Banale chiarimento sui vettori
Ciao,
Consideriamo il moto di una pallina in un piano inclinato. Come sistema di riferimento scegliamo l'asse x orizzontale e l'asse y verticale.
Se una pallina è libera di muoversi su un piano inclinato liscio, sappiamo che si muove verso il basso perché c'è una componente della accelerazione di gravità che agisce parallela al piano inclinato e determina il moto della pallina. Allora si potrebbe pensare che si possa scomporre questo vettore accelerazione parallelo al piano inclinato in due vettori, paralleli agli assi x e y, e concludere che l'accelerazione di gravità ha una componente orizzontale. Ma sappiamo che ciò non è vero, allora dov'è l'errore nel ragionamento?
Grazie.
Consideriamo il moto di una pallina in un piano inclinato. Come sistema di riferimento scegliamo l'asse x orizzontale e l'asse y verticale.
Se una pallina è libera di muoversi su un piano inclinato liscio, sappiamo che si muove verso il basso perché c'è una componente della accelerazione di gravità che agisce parallela al piano inclinato e determina il moto della pallina. Allora si potrebbe pensare che si possa scomporre questo vettore accelerazione parallelo al piano inclinato in due vettori, paralleli agli assi x e y, e concludere che l'accelerazione di gravità ha una componente orizzontale. Ma sappiamo che ciò non è vero, allora dov'è l'errore nel ragionamento?
Grazie.
Risposte
O Santo cielo. La reazione vincolare tiene attaccata la pallina al piano e le impedisce di sprofondare quando tu scomponi lungo le direzioni parallela e ortogonale. La reazione, nulla lungo la parallela e interamente giacente sulla direzione ortogonale, eguaglia la componente della forza peso ortogonale al piano. Resta la componente parallela al piano della forza peso, responsabile della variazione della qdm.
Se scomponi lungo x e y, lungo x hai solo una componente della reazione del piano lungo x: la qdm varia in orizzontale. Lungo y, hai la componente della reazione, e tutta la forza peso. Questo 2 forze NON si eguagliano: la differenza tea questa due componenti e' il risultante che fa variare la qdm lungo y. Non so piu come spiegarmi, fai un diagramma di corpo libero e discutiamo su quello
Se scomponi lungo x e y, lungo x hai solo una componente della reazione del piano lungo x: la qdm varia in orizzontale. Lungo y, hai la componente della reazione, e tutta la forza peso. Questo 2 forze NON si eguagliano: la differenza tea questa due componenti e' il risultante che fa variare la qdm lungo y. Non so piu come spiegarmi, fai un diagramma di corpo libero e discutiamo su quello
"professorkappa":
O Santo cielo. La reazione vincolare tiene attaccata la pallina al piano e le impedisce di sprofondare quando tu scomponi lungo le direzioni parallela e ortogonale. La reazione, nulla lungo la parallela e interamente giacente sulla direzione ortogonale, eguaglia la componente della forza peso ortogonale al piano. Resta la componente parallela al piano della forza peso, responsabile della variazione della qdm.
Se scomponi lungo x e y, lungo x hai solo una componente della reazione del piano lungo x: la qdm varia in orizzontale. Lungo y, hai la componente della reazione, e tutta la forza peso. Questo 2 forze NON si eguagliano: la differenza tea questa due componenti e' il risultante che fa variare la qdm lungo y. Non so piu come spiegarmi, fai un diagramma di corpo libero e discutiamo su quello
Il problema è che secondo me faccio confusione mischiando i sistemi di riferimento e le scomposizioni...
Ho fatto il diagramma, scomponendo la forza peso lungo la parallela e l'ortogonale al piano inclinato.
Quindi se ho capito bene, i due vettori opposti si annullano in modo che la pallina, né sprofondi, né "prenda il volo". Allora resta solo la componente della forza peso parallela al piano inclinato, che fa cadere la pallina. Ci sono?
si!!!!!
In formule:
$N-mgcostheta=0$
$mgsintheta=m[dv]/[dt]$ con $v$ la velocita' LUNGO il piano.
$N-mgcostheta=0$
$mgsintheta=m[dv]/[dt]$ con $v$ la velocita' LUNGO il piano.
Ora fallo su x-y
Bene.
Ora , quella forza che rimane, che fa cadere la pallina, io me la immagino scomposta così:
è giusto?
Ora , quella forza che rimane, che fa cadere la pallina, io me la immagino scomposta così:
è giusto?
