Autofunzioni e autostati

[austalopitechio]

Buonasera

Sono qui per chiedere una mano sui concetti del titolo della discussione poiché seguendo le pagine del mio libro non ho ben chiaro un punto.

In un esempio calcola quelle che chiama autofunzioni dell'operatore impulso:

$Ppsi=-iħd/(dx)psi=ppsi$ (distinguo P operatore da p autovalore con maiuscolo e minuscolo rispettivamente)

Dice che $psi(x)=Ae^(i(p/h)x)$ che ovviamente non è in $L^2(RR)$.

Comunque, non mi è chiaro perché dica essere autofunzione e non autostato dell'operatore impulso.

Dove con la nomenclatura autofunzione intendo l'autostato dell'operatore nella base della posizione (cioè la "proiezione" di esso sulla base degli autovalori dell'operatore, spiegandolo come fosse algebra lineare spicciola). Ora, l'equazione dovrebbe invece farmi trovare l'autostato (non l'autofunzione che invece dovrebbe essere data da: $$, con psi quella trovata sopra).
Credo qualcosa mi stia sfuggendo, perchè io avrei detto che $psi(x)=e^(i(p/h)x)$ erano appunto autostati.

[Dracmaleontes]

Quella che hai scritto non è nient'altro che $\langle x | p \rangle$, la proiezione del generico autostato dell'impulso sulla base degli autostati dell'operatore posizione, cioè l'autofunziona associata all'autostato $| p rangle$. All'autostato si associa la notazione $| p rangle$. La sua rappresentazione su uno spazio infinito dimensionale, per esempio $l_2$, è del tutto arbitraria.

[austalopitechio]

Non capisco perché sia l'autofunzione e non l'autostato, dato che la soluzione dell'equazione con osservabile p dovrebbe darmi nella sua risoluzione gli autostati pensavo scritti nella base degli autostati dell'operatore impulso (non le autofunzioni, cioè nella base delle posizioni).
Cioè le $psi_p(x)$ soluzioni dell'equazione mi sembra la base dell'operatore impulso espressa nella base stessa dell'operatore impulso. Insomma, l'autostato stesso!
Anche perché poi scrivo una generica $f=int_(-oo)^(+oo)Phi(p)psi_p(x)dp$ dove $psi_p$ è quella scritta sopra e mi sembra di sfruttarla proprio come base con i relativi coefficienti $Phi$.

D'altra parte se volessi scomporre sulla base della posizione un autostato $|p>$ avrei la seguente autofunzione:

$\langle x' | p \rangle =intdx' $ tuttavia |x'> è la delta di dirac quindi posso riscriverlo come
$intδ(x-x')|p>dx'=psi_p(x')=Ae^(i(p/h)x')$

[ma dato che: $f(x)δ(x-x_0)=f(x_0)δ(x-x_0)$]

mi sembra che l'autostato |p> non sia altro che: |p>=$Ae^(i(p/h)x)$ la stessa funzione (dell'autofunzione) di fatto.

Quello che chiedevo è cosa mi sfugge...

[austalopitechio]

EDIT: a meno che indicando con |s> uno stato generico nello spazio di Hilbert $Phi(p)=\langle p | s \rangle = \langle psi_p | s \rangle $.

In altre parole i coefficienti dello sviluppo posso trovarli identici sia contraendo lo stato con |p> o sull'autofunzione di |p> cioè $psi_p$: così mi tornerebbe perché è come se stessi scrivendo p nella base delle posizioni ($psi_p(x)$)e proietto s su di esse, ma che di fatto è uguale a proiettarlo sul vettore |p> nudo e crudo.

Non lo so credo di aver bisogno di qualche conferma perché su più testi che ho consultato non ho trovato una risposta al mio dubbio interpretativo. Devo assolutamente capire

[anonymous_0b37e9]

"austalopitechio":
... le $\psi_p(x)$ soluzioni dell'equazione secolare ...

