Avrei un dubbio sul paradosso idrostatico
Ciao,
come da titolo riscontro un problema con la comprensione del paradosso idrostatico espresso nell'allegato sotto.
In particlare risco bene a capirlo con Stevin essendo facile notare le dipendenze, tuttavia se volessi lavorare con un approccio che ne giustifichi il "perché" trovo un bel dubbio
Come si legge nel 2 caso, c'è scritto che "Il paradosso in questo caso si spiega con il fatto che parte del peso del liquido contenuto è sostenuto dalla forza normale R, avente componente P' verso l'alto"
Questo ok, tuttavia nella scomposizione della reazione c'è anche un P'' il quale dovrà essere uguale al caso del cilindro (ossia P'' dovrà essere pari alla reazione della prima figura con pareti verticali), se così non fosse infatti (cioè se P'' nel tronco di cono fosse diverso) assisteremmo a una forza diversa e ne discenderebbe una forza di superficie diversa da quella che era nel primo recipiente e quindi una pressione diversa.
Insomma la domanda che mi pongo è: perché P'' scomposizione di R dovrebbe essere uguale al caso del cilindro? Non mi pare così scontato e se non lo fosse cadrebbe tutta la giustificazione della slide.
come da titolo riscontro un problema con la comprensione del paradosso idrostatico espresso nell'allegato sotto.
In particlare risco bene a capirlo con Stevin essendo facile notare le dipendenze, tuttavia se volessi lavorare con un approccio che ne giustifichi il "perché" trovo un bel dubbio
Come si legge nel 2 caso, c'è scritto che "Il paradosso in questo caso si spiega con il fatto che parte del peso del liquido contenuto è sostenuto dalla forza normale R, avente componente P' verso l'alto"
Questo ok, tuttavia nella scomposizione della reazione c'è anche un P'' il quale dovrà essere uguale al caso del cilindro (ossia P'' dovrà essere pari alla reazione della prima figura con pareti verticali), se così non fosse infatti (cioè se P'' nel tronco di cono fosse diverso) assisteremmo a una forza diversa e ne discenderebbe una forza di superficie diversa da quella che era nel primo recipiente e quindi una pressione diversa.
Insomma la domanda che mi pongo è: perché P'' scomposizione di R dovrebbe essere uguale al caso del cilindro? Non mi pare così scontato e se non lo fosse cadrebbe tutta la giustificazione della slide.
Risposte
"alterbi":
P'' dovrà essere pari alla reazione della prima figura con pareti verticali), se così non fosse infatti (cioè se P'' nel tronco di cono fosse diverso) assisteremmo a una forza diversa e ne discenderebbe una forza di superficie diversa da quella che era nel primo recipiente e quindi una pressione diversa.
Non ho capito bene il tuo dubbio, dici che P'' (componente orizzontale della forza nel caso dei tronchi di cono) deve essere uguale alla forza totale nel caso del cilindro? O dici il contrario? Non è chiaro.
Magari esplicita meglio la questione.
Comunque, P'' NON è uguale alla forza fornita dalla parete del cilindro: P' + P'' lo sono.
ciao 
Non dovrebbe essere P'+P'' pari a R_tronco di cono? Nel cilindro dovrebbe essere P''=R_cilindro
Diciamo che i dubbi sono due su tale scomposizione:
1) non capisco perché non si scomponga la forza di volume (forza peso del triangolo) anche parallelamente alla parete. Infatti il triangolino dovrebbe scorrere grazie a tale scomposizione parallela. Ma nella slide nemmeno l'omra. Quindi qualcosa non mi è già chiaro qui.
2) il secondo problema è sul P'' come dicevo sopra.
Purtroppo non trovo spiegazioni passo passo e non riesco a capire cosa sbaglio. Tutti lo trattano sommariamente qualitativamente.
[Edit]
Uhm più che della forza (peso) P'' mi pare la componente della risultante R dal disegno.
Non dovrebbe essere P'+P'' pari a R_tronco di cono? Nel cilindro dovrebbe essere P''=R_cilindro
Diciamo che i dubbi sono due su tale scomposizione:
1) non capisco perché non si scomponga la forza di volume (forza peso del triangolo) anche parallelamente alla parete. Infatti il triangolino dovrebbe scorrere grazie a tale scomposizione parallela. Ma nella slide nemmeno l'omra. Quindi qualcosa non mi è già chiaro qui.
2) il secondo problema è sul P'' come dicevo sopra.
