Barca che attraversa un fiume
Un fiume di larghezza L scorre con velocità v costante ed uniforme. Una barca si trova su una delle due rive e deve raggiungere l’altra. La barca viaggia rispetto all’acqua con una velocità che vale k volte la velocità della corrente. Si vogliono sapere: a) l’angolo formato tra la direzione della corrente e la direzione in cui punta la prua della barca; b) lo spazio percorso; c) il tempo impiegato per l’attraversamento. Si trovi risposta a queste tre domande nei due seguenti casi:
1) La barca attraversa il fiume nel minor tempo possibile.
2) La barca attraversa il fiume sul tragitto più corto possibile.
Buonasera a tutti
Volevo sapere se in realtà il caso 1 e 2 non siano la stessa cosa. Di fatto affinché la distanza percorsa sia la minore possibile essa deve essere pari a L (con tutte le relative conseguenze per trovare angolo e tempo), e allo stesso modo, affinché il tempo impiegato sia il minore possibile dovrò avere la distanza più corta (o la velocità più elevata, ma in questo caso aumenterei la "proporzionalmente" (
) la distanza e allora tanto varrebbe considerare il caso 2). Giusto??
1) La barca attraversa il fiume nel minor tempo possibile.
2) La barca attraversa il fiume sul tragitto più corto possibile.
Buonasera a tutti
Volevo sapere se in realtà il caso 1 e 2 non siano la stessa cosa. Di fatto affinché la distanza percorsa sia la minore possibile essa deve essere pari a L (con tutte le relative conseguenze per trovare angolo e tempo), e allo stesso modo, affinché il tempo impiegato sia il minore possibile dovrò avere la distanza più corta (o la velocità più elevata, ma in questo caso aumenterei la "proporzionalmente" (
) la distanza e allora tanto varrebbe considerare il caso 2). Giusto??
Risposte
No, Non e' la stessa cosa. Nel primo caso hai una composizione di velocita tra v e kv che minimizza il tempo sotto un certo angolo
Nel secondo caso, la prua deve puntare in una precisa direzione (si chiama prora bussola) per far si che la composizione delle velocita' porti la barca a viaggiare lungo un percorso ortogonale all'asse fiume (che si chiama rotta vera).
Prova a fare 2 conti e vedi che esce
Nel secondo caso, la prua deve puntare in una precisa direzione (si chiama prora bussola) per far si che la composizione delle velocita' porti la barca a viaggiare lungo un percorso ortogonale all'asse fiume (che si chiama rotta vera).
Prova a fare 2 conti e vedi che esce
"professorkappa":
Nel primo caso hai una composizione di velocita tra v e kv che minimizza il tempo sotto un certo angolo
Potresti spiegarti meglio?
La seconda parte invece credo di averla capita. Sostanzialmente le due velocità devono sommarsi vettorialmente dando come risultante una velocità diretta come un'eventuale retta passante per i due punti (presi a caso) che costituiscono il segmento della minore distanza tra sponda e sponda. In poche parole devo ottenere un triangolo rettangolo (di vettori) dove la velocità risultante è il cateto maggiore ed a questo punto trovare geometricamente l'angolo tra v e kv.
Per quanto riguarda il tempo poi, avendo la velocità risultante e lo spazio percorso è immediato.
Si, piu' o meno.
In entrambi i casi, detto $theta$ l'angolo che la velocita' relativa forma con la corrente, la velocita risultante nel sistema di riferimento avente come asse x la sponda del fiume (asse caratterizzato da $veci$) e come asse y l'asse ortogonale alla sponda (caratterizzato da $vecj$), posta l'origine nel punto di partenza della barca, si puo scrivere cosi
$vec(V)=v vec(i)+kvcosthetavec(i)+kvsinthetavec(j)=(v+kvcostheta)vec(i)+kvsinthetavec(j)$
Le componenti di $vecV$ sono
Lungox
$V_x=v+kvcostheta$
Lungo y
$V_y=kvsintheta$
Ora devi distinguere i 2 casi: tempo minimo di percorrenza e distanza minima di percorrenza.
