sfruttando la proprietà additiva di questo, rispetto ad un asse passante per il lato AB, ottengo:
$(ab*b/2 - (b-x)a/2 * (x+2/3(b-x)))$
divido per l'area del trapezio ed ottengo:
$(ab*b/2 - (b-x)a/2 * (x+2/3(b-x)))/((b+x)/2*a)$
che è la distanza del baricentro del trapezio dal lato considerato. Semplificando:
$(x^2 + b·x + b^2)/(3(b+x))$
che come era lecito aspettarsi non dipende da a.
Ora mi basta imporre le la quantità precendente sia pari proprio ad x:
$(x^2 + b·x + b^2)/(3(b+x))=x$
fatti i calcoli:
$x^2+bx-b^2/2=0$
soluzione:
$x=b(1- sqrt3)/2$
La coordinata del baricentro sara funzione di x.
Calcolo il momento statico dell'area del trapezio, sfruttando la proprietà additiva di questo, rispetto ad un asse passante per il lato AB, ottengo:
$(ab*b/2 - (b-x)a/2 * (x+2/3(b-x)))$
divido per l'area del trapezio ed ottengo:
$(ab*b/2 - (b-x)a/2 * (x+2/3(b-x)))/((b+x)/2*a)$
che è la distanza del baricentro del trapezio dal lato considerato. Semplificando:
$(x^2 + b·x + b^2)/(3(b+x))$
che come era lecito aspettarsi non dipende da a.
Ora mi basta imporre le la quantità precendente sia pari proprio ad x:
$(x^2 + b·x + b^2)/(3(b+x))=x$
fatti i calcoli:
$x^2+bx-b^2/2=0$
soluzione:
$x=b(1- sqrt3)/2$
"Conte_De_Saint_venant":
..........
fatti i calcoli:
$x^2+bx-b^2/2=0$
soluzione:
$x=b(1+3^0.5)/2$
mi sa che è sbagliata la soluzione dell'ultima equazione (infatti il risultato non può essere maggiore di $b$), il valore corretto è:
$|BE|=x=b*(sqrt(3)-1)/2$
inoltre non è necessario scomodare il baricentro del trapezio ...
Basta considerare che il trapezio che si ottiene è composto da un rettangolo di lati $a$ e $x$ e un triangolo rettangolo di cateti $a$ e $b-x$ . I baricentri di queste due figure sono immediatamente identificabili e quindi per l'equilibrio basta imporre nullo il momento statico complessivo delle due rispetto al punto di sospensione. Si ottiene così in modo più rapido la stessa equazione di secondo grado di Conte_De_Saint_venant
ciao
Si il valore esatto è quello con il meno....è l'altra soluzione dell'equazione....purtroppo mentre riscrivevo mi son chiesto come si facesse la radice quadrata e non trovando modo ho poi messo elevato a 0.5, è bastata questa distrazione per farmi copiare la soluzione non ammissibile tra le due.
Per il metodo proposto mirco FN, è certamente valido, comunque basato sullo stesso principio. Ci sono più vie per trovare l'unica soluzione....
Ciao
Per il metodo proposto mirco FN, è certamente valido, comunque basato sullo stesso principio. Ci sono più vie per trovare l'unica soluzione....
Ciao
Grazie mille ad entrambi!
Riepilogando: ho calcolato le aree del rettangolo e del triangolo rettangolo componenti il trapezio. Ho calcolato l'ascissa del baricentro del trapezio come la somma delle ascisse delle figure componenti sull'area totale. Presumo che per l'ordinata valga esattamente la stessa cosa, questa però dipende da a, a quanto mi è parso di capire.
Arrivato a questo punto, quali altre considerazioni devo fare?
Riepilogando: ho calcolato le aree del rettangolo e del triangolo rettangolo componenti il trapezio. Ho calcolato l'ascissa del baricentro del trapezio come la somma delle ascisse delle figure componenti sull'area totale. Presumo che per l'ordinata valga esattamente la stessa cosa, questa però dipende da a, a quanto mi è parso di capire.
Arrivato a questo punto, quali altre considerazioni devo fare?
Attento non le puoi calcolare come somma semplice.....Devi fare una media pesata delle coordinate dei baricentri che hai trovato usando come fattore peso le rispettive aree...
Cioè:
Arearettangolo * distanze rettangolo + Area triangolo * distanza triangolo tutto diviso l'area totale....questa è la coordinata del baricentro rispetto ad un asse fissato. Poi ti basta imporre che questa ordinata coincida con DE....legi bene quello che ti abbiamo scritto è spiegato molto chiaro.....
Vedi che il momento statico di una figura è proprio area per distanza del baricentro....
Ciao
Cioè:
Arearettangolo * distanze rettangolo + Area triangolo * distanza triangolo tutto diviso l'area totale....questa è la coordinata del baricentro rispetto ad un asse fissato. Poi ti basta imporre che questa ordinata coincida con DE....legi bene quello che ti abbiamo scritto è spiegato molto chiaro.....
Vedi che il momento statico di una figura è proprio area per distanza del baricentro....
Ciao
"Conte_De_Saint_venant":
Attento non le puoi calcolare come somma semplice.....Devi fare una media pesata delle coordinate dei baricentri che hai trovato usando come fattore peso le rispettive aree...