Purtroppo non trovo spiegazioni passo passo e non riesco a capire cosa sbaglio. Tutti lo trattano sommariamente qualitativamente.
[Edit]
"mgrau":
dici che P'' (componente orizzontale della forza nel caso dei tronchi di cono)
Uhm più che della forza (peso) P'' mi pare la componente della risultante R dal disegno.
"alterbi":
Non dovrebbe essere P'+P'' pari a R_tronco di cono? Nel cilindro dovrebbe essere P''=R_cilindro
Infatti è così
"alterbi":
1) non capisco perché non si scomponga la forza di volume (forza peso del triangolo) anche parallelamente alla parete. Infatti il triangolino dovrebbe scorrere grazie a tale scomposizione parallela.
Ho l'impressione che tu consideri il triangolino (anzi il solido di rotazione corrispondente) come un solido su un piano inclinato. Non mi pare che si scomponga il peso del triangolo. Si scompone la reazione delle pareti alla pressione del liquido, che è perpendicolare alla parete.
Perché la figura dice: Per il recipiente (2) il peso del liquido contenuto è maggiore della forza esercitata sul fondo.
Da qui l'idea che mi era venuta di prendere la forza peso totale del "tirangolino" e scomporla come di fatto fosse un solido su un "piano": tanto è in equilibrio quindi le forze su tutto questo trinagolo devono essere nulle. Quindi è qui l'errore.
Cavolo, non riesco proprio a capire come funzioni allora. Devo ragionarci su ancora, ci sono su da ore
Da qui l'idea che mi era venuta di prendere la forza peso totale del "tirangolino" e scomporla come di fatto fosse un solido su un "piano": tanto è in equilibrio quindi le forze su tutto questo trinagolo devono essere nulle. Quindi è qui l'errore.
Cavolo, non riesco proprio a capire come funzioni allora. Devo ragionarci su ancora, ci sono su da ore
"alterbi":
Da qui l'idea che mi era venuta di prendere la forza peso totale del "triangolino" e scomporla ...
L'idea è giusta. Tuttavia, non devi scomporla. Insomma, poiché l'unica altra forza di superficie che agisce sul triangolino è quella dovuta alla pressione del liquido alla sua destra, diretta lungo l'orizzontale verso sinistra, la componente verticale della reazione della parete obliqua deve essere uguale alla forza peso del triangolino. Ovviamente, per l'equilibrio, la componente orizzontale della reazione della parete obliqua (verso destra) deve essere uguale alla forza dovuta alla pressione del liquido alla destra del triangolino (verso sinistra).
"anonymous_0b37e9":
[quote="alterbi"]
Da qui l'idea che mi era venuta di prendere la forza peso totale del "triangolino" e scomporla ...
L'idea è giusta. Tuttavia, non devi scomporla. Insomma, poiché l'unica altra forza di superficie che agisce sul triangolino è quella dovuta alla pressione del liquido alla sua destra, diretta lungo l'orizzontale verso sinistra, la componente verticale della reazione della parete obliqua deve essere uguale alla forza peso del triangolino. Ovviamente, per l'equilibrio, la componente orizzontale della reazione della parete obliqua (verso destra) deve essere uguale alla forza dovuta alla pressione del liquido alla destra del triangolino (verso sinistra).[/quote]
Ah ora mi è chiaro, grazie mille.Mi ero incasinato con la scomposizione della forza peso. Insomma vederlo come un vero triangolino solido che scivola (delimitato da superfici ideali) è corretto.
Tuttaviami resta una domanda, non capisco perché scomponendola (la forza peso, un po' come farei con il piano inclinato) non mi ci ritrovi. Dovrei in realtà giungere al medesimo risultato no?
[Edit]
Ok forse il fatto è che non scomponevo quella orizzontale da destra lungo il medesimo sistema di riferimento parallelo e ortogonale al piano inclinato, come invece facevo per la forza peso (componevo solo quest'ultima). Credo sia quello l'errore?
Probabilmente non mi sono spiegato bene. L'idea giusta è quella di isolare il triangolino e considerarne la forza peso.
Non è assolutamente necessario scomodare lo scivolamento. Tuttavia, se proprio la vuoi vedere così, devi considerare la forza orizzontale diretta verso sinistra esercitata dal liquido alla destra del triangolino. Ad ogni modo, ho l'impressione che l'analogia con il piano inclinato non ti sia molto di aiuto. Insomma, le cose sono più semplici di quello che credi. Intanto, se, per semplicità, consideriamo il recipiente a forma di tronco di piramide, non si tratta di un triangolino, piuttosto di un prisma a base triangolare. Ebbene, dopo aver identificato le forze che agiscono sul prisma:
1 forza di volume, la forza peso, diretta verticalmente verso il basso.