Non mi pare. Intanto non rimane alcuna forza . Stano facendo una scomposizione nuova che nulla ha a che fare con la scomposizioni che hai fatto prima.
"professorkappa":
Non mi pare. Intanto non rimane alcuna forza . Stano facendo una scomposizione nuova che nulla ha a che fare con la scomposizioni che hai fatto prima.
Per "forza che rimane" intendo la componente della forza peso parallela al piano inclinato...È l'unica che non si annulla, quindi rimane quella no? Nel secondo disegno è la freccia del primo schema.
Si, ho capito dopo. E ho capito anche dove ti confondi.
Una volta che hai scomposto lungo la parallela e l'ortogonale, hai finito. Basta.
Le equazioni risolutive le ho scritte sopra. La "forza che rimane" e' quella che fa aumentare la velocita' lungo il piano. Non devi scomporre ulteriormente. Sono 2 equazioni in 2 incognite: la reazione N e l'accelerazione $a=[dv]/[dt]$ lungo il piano.
la scomposizione lungo x-y non occorre: e' un altro SdR, totalmente diverso dal primo (e anche piu' masochista)
Una volta che hai scomposto lungo la parallela e l'ortogonale, hai finito. Basta.
Le equazioni risolutive le ho scritte sopra. La "forza che rimane" e' quella che fa aumentare la velocita' lungo il piano. Non devi scomporre ulteriormente. Sono 2 equazioni in 2 incognite: la reazione N e l'accelerazione $a=[dv]/[dt]$ lungo il piano.
la scomposizione lungo x-y non occorre: e' un altro SdR, totalmente diverso dal primo (e anche piu' masochista)
@professorkappa
Concordo con quanto hai scritto ma credo di aver capito perché fa quella scomposizione, è in relazione a quanto varia la quantità di moto della pallina ... allora provo a ricapitolare ...
@AnalisiZero
Sei d'accordo che la risultante delle (uniche) due forze agenti sulla pallina (cioè il peso e la reazione del piano) è la componente del peso parallela al piano, che essendo costante "produce" un'accelerazione costante ed una velocità crescente parallela al piano? Non rispondere con un'altra domanda o con un "sì, però ..." ....
Detto questo, data l'equivalenza, possiamo "ignorare" le due forze "iniziali" agenti sulla pallina (peso e reazione del piano) e sostituirle con la loro risultante; non solo, se ti aggrada, puoi sostituire pure quest'ultima con la "tua scomposizione" in $Oxy$ ma a tal proposito, due parole ...
1) Non star lì a perdere tempo nel capire "dove andrà", "come si muoverà" la pallina soggetta a queste due "nuove" forze perché lo sai già: essendo la scomposizione della risultante, la loro composizione darà nuovamente la stessa risultante parallela al piano, come ampiamente detto
2) Da questa scomposizione è chiaro che le qdm (orizzontale e verticale) della pallina variano perché c'è una forza orizzontale e una verticale "nette" che agiscono sulla pallina
Ok? Riflettici un po' prima di rispondere ...
Cordialmente, Alex
Concordo con quanto hai scritto ma credo di aver capito perché fa quella scomposizione, è in relazione a quanto varia la quantità di moto della pallina ... allora provo a ricapitolare ...
@AnalisiZero
Sei d'accordo che la risultante delle (uniche) due forze agenti sulla pallina (cioè il peso e la reazione del piano) è la componente del peso parallela al piano, che essendo costante "produce" un'accelerazione costante ed una velocità crescente parallela al piano? Non rispondere con un'altra domanda o con un "sì, però ..." ....
Detto questo, data l'equivalenza, possiamo "ignorare" le due forze "iniziali" agenti sulla pallina (peso e reazione del piano) e sostituirle con la loro risultante; non solo, se ti aggrada, puoi sostituire pure quest'ultima con la "tua scomposizione" in $Oxy$ ma a tal proposito, due parole ...
1) Non star lì a perdere tempo nel capire "dove andrà", "come si muoverà" la pallina soggetta a queste due "nuove" forze perché lo sai già: essendo la scomposizione della risultante, la loro composizione darà nuovamente la stessa risultante parallela al piano, come ampiamente detto
2) Da questa scomposizione è chiaro che le qdm (orizzontale e verticale) della pallina variano perché c'è una forza orizzontale e una verticale "nette" che agiscono sulla pallina
Ok? Riflettici un po' prima di rispondere ...
Cordialmente, Alex
Avete capito quello che voglio dire.
