Azioni elettrodinamiche tra circuiti percorsi da corrente
Salve a tutti,
volevo chiedervi una mano riguardo ad un passo del mio libro di Fisica che non ho compreso pienamente.
Consideriamo due circuiti percorsi da corrente. La situazione è schematizzata nella seguente immagine.
http://imageshack.us/photo/my-images/201/imgl.gif/
Detti $ds_1$ e $ds_2$ gli elementi di filo dei due circuiti e $i_1$ e $i_2$ le rispettive correnti (il verso è quello dei vettori $dvecs_1$ e $dvecs_2$), la forza $dF_(1,2)$ agente su $ds_2$, a causa del campo magnetico $dB_1$ prodotto da $dvecs_1$ nel posto dove si trova $dvecs_2$ è
$dvecF_(1,2)=i_2dvecs_2 ^^ dvecB_1=(mu_0i_1i_2)/(4pi)(dvecs_2 ^^ (dvecs_1 ^^ hatu_1))/r^2$
la forza esercitata da $dvecs_2$ su $dvecs_1$ è invece
$dvecF_(2,1)=i_1dvecs_1 ^^ dvecB_2=(mu_0i_1i_2)/(4pi)(dvecs_1 ^^ (dvecs_2 ^^ hatu_2))/r^2$
Non è difficile trovare situazioni in cui $dvecF_1!=-dvecF_2$ in contrasto con il principio di azione e reazione; il fatto tuttavia non è preoccupante in quanto le leggi di Laplace, considerate a sé, non si applicano a sistemi fisicamente realizzabili.
La forza risultante tra i due circuiti si ottiene con una doppia integrazione estesa ai due circuiti:
$vecF_(1,2)=(mu_0i_1i_2)/(4pi) oint_1 oint_2 (dvecs_2 ^^ (dvecs_1 ^^ hatu_1))/r^2$
$vecF_(2,1)=(mu_0i_1i_2)/(4pi) oint_2 oint_1(dvecs_1 ^^ (dvecs_2 ^^ hatu_2))/r^2$
Dato che $veca^^(vecb^^vecc)=(veca*vecc)vecb-(veca*vecb)vecc$ allora l'integrale della prima equazione diventa
$oint_1 oint_2 ((dvecs_2*hatu_1)dvecs_1)/r^2- oint_1 oint_2 ((dvecs_1*dvecs_2 )hatu_1)/r^2$
A questo punto si sostituisce $hatu_1/r^2=-grad(1/r)$.Come di dimostra quest'ultima uguaglianza?
volevo chiedervi una mano riguardo ad un passo del mio libro di Fisica che non ho compreso pienamente.
Consideriamo due circuiti percorsi da corrente. La situazione è schematizzata nella seguente immagine.
http://imageshack.us/photo/my-images/201/imgl.gif/
Detti $ds_1$ e $ds_2$ gli elementi di filo dei due circuiti e $i_1$ e $i_2$ le rispettive correnti (il verso è quello dei vettori $dvecs_1$ e $dvecs_2$), la forza $dF_(1,2)$ agente su $ds_2$, a causa del campo magnetico $dB_1$ prodotto da $dvecs_1$ nel posto dove si trova $dvecs_2$ è
$dvecF_(1,2)=i_2dvecs_2 ^^ dvecB_1=(mu_0i_1i_2)/(4pi)(dvecs_2 ^^ (dvecs_1 ^^ hatu_1))/r^2$
la forza esercitata da $dvecs_2$ su $dvecs_1$ è invece
$dvecF_(2,1)=i_1dvecs_1 ^^ dvecB_2=(mu_0i_1i_2)/(4pi)(dvecs_1 ^^ (dvecs_2 ^^ hatu_2))/r^2$
Non è difficile trovare situazioni in cui $dvecF_1!=-dvecF_2$ in contrasto con il principio di azione e reazione; il fatto tuttavia non è preoccupante in quanto le leggi di Laplace, considerate a sé, non si applicano a sistemi fisicamente realizzabili.