Il tempo necessario per percorrere la distanza L e', ovviamente, $t=L/(kvsintheta)$. Per minimizzarlo occorre massimizzare $sintheta$, cosa che accade se $theta=90$.
Il che significa che l'asse della barca deve essere ortogonale al letto del fiume per percorrere il fiume nel minor tempo possibile.
Ovviamente nel frattempo viene trascinata dalla corrente e approda in un punto a monte del punto di partenza. Punto che, invariata la velocita' del fiume, dipende da k.
Nel secondo caso, che risolverai tu, devi puntare la prua verso un punto tale che la composizione delle velocita' ti dia una velocita $vecV$ ortogonale all'asse del fiume, cosa che in formule si traduce imponendo [.......] uguale a [......]? Questo risultera' in un solo angolo, in generale diverso da 90.
Noti gli angoli nei 2 casi, il resto delle domande (spazio percorso e tempo di attraversamento) risultano di banale risoluzione.
In entrambi i casi, detto $theta$ l'angolo che la velocita' relativa forma con la corrente, la velocita risultante nel sistema di riferimento avente come asse x la sponda del fiume (asse caratterizzato da $veci$) e come asse y l'asse ortogonale alla sponda (caratterizzato da $vecj$), posta l'origine nel punto di partenza della barca, si puo scrivere cosi
$vec(V)=v vec(i)+kvcosthetavec(i)+kvsinthetavec(j)=(v+kvcostheta)vec(i)+kvsinthetavec(j)$
Le componenti di $vecV$ sono
Lungox
$V_x=v+kvcostheta$
Lungo y
$V_y=kvsintheta$
Ora devi distinguere i 2 casi: tempo minimo di percorrenza e distanza minima di percorrenza.
Il tempo necessario per percorrere la distanza L e', ovviamente, $t=L/(kvsintheta)$. Per minimizzarlo occorre massimizzare $sintheta$, cosa che accade se $theta=90$.
Il che significa che l'asse della barca deve essere ortogonale al letto del fiume per percorrere il fiume nel minor tempo possibile.
Ovviamente nel frattempo viene trascinata dalla corrente e approda in un punto a monte del punto di partenza. Punto che, invariata la velocita' del fiume, dipende da k.
Nel secondo caso, che risolverai tu, devi puntare la prua verso un punto tale che la composizione delle velocita' ti dia una velocita $vecV$ ortogonale all'asse del fiume, cosa che in formule si traduce imponendo [.......] uguale a [......]? Questo risultera' in un solo angolo, in generale diverso da 90.
Noti gli angoli nei 2 casi, il resto delle domande (spazio percorso e tempo di attraversamento) risultano di banale risoluzione.
Grazie mille!!
Per il primo caso mi è passato di mente di usare la notazione vettoriale in componenti (anche perché i vettori sono entità mostruose
), altrimenti forse ci sarei arrivato anche da solo.
Per la seconda parte continuo a preferire il ragionamento logico per così dire, cioè partire dal presupposto di conoscere già che L è la distanza percorsa per poi fare le dovute considerazioni sull'angolo ed il tempo.
Comunque sei stato esaustivo, molte grazie ancora!!
Per il primo caso mi è passato di mente di usare la notazione vettoriale in componenti (anche perché i vettori sono entità mostruose
), altrimenti forse ci sarei arrivato anche da solo. Per la seconda parte continuo a preferire il ragionamento logico per così dire, cioè partire dal presupposto di conoscere già che L è la distanza percorsa per poi fare le dovute considerazioni sull'angolo ed il tempo.
Comunque sei stato esaustivo, molte grazie ancora!!
Figurati, non c'e' di che.