@axpgn: la risposta alla tua domanda è si.
@professorkappa:
A te rispondo con una domanda.
Quindi dopo aver trovato le componenti in un sistema di riferimento, non si deve mai cambiare riferimento e riscomporre tutto nel lungo gli assi del nuovo riferimento?
Nel punto 1) che ha scritto axpgn, mi serve sapere se ci sono o no forze orizzontali perché voglio capire perché si conserva la quantità di moto nell'asse orizzontale in questo esercizio viewtopic.php?f=19&t=183298, l'esercizio è già stato risolto, voglio però capire perché si conserva la quantità di moto lungo l'asse orizzontale, o in altre parole, perché la risultante delle forze lungo l'asse orizzontale è nulla.
Grazie.
@axpgn: la risposta alla tua domanda è si.
@professorkappa:
A te rispondo con una domanda.
Quindi dopo aver trovato le componenti in un sistema di riferimento, non si deve mai cambiare riferimento e riscomporre tutto nel lungo gli assi del nuovo riferimento?
Nel punto 1) che ha scritto axpgn, mi serve sapere se ci sono o no forze orizzontali perché voglio capire perché si conserva la quantità di moto nell'asse orizzontale in questo esercizio viewtopic.php?f=19&t=183298, l'esercizio è già stato risolto, voglio però capire perché si conserva la quantità di moto lungo l'asse orizzontale, o in altre parole, perché la risultante delle forze lungo l'asse orizzontale è nulla.
Grazie.
"AnalisiZero":
Quindi dopo aver trovato le componenti in un sistema di riferimento, non si deve mai cambiare riferimento e riscomporre tutto nel lungo gli assi del nuovo riferimento?
Nel punto 1) che ha scritto axpgn, mi serve sapere se ci sono o no forze orizzontali perché voglio capire perché si conserva la quantità di moto nell'asse orizzontale in questo esercizio viewtopic.php?f=19&t=183298, l'esercizio è già stato risolto, voglio però capire perché si conserva la quantità di moto lungo l'asse orizzontale, o in altre parole, perché la risultante delle forze lungo l'asse orizzontale è nulla.
Grazie.
Certo che non devi cambiare riferimento. Si sceglie un sistema di riferimento (la pratica ti porta a definire quello che ti semplifica, in molti casi, i calcoli) e su quello si lavora.
In quell'esercizio io non so se si conserva l'energia cinetica, se c'e' un urto oppure no. Non lo so.
Ma di sicuro, lungo l'orizzontale, si conserva la quantita di moto. Perche prima del contatto col cuneo mobile, la sferetta non e' soggetta a forze esterne. Quando entra in contatto, il cuneo gli trasferisce un impulso (non solo orizzontale, ma anche verticale) ma, per reazione, la pallina fa lo stesso col cuneo. Quindi la risultante delle forze esterne al sistema, IN ORIZZONTALE, e' nulla.
Scegliendo un sistema x-y con x orizzontale, orientato nel verso della velocita' iniziale della pallina, la qdm prima che la pallina salga sul cuneo, e' $mv_0$. Dopo che sale sul cuneo, la qdm e'
$Mv_1+mv_rcostheta+mv_1=(M+m)v_1+mv_rcostheta$ dove:
M e' la massa del cuneo
$v_1$ e' la velocita' del cuneo dopo l'urto
$v_r$ e' la velocita RELATIVA della pallina rispetto al cuneo (lungo il dorso del cuneo).
Quindi, $mv_0=Mv_1+mv_rcostheta+mv_1=(M+m)v_1+mv_rcostheta$.
Cosa succede su y: mi sembra lecito supporre che la pallina mantenga il contatto col cuneo (cioe' non rimbalza all'impatto). La qdm non si conserva: a seguito dell'urto col cuneo, la pallina acquista, nel nostro sistema di riferimento x-y, una componente verticale di velocita'. Questo perche', come per l'asse x, e come detto prima, il cuneo esercita la sua componente verticale dell'impulso sulla pallina, che reagisce, restituendola para para al cuneo. Ma lungo la verticale c'e' anche la reazione del piano su cui si appoggia il cuneo. Quindi, lungo la verticale, per il sistema pallina-cuneo, le forze non sono in equilibrio (per dirla piu' elegantemente, il risultante delle forze non e' nullo). Ergo, la qdm LUNGO Y deve cambiare.
"professorkappa":
Quando entra in contatto, il cuneo gli trasferisce un impulso (non solo orizzontale, ma anche verticale) ma, per reazione, la pallina fa lo stesso col cuneo.