La forza risultante tra i due circuiti si ottiene con una doppia integrazione estesa ai due circuiti:
$vecF_(1,2)=(mu_0i_1i_2)/(4pi) oint_1 oint_2 (dvecs_2 ^^ (dvecs_1 ^^ hatu_1))/r^2$
$vecF_(2,1)=(mu_0i_1i_2)/(4pi) oint_2 oint_1(dvecs_1 ^^ (dvecs_2 ^^ hatu_2))/r^2$
Dato che $veca^^(vecb^^vecc)=(veca*vecc)vecb-(veca*vecb)vecc$ allora l'integrale della prima equazione diventa
$oint_1 oint_2 ((dvecs_2*hatu_1)dvecs_1)/r^2- oint_1 oint_2 ((dvecs_1*dvecs_2 )hatu_1)/r^2$
A questo punto si sostituisce $hatu_1/r^2=-grad(1/r)$.Come di dimostra quest'ultima uguaglianza?
Risposte
La mia è una semplice riflessione, non una risposta seria e completa, ma ha a che fare con essa, si tratta di adoperare i giusti passaggi.
Se hai la funzione : $y = 1/x$ , risulta che : $(dy)/(dx) = -1/x^2$, cioè equivalentemente : $ 1/x^2 = - (dy)/(dx)$
È la stessa situazione che hai quando, dato il potenziale gravitazionale : $ \phi(r) = k/r $, vuoi derivare la forza come gradiente del potenziale, o viceversa data la forza $F = k/r^2$ vuoi ricavare il potenziale da cui deriva : $ F = - grad\phi$
Se hai la funzione : $y = 1/x$ , risulta che : $(dy)/(dx) = -1/x^2$, cioè equivalentemente : $ 1/x^2 = - (dy)/(dx)$
È la stessa situazione che hai quando, dato il potenziale gravitazionale : $ \phi(r) = k/r $, vuoi derivare la forza come gradiente del potenziale, o viceversa data la forza $F = k/r^2$ vuoi ricavare il potenziale da cui deriva : $ F = - grad\phi$
Penso di aver trovato la soluzione. Dati due punti $(x,y,z)$ e $(x_0,y_0,z_0)$ la distanza tra di essi è
$r=sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2)$.
il gradiente di 1/r sarà quindi pari a
$grad(1/r)=(-(x-x_0)/r^3,-(y-y_0)/r^3,-(z-z_0)/r^3)=-1/r^2((x-x_0)/r,(y-y_0)/r,(z-z_0)/r)$
Dato che $(x-x_0)/r$, $(y-y_0)/r$ e $(z-z_0)/r$ sono i coseni direttori del vettore $vec r$ che va dal primo al secondo punto, corrispondenti alle componenti del versore $u_1$ di tale vettore, allora si ha che:
$grad(1/r)=-hat u_1/r^2$
$r=sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2)$.
il gradiente di 1/r sarà quindi pari a
$grad(1/r)=(-(x-x_0)/r^3,-(y-y_0)/r^3,-(z-z_0)/r^3)=-1/r^2((x-x_0)/r,(y-y_0)/r,(z-z_0)/r)$
Dato che $(x-x_0)/r$, $(y-y_0)/r$ e $(z-z_0)/r$ sono i coseni direttori del vettore $vec r$ che va dal primo al secondo punto, corrispondenti alle componenti del versore $u_1$ di tale vettore, allora si ha che:
$grad(1/r)=-hat u_1/r^2$
Si, certo.
Nelle situazioni a simmetria sferica, dove il potenziale dipende solo da $r$, si fa molto prima a calcolarne il gradiente in coordinate polari: dipende solo da $r$ !
Nelle situazioni a simmetria sferica, dove il potenziale dipende solo da $r$, si fa molto prima a calcolarne il gradiente in coordinate polari: dipende solo da $r$ !
Perfetto. Grazie 
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