Intanto, una precisazione. Se, per equazione secolare, intendi:

$P\psi_p(x)=p\psi_p(x)$

in algebra lineare la sua analoga sarebbe:

$Tvecv=\lambdavecv$

Tuttavia, sempre in algebra lineare, per equazione secolare si intende:

$det(T-\lambdaI)=0$

Per quanto riguarda il resto, quale sarebbe il libro che opera nettamente questa distinzione tra autostato e autofunzione?

[austalopitechio]

Ciao, effettivamente ho usato impropriamente il termine e ti ringrazio per la correzione (che applico). Intendo ovviamente la prima delle due opzioni da te indicate.

Al momento non ho trovato un libro che mi abbia aiutato molto in realtà, quindi non so bene rispondere alla tua domanda: ho usato il sakurai e il rottoli forte. Ho letto anche sul griffith ma solo per vedere se ne desse una interpretazione intuitiva ma anche lì nulla di molto chiaro.
Diciamo che i dubbi di cui sopra si limitano a quanto chiedevo negli ultimi due port sopra il tuo.

[anonymous_0b37e9]

"austalopitechio":
... seguendo le pagine del mio libro non ho ben chiaro un punto.

Pensavo fosse un approfondimento presente nel libro. Ad ogni modo, non ricordo un libro che faccia una distinzione così netta. Anzi, tipicamente, "autostato" e "autofunzione" sono sinonimi. Vero è che si potrebbe chiamare autostato lo stato fisico "astratto" e autofunzione una oppure tutte le sue rappresentazioni matematiche "concrete". In questo caso, lo stato fisico sarebbe:

$Ae^(ip_1/ħx)$

nella rappresentazione in cui x è diagonale:

$A\delta(p-p_1)$

nella rappresentazione in cui p è diagonale. Tuttavia, non mi sembra una questione così degna di nota. Infine, per quanto riguarda gli aspetti più formali, per ora non mi pronuncio. Soprattutto perché ho l'impressione che tu la stia complicando un po' troppo.

[austalopitechio]

Sì, era un "seguendo le pagine del mio (o meglio miei) libro non mi è chiaro un punto... poiché nessuno approfondisce questa distinzione che mi pare esserci di fondo". La distinzione mi è apparsa esistere da un accenno trovato su diverse pagine di wikipedia (voce autofunzione) e altri appunti di università spase.
Mettendo tutto assieme mi pareva come dici tu che: " Vero è che si potrebbe chiamare autostato lo stato fisico "astratto" e autofunzione una oppure tutte le sue rappresentazioni matematiche "concrete" ". Era proprio a questa distinizione che volevo giungere tra rappresentazione dello stato fisico in una certa base e stato fisico vero e proprio.

In particolare mi sembrava "a spanne" simile a quando accade nella A.L. classica, dove cambio basi e trovo quindi tramite il prodotto scalare proiezioni diverse che mi danno lo spazio delle componenti su questa o quell'altra base.

Per questo scrivevo:
se indico con |s> lo stato fisico astratto, con |p> gli autovettori di P e con $psi_p$ la proiezione di |p> sulla base |x>, allora i coefficianti posso trovarli in questi due modi $Phi(p)=\langle p | s \rangle = \langle psi_p | s \rangle $, così mi tornerebbe perché è come se stessi scrivendo p nella base delle posizioni (ψp(x))e proietto s su di esse, ma che di fatto è uguale a proiettarlo sul vettore |p> nudo e crudo. Ma è corretto? Non lo so.
******
Inoltre vorrei porti una seconda domanda: come si deduce questo Aδ(p−p1)

Aδ(p−p1) nella rappresentazione in cui p è diagonale

Più che complicarla, sono solo un po' confuso e volevo cercare di semplificarla
Il fatto è che non trovo una trattazione che mi aiuti e non so come districarmi

[Dracmaleontes]

Il fatto è semplice, essendoci una mappa biunivoca tra uno spazio di Hilbert e quello delle funzioni d'onda di fatto autostati ed autofunzioni sono la stessa cosa ma su spazi diversi

[austalopitechio]

Esattamente, quelllo volevo capire.
In modo naif è molto simile all'isomorfismo che crei quando scegli basi diverse in uno spazio vettoriale $RR^n$ per dire, dove ogni base crea un isomorfismo tra quello spazio e le componenti su un altro $RR^n$. Qui vale qualcosa del genere ma con coefficienti continui se non ho compreso male.
Per questo mi ostinavo a cercar di capire questo fatto

