Autovalori di \( F^{\mu}_{\,\,\,\nu} \)

[LoreT314]

Mi è stato chiesto di calcolare gli autovalori di \( F^{\mu}_{\,\,\,\nu} \) , dove $F$ è il solito $F_{\mu \nu}=\partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu$. Io ho provato a scrivere la matrice che trovo essere $ ( [ 0, E_x, E_y, E_z]
, [E_x, 0, B_z, -B_y], [E_y, -B_z, 0, B_x],
[E_z, B_y, -B_x, 0] ) $ l'ho messa in matlab e fatto eig ma mi esce un risultato orrendo. Immagino la mia strada sia quella sbagliata. Qualcuno ha qualche idea?

[Lampo1089]

Ciao, sicuramente con Mathematica qualcosa riesci a tirare fuori.
Ma immagino che quello che tu voglia fare non sia semplicemente ottenere una soluzione brute-force (che sia con mathematica, matlab o "a mano" con la soluzione dell'equ. agli autovalori poco cambia) ma qualcosa di un po' più fine.
Io ragionerei sfruttando la conoscenza degli invarianti che derivano dal tensore EM. Premetto di non aver la soluzione sotto mano, la mia è solo una idea ...

[megas_archon]

Gli invarianti di cui parli forse sono quelli che si ottengono usando le formule di Viète sulla matrice: se sì, la somma degli autovalori è la traccia, che per una antisimmetrica è nulla; il prodotto degli autovalori è il determinante; gli altri si possono scrivere con una di quelle buffe notazioni sugli indici.

Per una matrice antisimmetrica poi quello che sai è che il determinante è sempre il quadrato di un polinomio (lo "Pfaffiano" della matrice) negli ingressi sopra la diagonale, e lo Pfaffiano di una matrice 4x4 è quindi funzione delle componenti di \(\vec E,\vec B\): \(Pf(F) = E_xB_x + E_yB_y + E_zB_z = \vec E \cdot \vec B\) (chi avrebbe mai detto che esistesse questa relazione! Magia o teorema?)

[LoreT314]

Si quello che mi aspetto è che questi autovalori, siccome sono lorentz invarianti, siano una certa funzione di $E^2-B^2$ ed $E*B$ siccome sono gli unici due invarianti indipendenti che puoi costruire dai campi. Pensavo ci fosse un risultato fisico evidente ma non mi sembra di trovarlo.