5 forze di superficie dirette perpendicolarmente alla rispettiva superficie.
è sufficiente imporre l'equilibrio. Poiché l'unica forza di superficie che sviluppa una componente verticale è quella relativa alla superficie obliqua, del resto:
1. In assenza di pressione atmosferica non agisce una forza di superficie sulla superficie superiore orizzontale diretta verticalmente verso il basso.
2. Le altre 3 forze di superficie sono parallele al piano orizzontale.
questa componente verticale deve essere opposta alla forza peso. Spero di essermi spiegato.
"alterbi":
... vederlo come un vero triangolino solido che scivola ...
Non è assolutamente necessario scomodare lo scivolamento. Tuttavia, se proprio la vuoi vedere così, devi considerare la forza orizzontale diretta verso sinistra esercitata dal liquido alla destra del triangolino. Ad ogni modo, ho l'impressione che l'analogia con il piano inclinato non ti sia molto di aiuto. Insomma, le cose sono più semplici di quello che credi. Intanto, se, per semplicità, consideriamo il recipiente a forma di tronco di piramide, non si tratta di un triangolino, piuttosto di un prisma a base triangolare. Ebbene, dopo aver identificato le forze che agiscono sul prisma:
1 forza di volume, la forza peso, diretta verticalmente verso il basso.
5 forze di superficie dirette perpendicolarmente alla rispettiva superficie.
è sufficiente imporre l'equilibrio. Poiché l'unica forza di superficie che sviluppa una componente verticale è quella relativa alla superficie obliqua, del resto:
1. In assenza di pressione atmosferica non agisce una forza di superficie sulla superficie superiore orizzontale diretta verticalmente verso il basso.
2. Le altre 3 forze di superficie sono parallele al piano orizzontale.
questa componente verticale deve essere opposta alla forza peso. Spero di essermi spiegato.
"anonymous_0b37e9":
Probabilmente non mi sono spiegato bene. L'idea giusta è quella di isolare il triangolino e considerarne la forza peso.
Nono in realtà mi è chiaro, mi son spiegato male io scusami. Volevo solo capire se si poteva fare anche per altra via (oltre quella semplice da te illustrata). Però mi pare una inutile complicazione, in effetti.
Mi piacerebbe porre un'altra domanda sull'argomento idrostatico in questione: la botte di Pascal.
In questo caso se usassi tubi diversi connessi alla botte (più piccoli e più grandi) noto che la forza peso in questo caso (dovute a masse maggiori) non è scaricata su alcuna reazione vincolare. Da qualche parte la forza si dovrà pur scaricare come accadeva per i recipienti sulle pareti. Ma la domanda è: dove si scarica? In questo caso non vedo alcuna parete inclinata che assolva al compito, ma se tale forza non fosse scaricata da qualche parte finirebbe sul fondo (cosa non vera evidentemente).
Ragionando con le superfici isobariche ovviamente funziona, però io vorrei cercare di capire dove si scarica la forza in questo caso, non ci sono pareti come nei recipienti che rispondono con una forza di reazione R, eppure sopra ho una massa minore e maggiore a seconda del tubo in uso.
In questo caso se usassi tubi diversi connessi alla botte (più piccoli e più grandi) noto che la forza peso in questo caso (dovute a masse maggiori) non è scaricata su alcuna reazione vincolare. Da qualche parte la forza si dovrà pur scaricare come accadeva per i recipienti sulle pareti. Ma la domanda è: dove si scarica? In questo caso non vedo alcuna parete inclinata che assolva al compito, ma se tale forza non fosse scaricata da qualche parte finirebbe sul fondo (cosa non vera evidentemente).
Ragionando con le superfici isobariche ovviamente funziona, però io vorrei cercare di capire dove si scarica la forza in questo caso, non ci sono pareti come nei recipienti che rispondono con una forza di reazione R, eppure sopra ho una massa minore e maggiore a seconda del tubo in uso.
Mi si corregga se sbaglio, però mi sembra che tu vuoi usare il "Principio di solidificazione" sulla colonna sopra la botte. Facendo così noti che il cilindro1 e colindro2 sono fermi, quindi devi supporre una forza che spinge dalla botte sul cilindretto (visto tutt'uno come un corpo tale cilindretto.) e pensiamo sia una forza di superficie che indico con $F_s$.
