Autofunzioni simultane H e P

[vivi996]

Buongiorno, sto studiando la buca di potenziale finita classica, dove il potenziale vale $V_o$ per $x<-a$ e $x>a$ e 0 per $-a

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Risposte

tottomagoog

8 nov 2020, 11:45

Ciao. Se due operatori commutano allora esiste una base comune di autofunzioni. Visto che la parità ha autofunzioni a parità definita, deve essere possibile trovarle con questa proprietà anche per l'hamiltoniana. A questo livello di dettaglio se il potenziale è pari allora H commuta per forza con la parità. Provare per credere.

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vivi996

8 nov 2020, 12:19

H e P commutano perchè il potenziale é pari? Per trovare le autofunzioni pari allora risolvo l'equazione di Schrodinger e vedo che sono $Y(x)=Be^(-px)$ $in x>a$ $Y(x)=Acos(kx)+Bsin(kx)$ $-a

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tottomagoog

8 nov 2020, 13:57

C'è un po' di confusione. Una funzione non è "pari in ogni intervallo". E' pari globalmente. Dovrai unire la soluzione trovate nella buca con quella fuori. Questa soluzione globale dovrà essere pari ( e la sua duale, dispari). Gli esponenziali si compensano a vicenda rispetto alla parità. Chiaro che un esponenziale in quanto tale non è nè pari nè dispari.

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vivi996

8 nov 2020, 16:08

Ok grazie, devo ricontrollare un attimo la storia delle autofunzioni simultanee di due osservabili ( distinguendo caso degenere e non) perché non l'ho capito molto bene evidentemente.

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tottomagoog

8 nov 2020, 16:30

E' molto semplice in realtà. Pensala come faresti ad algebra lineare. Uno spazio non ha una sola base. Il modo in cui rappresento i vettori in un certo spazio dipende dalla base che scelgo. Ora il teorema sulla commutatività degli operatori ti assicura che, tra le tante basi che ci sono, se gli operatori commutano ne esiste almeno una in comune ed i cui elementi sono autovettori. Essendo comune, questi autovettori devono andare bene per entrambi gli operatori. Ciò che fai in modo implicito separando le soluzioni in modo da averne di pari e dispari è un cambio di base. Nulla di più. In tale modo è possibile ottenere una base i cui autovettori (che qui si chiamano autofunzioni) risolvono sia $H\psi=\lambda \psi$ e sia $P\psi = k \psi$ dove $\lambda, k$ sono gli autovalori rispettivamente dell'energia e della parità

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vivi996

10 nov 2020, 17:25

Ci sono quasi, grazie!

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[tottomagoog]

Ciao. Se due operatori commutano allora esiste una base comune di autofunzioni. Visto che la parità ha autofunzioni a parità definita, deve essere possibile trovarle con questa proprietà anche per l'hamiltoniana. A questo livello di dettaglio se il potenziale è pari allora H commuta per forza con la parità. Provare per credere.

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H e P commutano perchè il potenziale é pari? Per trovare le autofunzioni pari allora risolvo l'equazione di Schrodinger e vedo che sono $Y(x)=Be^(-px)$ $in x>a$ $Y(x)=Acos(kx)+Bsin(kx)$ $-a

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[tottomagoog]

C'è un po' di confusione. Una funzione non è "pari in ogni intervallo". E' pari globalmente. Dovrai unire la soluzione trovate nella buca con quella fuori. Questa soluzione globale dovrà essere pari ( e la sua duale, dispari). Gli esponenziali si compensano a vicenda rispetto alla parità. Chiaro che un esponenziale in quanto tale non è nè pari nè dispari.

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Ok grazie, devo ricontrollare un attimo la storia delle autofunzioni simultanee di due osservabili ( distinguendo caso degenere e non) perché non l'ho capito molto bene evidentemente.

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E' molto semplice in realtà. Pensala come faresti ad algebra lineare. Uno spazio non ha una sola base. Il modo in cui rappresento i vettori in un certo spazio dipende dalla base che scelgo. Ora il teorema sulla commutatività degli operatori ti assicura che, tra le tante basi che ci sono, se gli operatori commutano ne esiste almeno una in comune ed i cui elementi sono autovettori. Essendo comune, questi autovettori devono andare bene per entrambi gli operatori. Ciò che fai in modo implicito separando le soluzioni in modo da averne di pari e dispari è un cambio di base. Nulla di più. In tale modo è possibile ottenere una base i cui autovettori (che qui si chiamano autofunzioni) risolvono sia $H\psi=\lambda \psi$ e sia $P\psi = k \psi$ dove $\lambda, k$ sono gli autovalori rispettivamente dell'energia e della parità

[vivi996]

Ci sono quasi, grazie!