Per questo scrivevo:
se indico con |s> lo stato fisico astratto, con |p> gli autovettori di P e con $psi_p$ la proiezione di |p> sulla base |x>, allora i coefficianti posso trovarli in questi due modi $Phi(p)=\langle p | s \rangle = \langle psi_p | s \rangle $[nota]passatemi la bruttura $\langle psi_p |$ ma voglio solo dire che scompongo lo stato s nello spazio isomorfo delle componenti $\langle x|p \rangle= ψ_p(x)$; sarebbe probabilmente stato meglio riscrivere anche l'ultimo ket che ho chiamato |s> come: $\langle x|s \rangle$[/nota], così mi tornerebbe perché è come se stessi scrivendo p nella base delle posizioni (ψp(x))e proietto s su di esse, ma che di fatto è uguale a proiettarlo sul vettore |p> nudo e crudo. Ma è corretto? Non lo so.

Perché se così fosse confermerebbe tal visione della cosa.

Non capisco perché nei miei corsi di metodi non sia stato molto approfondito questo fatto, da qui i vari dubbi banalotti forse.

[Lampo1089]

Se posso, farei un paio di interventi per sollevare alcune questioni che potrebbero chiarire:
quando dici:

"austalopitechio":Cioè le \(\psi_p(x)\) soluzioni dell'equazione mi sembra la base dell'operatore impulso espressa nella base stessa dell'operatore impulso. Insomma, l'autostato stesso!

non è corretto. \(\psi_p(x)\) sono autofunzioni (generalizzate) dell'operatore impulso espresse nella base delle posizioni. Medita su questa analogia nel caso finito-dimensionale: gli autovettori di un operatore autoaggiunto (per cui l'insieme di autovettori forma una base dello spazio) espressi nella base degli autovettori stessi (e cioé i coefficienti delle loro combinazioni lineari) sono i vettori (1,0,0 ..., 0), (0,1,0.., 0), (0,0,0 ... , 1). Rozzamente parlando cosa simile accade nel continuo, dove eg gli autostati dell'operatore posizione \(X\) possono essere rappresentati, nella base dell'operatore stesso, come le distribuzioni \(\langle x | x'\rangle=\delta(x'-x)\)

Devo leggere per bene tutto il thread, ma inizio con questa questione abbastanza importante dal punto di vista del formalismo.

[austalopitechio]

@Lampo: ogni stimolo è ben accetto e ti ringrazio di conseguenza.

Sì, la discussione è un po' evoluta nel frattempo, ma mi sembra di essere andato in quella direzione. Se hai voglia di leggermi e fati un'idea ti ringrazio, ovviamente.

[Lampo1089]

D'altra parte se volessi scomporre sulla base della posizione un autostato ∣p> avrei la seguente autofunzione:

⟨x'∣p⟩=∫dx' tuttavia |x'> è la delta di dirac quindi posso riscriverlo come
∫δ(x−x')∣p>dx'=ψp(x')=Aei(ph)x'

[ma dato che: f(x)δ(x−x0)=f(x0)δ(x−x0)]

mi sembra che l'autostato |p> non sia altro che: |p>=Aei(ph)x la stessa funzione (dell'autofunzione) di fatto.

qua ci sono un po' di errori .. un misto di typos e di errori concettuali. Credo che l'equivoco nasce da qua:
Andiamo con ordine:
1) \(|p\rangle\) è l'autostato dell'operatore impulso tc \(\hat{P}|p> = p |p>\). Essendo un vettore astratto, è indipendente dalla base
2) ti chiedi quale sia la sua rappresentazione nella base delle coordinate, pertanto introducendo una risoluzione dell'identità hai che:
\[
|p\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}dx' |x'\rangle \langle x'| p\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}dx' |x'\rangle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{i p x'}
\]
ancora, questa è una uguaglianza tra vettori astratti - in cui a membro dx hai una "combinazione lineare" di autostati della posizione pesati per opportuni coefficienti. In questo senso, non è formalmente corretto dire che \(|p\rangle\) = exp(i p x) (vero è che sono fra loro in corrispondenza)

