Autovettori normalizzati

cla291
Buonasera,

vorrei chiedervi aiuto per trovare i passaggi espliciti che consentono di normalizzare i seguenti autovettori:

$ ( ( e^(−iφ) sintheta ),( 1-costheta ) ) ; ( ( -e^(−iφ) sintheta ),( 1+costheta ) ) $

i vettori normalizzati diventano i seguenti:

$ ( ( e^(−iφ/2) cos (theta/2) ),( e^(iφ/2) sin (theta/2) ) ) ; ( ( -e^(-iφ/2) sin (theta/2) ),( e^(iφ/2) cos (theta/2)
) ) $

Sto provando con le formule di bisezione, con magri risultati.

Grazie e saluti.

Risposte
Studente Anonimo
Studente Anonimo
Per quanto riguarda il primo autovettore:

Modulo del primo autovettore

$sqrt(e^(-i\phi)sin\theta*e^(i\phi)sin\theta+(1-cos\theta)^2)=sqrt(2(1-cos\theta))=sqrt(4sin^2(\theta/2))=2sin(\theta/2)$

Primo autovettore normalizzato

$1/(2sin(\theta/2))((e^(-i\phi)sin\theta),(1-cos\theta))=1/(2sin(\theta/2))((2e^(-i\phi)sin(\theta/2)cos(\theta/2)),(2sin^2\(theta/2)))=((e^(-i\phi)cos(\theta/2)),(sin(\theta/2)))$

Infine, moltiplicando per $e^(i\phi/2)$, di modulo unitario:

$((e^(-i(\phi)/2)cos(\theta/2)),(e^(i(\phi)/2)sin(\theta/2)))$

cla291
Ti ringrazio per la tua dettagliata risposta. Approfitto ancora della tua gentilezza, chiedendoti due cose:

- $ e^(−iϕ)sinθ⋅e^(iϕ)sinθ $ deriva da $ (e^(−iϕ)sinθ)^2 $
- quando alla fine moltiplichi per $ e^(iϕ/2) $ di modulo unitario, si può fare perché il fattore di fase non cambia la direzione del vettore? o/e per altri motivi?

Grazie e saluti.

Studente Anonimo
Studente Anonimo
"cla29":

... deriva da ...

Nel campo complesso il modulo di un vettore di componenti $C_1$ e $C_2$ è:

$sqrt(C_1bar(C_1)+C_2bar(C_2))$

in cui $bar(C_1)$ e $bar(C_2)$ sono, rispettivamente, i complessi coniugati di $C_1$ e $C_2$.

"cla29":

... quando alla fine moltiplichi per ...

Se moltiplichi entrambe le componenti $C_1$ e $C_2$ di un autovettore per un fattore di modulo unitario, il vettore risultante è ancora un autovettore avente lo stesso modulo del vettore di partenza.

cla291
Gentilissimo,

Ancora 1000 grazie.
Vorrei anche chiederti se è corretto dire, con riferimento ai vettori normalizzati, che variando i parametri phi e theta è possibile ottenere un vettore con qualsiasi direzione $ vec(n) $ E se ciò vale indipendentemente dalla normalizzazione.

Saluti.

Studente Anonimo
Studente Anonimo
"cla29":

... variando i parametri $\phi$ e $\theta$ ...

L'autovettore normalizzato di cui sopra è un autostato dello spin relativo a una generica direzione individuata dai parametri $\phi$ e $\theta$. Insomma, se si misura, in unità di h tagliato, la componente dello spin lungo quella direzione, si ottiene sempre $1/2$. Lo stesso dicasi per l'altro autovettore: se si misura, in unità di h tagliato, la componente dello spin lungo la medesima direzione, si ottiene sempre $-1/2$. Per quanto riguarda la normalizzazione, quest'ultima entra in gioco quando si vuole esprimere un generico stato come combinazione lineare dei due autostati. Solo se i due autovettori sono normalizzati, la somma dei quadrati dei moduli dei due coefficienti della combinazione lineare assume valore unitario, come deve essere per la somma delle due probabilità.

cla291
Ma quindi l'autovettore è un vettore di polarizzazione?

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