In dettaglio, mettiamo che il cilindro piccolo di massa $m_1$ e sezione $s$ sviluppi una forza $F_1$ e il secondo cilindro più grande abbia $m_2$ e sezione $S$ sviluppi una forza $F_2$.
Allora avrai che:
1. $F_1=m_1g=F_(s)=p_1s$ per stare in equilibrio e valida in modulo.
2. $F_2=m_2g=F_(S)=p_2S$
Ora essendo forze di superficie sono proporzionali alla pressione
1. $F_(s)/s=p_1$
2. $F_(S)/S=p_2$
e in particolare scopri che $p_1=p_2$
In definitiva, non puoi usare il principio della risultante di forze nulle della dinamica sul liquido in sé, ma solo sulla parte solidificata, vediamo se riesco a spiegarmi meglio: se prendi ad esempio un torchio delgenere
Ti accorgi che non è vero che F1=F2 per mantenere il fluido fermo, bensì sono le pressioni e non le forze a doversi uguagliare nei fluidi, ossia varrà $p_1=p_2$ del disegno.
Diverso è invece se solidifichi la parte di fluido da trattare (triangolino di cui parlavi o cilindretto nella botte), lo tratti proprio come un tassello rigido e solo a quel punto vale che per stare fermo devi avere due forze contrarie che si uguaglino.
Vediamo cosa dice @sergeant che sicuro ne sa più di me
, non voglio prendermi l'onere di farti sbagliare.
In dettaglio, mettiamo che il cilindro piccolo di massa $m_1$ e sezione $s$ sviluppi una forza $F_1$ e il secondo cilindro più grande abbia $m_2$ e sezione $S$ sviluppi una forza $F_2$.
Allora avrai che:
1. $F_1=m_1g=F_(s)=p_1s$ per stare in equilibrio e valida in modulo.
2. $F_2=m_2g=F_(S)=p_2S$
Ora essendo forze di superficie sono proporzionali alla pressione
1. $F_(s)/s=p_1$
2. $F_(S)/S=p_2$
e in particolare scopri che $p_1=p_2$
In definitiva, non puoi usare il principio della risultante di forze nulle della dinamica sul liquido in sé, ma solo sulla parte solidificata, vediamo se riesco a spiegarmi meglio: se prendi ad esempio un torchio delgenere
Ti accorgi che non è vero che F1=F2 per mantenere il fluido fermo, bensì sono le pressioni e non le forze a doversi uguagliare nei fluidi, ossia varrà $p_1=p_2$ del disegno.
Diverso è invece se solidifichi la parte di fluido da trattare (triangolino di cui parlavi o cilindretto nella botte), lo tratti proprio come un tassello rigido e solo a quel punto vale che per stare fermo devi avere due forze contrarie che si uguaglino.
Vediamo cosa dice @sergeant che sicuro ne sa più di me
, non voglio prendermi l'onere di farti sbagliare.
"alterbi":
In questo caso, se usassi tubi diversi connessi alla botte (più piccoli e più grandi), noto che la forza peso ...
Se ho capito bene, vorresti dimostrare analiticamente che la pressione sul fondo dei due recipienti sottostanti:
è la stessa nonostante il primo recipiente contenga più liquido del secondo. Ebbene, ti faccio solo osservare che la forza esercitata verso il basso dalla superficie orizzontale $S_1$ è minore della forza esercitata verso il basso dalla superficie orizzontale $S_2$ semplicemente perché, a parità di pressione dovuta all'altezza della colonna sovrastante, la superficie $S_1$ è meno estesa della superficie $S_2$. Ad ogni modo, una volta compreso il concetto, non credo valga la pena formalizzarlo.
"jimbolino":
... non voglio prendermi l'onere di farti sbagliare.
A prescindere dalle tue argomentazioni, non vorrei passasse il messaggio che la condizione di equilibrio per i liquidi sia diversa dalla condizione di equilibrio per i solidi. Insomma, anche se il principio di Pascal vale solo per i liquidi, meglio ribadire che la somma delle forze deve comunque essere nulla. Per esempio, nell'esempio del torchio idraulico, l'equilibrio è garantito nonostante $F_1 ne F_2$ perché le altre superfici che delimitano il liquido esercitano delle forze che compensano la differenza.
"anonymous_0b37e9":
[quote="jimbolino"]
... non voglio prendermi l'onere di farti sbagliare.