Una sola cosa. Probabilmente senza rendertene conto, in questi problemi tu usi i vettori, ma senza formalizzarli. Imparare ad usarli in maniera formale come ti ho mostrato, riduce il tempo di risoluzione e le chance di sbagliare. Ti da anche un quadro di organizzazione mentale che, in problemi piu' complessi di questo, ti portano dritto alla soluzione senza necessita' di evoluzioni mentali che a volte si rivelano azzardate nel migliore dei casi, errate nel peggiore.
Quindi usa i vettori, sono molto piu' semplici di quello che pensi.
Risolvi il resto dell'esercizio e lo posti?
Una sola cosa. Probabilmente senza rendertene conto, in questi problemi tu usi i vettori, ma senza formalizzarli. Imparare ad usarli in maniera formale come ti ho mostrato, riduce il tempo di risoluzione e le chance di sbagliare. Ti da anche un quadro di organizzazione mentale che, in problemi piu' complessi di questo, ti portano dritto alla soluzione senza necessita' di evoluzioni mentali che a volte si rivelano azzardate nel migliore dei casi, errate nel peggiore.
Quindi usa i vettori, sono molto piu' semplici di quello che pensi.
Risolvi il resto dell'esercizio e lo posti?
Per il secondo caso:
$ vartheta = 90 - arcsin (1/k) $ , $ S=L $ , $ t= L/(|v|sqrt(k^2-1) $
Per il primo caso:
$ vartheta = 90 $ , $ S= (sqrt(k^2+1)/k)L $ , $ t= L/(kv) $
Giusto?
$ vartheta = 90 - arcsin (1/k) $ , $ S=L $ , $ t= L/(|v|sqrt(k^2-1) $
Per il primo caso:
$ vartheta = 90 $ , $ S= (sqrt(k^2+1)/k)L $ , $ t= L/(kv) $
Giusto?
Per il primo caso si, ok.
Per il secondo caso, la rotta deve avere componente orizzontale nulla.
Quindi da $V_x=v+kvcostheta=0$ si ricava $costheta=-1/k$ o, il che e' lo stesso, $theta=arccos(-1/k)$
Siccome k>0, $costheta<0$, il che significa che la barca deve puntare la prora con un angolo maggiore di 90 gradi rispetto alla direzione della corrente (devi risalire il fiume)
Il tempo rimane comunque $t=L/(kvsintheta)$
Lo spostamento e' ovviamente L senza bisogno di calcoli.
Un'altra cosa da notare e' che $costheta=-1/k$. Questa equazione e' soddisfatta solo se k>1 o al limite k=1 (abbiamo assunto implicitamente che K>0). In pratica, se tu mandi avanti la barca con una velocita' propria minore della velocita' della corrente (v) non riuscirai mai, indipendentemente dalla prora che tieni, ad approdare sul punto ortogonalmente opposto a quello di partenza, ma sempre un po' a valle.
Per il secondo caso, la rotta deve avere componente orizzontale nulla.
Quindi da $V_x=v+kvcostheta=0$ si ricava $costheta=-1/k$ o, il che e' lo stesso, $theta=arccos(-1/k)$
Siccome k>0, $costheta<0$, il che significa che la barca deve puntare la prora con un angolo maggiore di 90 gradi rispetto alla direzione della corrente (devi risalire il fiume)
Il tempo rimane comunque $t=L/(kvsintheta)$
Lo spostamento e' ovviamente L senza bisogno di calcoli.
Un'altra cosa da notare e' che $costheta=-1/k$. Questa equazione e' soddisfatta solo se k>1 o al limite k=1 (abbiamo assunto implicitamente che K>0). In pratica, se tu mandi avanti la barca con una velocita' propria minore della velocita' della corrente (v) non riuscirai mai, indipendentemente dalla prora che tieni, ad approdare sul punto ortogonalmente opposto a quello di partenza, ma sempre un po' a valle.
"professorkappa":
Per il secondo caso, la rotta deve avere componente orizzontale nulla.
Si giusto, ho corretto!
Grazie ancora, anche per le considerazioni finali
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