Cioè:
Arearettangolo * distanze rettangolo + Area triangolo * distanza triangolo tutto diviso l'area totale....questa è la coordinata del baricentro rispetto ad un asse fissato. Poi ti basta imporre che questa ordinata coincida con DE....legi bene quello che ti abbiamo scritto è spiegato molto chiaro.....
Vedi che il momento statico di una figura è proprio area per distanza del baricentro....
Ciao
Sì, intendevo dire questo, mi scuso per essermi spiegato male. Come ha detto MircoFN, i baricentri delle figure sono immediatamente identificabili, infatti il baricentro del rettangolo ha coordinate (x/2,a/2), mentre il triangolo ha coordinate [2/3(b-x), a/3].
Dopo mi sono ricavato Xg, ossia l'ascissa del baricentro del trapezio, e sono giunto alla stessa equazione di secondo grado riportata prima. Quindi, se ho ben capito, per fare in modo che AD resti orizzontale, il baricentro del trapezio deve necessariamente avere ascissa uguale a quella calcolata, ponendola ovviamente uguale alla distanza incognita BE. Questo implica che il baricentro del trapezio si trovi sul lato comune di lunghezza a del triangolo e del rettangolo. Non ci interessa conoscere Yg?
no, non ci interessa, perchè ti ripeto il ragionamento di base.....
il trapezio che ottieni consideralo come un corpo rigido, allora non ci saranno rotazioni se rispetto al baricentro non ci saranno risultanti di mkomenti delle forze esterne.
Sul tuo corpo agiranno la reazione vincolare in E uguale e opposta alla forza peso e la forza peso stessa....Se vuoi che queste forza non abbiano un braccio, che quindi comporterebbe un momento, devi imporre che la congiungente il punto di applicazione della reazione vincolare in E e baricentro del trapezio passi per i punti di applicazione delle due forze che sono verticali appunto...
se avevi forza anche in orizzontale consideravi anche la "yg"....
comunque nel ragionamento di MircoFn non devi far altro che imporre rispetto all'asse verticale passante per E che il momento statico del triangolo sia uguale al momento statico del rettangolo, la tua incognita è la x. In tal modo rispetto a quell'asse la risultante dei momenti delle forze esterne è zero....ok?
il trapezio che ottieni consideralo come un corpo rigido, allora non ci saranno rotazioni se rispetto al baricentro non ci saranno risultanti di mkomenti delle forze esterne.
Sul tuo corpo agiranno la reazione vincolare in E uguale e opposta alla forza peso e la forza peso stessa....Se vuoi che queste forza non abbiano un braccio, che quindi comporterebbe un momento, devi imporre che la congiungente il punto di applicazione della reazione vincolare in E e baricentro del trapezio passi per i punti di applicazione delle due forze che sono verticali appunto...
se avevi forza anche in orizzontale consideravi anche la "yg"....
comunque nel ragionamento di MircoFn non devi far altro che imporre rispetto all'asse verticale passante per E che il momento statico del triangolo sia uguale al momento statico del rettangolo, la tua incognita è la x. In tal modo rispetto a quell'asse la risultante dei momenti delle forze esterne è zero....ok?
"Conte_De_Saint_venant":
Dunque, ho chiamato con $x$ la distanza |BE|. Ora devo calcolare il baricentro del trapezio ed imporre che giaccia sulla retta parallela al lato |AB| perchè tale è la direzione della forza di gravità che è applicata nel baricentro appunto.
La coordinata del baricentro sara funzione di x.
Calcolo il momento statico dell'area del trapezio, sfruttando la proprietà additiva di questo, rispetto ad un asse passante per il lato AB, ottengo:
$(ab*b/2 - (b-x)a/2 * (x+2/3(b-x)))$
divido per l'area del trapezio ed ottengo:
$(ab*b/2 - (b-x)a/2 * (x+2/3(b-x)))/((b+x)/2*a)$
che è la distanza del baricentro del trapezio dal lato considerato. Semplificando:
$(x^2 + b·x + b^2)/(3(b+x))$
che come era lecito aspettarsi non dipende da a.
Ora mi basta imporre le la quantità precendente sia pari proprio ad x:
$(x^2 + b·x + b^2)/(3(b+x))=x$
fatti i calcoli:
$x^2+bx-b^2/2=0$
soluzione:
$x=b(1- sqrt3)/2$
Ok, riguardo al ragionamento ci sono, ho capito tutto.
L'unico interrogativo adesso è: potrei calcolare il momento statico del trapezio rispetto all'asse passante per il lato AB, come somma dei momenti statici del triangolo e del rettangolo di area "a*x" rispetto allo stesso asse? Ho provato, ma il risultato è differente, quindi penso sia sbagliato.
Certo che puoi farelo puoi farlo rispetto a qualsiasi asse a patto che metta la distanza giusta....In questo caso ora che hai il risultato puoi anche calcolarlo per verifica il momento statico rispetto a quell'asse dovrebbe uscirti zero essendo un asse baricentrico.
Se vuoi usare questa tecnica per risolvere il problema puoi farlo certamente ti basta imporre che sia zero il momento statico però attenzione alle distanze, il baricentro del rettangolo dista x/2 e quello del triangolo 1/3 (b-x)
Se vuoi usare questa tecnica per risolvere il problema puoi farlo certamente ti basta imporre che sia zero il momento statico però attenzione alle distanze, il baricentro del rettangolo dista x/2 e quello del triangolo 1/3 (b-x)
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