è proprio questa situazione che non riesco a capire.
Prima del contatto la situazione è questa:
Quindi, lungo l'asse orizzontale non ci sono forze. Lungo l'asse verticale sono presenti forze, ma la loro risultante è nulla.
Invece quando entrano in contatto non riesco a capire come entrano in gioco le forze per annullarsi
è evidente che se cambia il vettore quantità di moto c'è un impulso, cioè una variazione di quantità di moto, che deve essere prodotta da una forza, però qual'è questa forza? E con quale altra forza reagisce la pallina? La forza di gravità?
Quando entrano in contatto esiste un impulso $I_1$ dato dalla pallina al cuneo, ortogonale alla superficie del cuneo come in figura allegata. Il cuneo, per parte sua, reagisce con $I_2$, sempre in figura. Per il principio di azione e reazione, $I_1=I_2$.
Su questo possiamo concordare?
Bene, andiamo avanti.
Siccome non ci sono forze esterne lungo x, ed evidentemente le componenti dell'impulso I si annullano lungo x (vdi figura 2), ne consegue che la qdm lungo x si conserva.
Lungo y, a guastare la festa, ci sono forze esterne: la gravita' che agisce sulla sferetta e sul cuneo, e la reazione del piano su cui poggia il cuneo.
Durante l'impatto, avviene questo:
Per il cuneo:
$R-Mg-[Icostheta]/[Deltat]=0$
Per la pallina:
$[Icostheta]/[Deltat]-mg=m[dv_y]/[dt]$
Quindi la qdm non si conserva lungo y e non possiamo sfruttare la sua conservazione per andare avanti. D'altra parte, la pallina, che aveva componente di velocita' nulla lungo y, prima dell'impatto, ora risale il cuneo: e' chiaro che un impulso a salire, dandogli una componente di velocita' verticale gli deve essere arrivato da qualche parte, no?
"professorkappa":
Quando entrano in contatto esiste un impulso $I_1$ dato dalla pallina al cuneo, ortogonale alla superficie del cuneo come in figura allegata. Il cuneo, per parte sua, reagisce con $I_2$, sempre in figura. Per il principio di azione e reazione, $I_1=I_2$.
Su questo possiamo concordare?
Bene, andiamo avanti.
Siccome non ci sono forze esterne lungo x, ed evidentemente le componenti dell'impulso I si annullano lungo x (vdi figura 2), ne consegue che la qdm lungo x si conserva.
Lungo y, a guastare la festa, ci sono forze esterne: la gravita' che agisce sulla sferetta e sul cuneo, e la reazione del piano su cui poggia il cuneo.
Durante l'impatto, avviene questo:
Per il cuneo:
$R-Mg-[Icostheta]/[Deltat]=0$
Per la pallina:
$[Icostheta]/[Deltat]-mg=m[dv_y]/[dt]$
Quindi la qdm non si conserva lungo y e non possiamo sfruttare la sua conservazione per andare avanti. D'altra parte, la pallina, che aveva componente di velocita' nulla lungo y, prima dell'impatto, ora risale il cuneo: e' chiaro che un impulso a salire, dandogli una componente di velocita' verticale gli deve essere arrivato da qualche parte, no?
Nelle due equazioni per $I$ intendevi $I_1$ nella prima e $I_2$ nella seconda giusto?
Comunque penso di aver capito.
Dico penso perché, chissà perché, continuo a fissarmi sulla sola pallina e a pensare a come le forze "tengano in equilibrio" sul piano inclinato la pallina... Invece guardando "meno nel particolare" capisco bene il tuo ragionamento, e in effetti nessuna forza orizzontale agisce sul sistema.
Scusate il disturbo e grazie per la pazienza
No, ho scritto I, perche $I_1=I_2$ per il principio da az. e reaz. Quindi ho posto $I_1=I_2=I$
Il titolo del post diceva "banale"
Il titolo del post diceva "banale"
"professorkappa":
No, ho scritto I, perche $I_1=I_2$ per il principio da az. e reaz. Quindi ho posto $I_1=I_2=I$
Il titolo del post diceva "banale"
Ho capito, nelle equazioni hai sostituito il vettore col modulo, che è uguale, poi hai preso il segno a seconda del verso.
La cosa era effettivamente banale, ma se leggi qualche mio thread nella sezione analisi 1 capirai come è mio solito fare confusione e mischiare diverse cose
.Grazie ancora.
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