A prescindere dalle tue argomentazioni, non vorrei passasse il messaggio che la condizione di equilibrio per i liquidi sia diversa dalla condizione di equilibrio per i solidi. Insomma, anche se il principio di Pascal vale solo per i liquidi, meglio ribadire che la somma delle forze deve comunque essere nulla. Per esempio, nell'esempio del torchio idraulico, l'equilibrio è garantito nonostante $F_1 ne F_2$ perché le altre superfici che delimitano il liquido esercitano delle forze che compensano la differenza.[/quote]
Se ho ben capito quello che vuoi dire è che F2 applicata sulla parte destra del torchio è bilanciata dalla R (risposta della parete), tuttavia sottraendo F2-R rimane un disavanzo di forza chiamiamola F1 che è proprio quella che devo applicare al cilindretto per avere situazione statica; intendevi questo?
Se sì, proprio per questo effetto delle pareti dicevo conviene giocare con le pressioni dato che rimangono invece costanti tra le due parti dx e sx.
Se è così ci sono, se no devo essere confuso anche io
!Però questa è anche la giustificazione che poteri usare anche nella figura da te postata dei due contenitori, o sbaglio?
Perché l'OPmi pare chiedersi: prendiamo la tua figura 1 e figura2, ebbene se appoggio i due contenitori riempiti sul tavolo essi premono con il vetro sulla superficie del tavolo con due forze diverse (nella figura 1 c'è più acqua) ed è sacrosanto sia così: hanno masse diverse => forze diverse.
Però si chiede anche, come diamine è possibile che, invece, all'interno del contenitore la forza che preme sulla "parete" fondo sia uguale nei due casi anche se le masse d'acqua sono diverse?
Io la vedrei così, passo-passo esattamente come il torchio:
figura1]
Poiché nel punto di contatto tra la superficie ideale del cilindro e quella del quadratone in basso (nella tua figura) abbiamo una certa pressione p, avremo che spinge in basso una somma di forze date da: $F_s=ps$ risultante della reazione della parete di vetro (dove con s indico la superficie superiore di vetro della prima botte) più la forza di volume data dalla massa del cilindro superiore pieno di liquido: ebbene la somma di queste due è proprio la forza che incide sul fondo.
figura2] La forza risultante diretta in basso è del tutto uguale a quella sopra calcolata, perché?
Beh perché la superficie S di vetro superiore è più grande mentre è più piccolo il cilindro. Dobbiamo ora sommare la forza di reazione della parete superiore $F_S=pS$ maggiore della precedente a una forza di volume (data dallamassa d'acqua contenuta nel cilindretto) questa volta minore! La somma sarà sempre la F di prima.Ecco dove era il trucco.
Se sbaglio, @sergeant, correggimi (anzi ti ringrazio per farlo!), nel caso sia corretto spero di aver aiutato un minimo.
Il ragionamento è corretto. Tuttavia, per distinguere correttamente le forze in gioco:
avendo operato una sezione in corrispondenza del restringimento ed essendo il liquido sovrastante in equilibrio, si tratta ancora di una forza di superficie a corto raggio d'azione dovuta alle interazioni di natura elettromagnetica tra le molecole di liquido che giacciono al di sopra e al di sotto del taglio, in modulo uguale alla forza di volume a lungo raggio d'azione e di natura gravitazionale esercitata dalla terra sul liquido sovrastante. Insomma, anche se le due forze hanno lo stesso modulo, la loro natura è completamente diversa. Inoltre, visto che la forza di volume agisce sul liquido sovrastante, ad agire sul liquido sottostante è ancora una forza di superficie.
"jimbolino":
... più la forza di volume data dalla massa del cilindro superiore pieno di liquido ...
"jimbolino":
... a una forza di volume (data dalla massa d'acqua contenuta nel cilindretto) questa volta minore!
avendo operato una sezione in corrispondenza del restringimento ed essendo il liquido sovrastante in equilibrio, si tratta ancora di una forza di superficie a corto raggio d'azione dovuta alle interazioni di natura elettromagnetica tra le molecole di liquido che giacciono al di sopra e al di sotto del taglio, in modulo uguale alla forza di volume a lungo raggio d'azione e di natura gravitazionale esercitata dalla terra sul liquido sovrastante. Insomma, anche se le due forze hanno lo stesso modulo, la loro natura è completamente diversa. Inoltre, visto che la forza di volume agisce sul liquido sovrastante, ad agire sul liquido sottostante è ancora una forza di superficie.
Su questo forum siete sempre gentilissimi!
Credo di aver capito ora!
Grazie a tutti gli intervenuti
Credo di aver capito ora!
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