a questo punto le domande che sorgono sono:
1) qual è l'autostato dell'impulso \(|p>\) nella rappresentazione delle coordinate - che significa, qual è \(\psi_p(x) = \langle x | p \rangle\).
La risposta si trova facile facile dalla relazione precedente:
\[
\langle x|p\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}dx' \langle x |x'\rangle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{i p x'} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{i p x}
\]
2) ci si può chiedere quale sia la rappresentazione di \(|p\rangle\) nella base degli impulsi, cioé \(\langle p'|p\rangle\), passando per la via lunga ossia utilizzando la forma nota dell'autostato dell'impulso nella base delle posizioni:
\[
\langle p'|p\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} dx \psi_{p'}(x)^* \psi_{p}(x) =\int_{-\infty}^{+\infty} dx \frac{1}{2\pi} e^{i (p - p') x} = \delta(p - p')
\]
come da attese.
Credo che questo chiarisca meglio i tuoi dubbi, che nascono credo dalla confusione tra vettori astratti dello spazio degli stati fisici e le loro rappresentazioni - che sono sempre coefficienti dello sviluppo, vettori finito-dimensionali, infinito-dimensionali (successioni) o funzioni.

In soldoni, però, a parte qualche complicazione nei posts precedenti (ci stanno anche, studiando la materia), il concetto di fondo mi pare che tu l'abbia colto, si tratta solo di limare qualche dettaglio.

Per quanto riguarda i testi, il Sakurai "Modern Quantum mechanics" tratta la notazione di Dirac abbastanza bene - ovviamente non aspettarti una trattazione matematica rigorosa ma solo quanto basta per utilizzare il formalismo nelle applicazioni (tradotto: a meno che tu non voglia diventare un fisico teorico che lavora sui fondamenti della meccanica quantistica con una formazione prettamente matematica, non ti serve tanto altro di più anche per le applicazioni del formalismo quantistico alle teorie dei campi)

[austalopitechio]

Ti ringrazio molto, ora me lo leggo con calma ma da un primo sguardo questo post sembra tornarmi bene, quindi deduco che dopo le molte vie sbagliate di oggi ho imboccato quella giusta. Sarà utile a mettere bene ordine alle idee poterti leggere, ma voglio ragionarci con calma prima di cantar vittoria.
Solo per sicurezza sul passaggio che ho aggiunto:
$\langle p'|p\rangle =\int_{-\infty}^{+\infty} dx \langle p'|x\rangle \langle x|p\rangle= \int_{-\infty}^{+\infty} dx \psi_{p'}(x)^* \psi_{p}(x)$

Volevo chiederti nel frattempo, così se hai voglia e tempo di rispondere lo leggo dopo, se l'ultimo mio messaggio della pagina precedente (precisamente nel quote) è corretto. Cosa ne pensi?
Non sapevo bene come spiegarmi nell'ultima uguaglianza di quel messaggio ma spero si capisca.

Mille grazie!

PS:

tradotto: a meno che tu non voglia diventare un fisico teorico che lavora sui fondamenti della meccanica quantistica con una formazione prettamente matematica, non ti serve tanto altro di più anche per le applicazioni del formalismo quantistico alle teorie dei campi

non credo di essere abbastanza sveglio, mi accontenterei per ora di finire la triennale e capirci qualcosa
Quindi vada per il sakurai

[Lampo1089]

se indico con |s> lo stato fisico astratto, con |p> gli autovettori di P e con ψp la proiezione di |p> sulla base |x>, allora i coefficianti posso trovarli in questi due modi Φ(p)=⟨p∣s⟩=⟨ψp∣s⟩, così mi tornerebbe perché è come se stessi scrivendo p nella base delle posizioni (ψp(x))e proietto s su di esse, ma che di fatto è uguale a proiettarlo sul vettore |p> nudo e crudo. Ma è corretto? Non lo so.

capisco l'intento, ma non è corretto. Secondo me stai complicando troppo. Detto terra a terra, nel formalismo di Dirac:
1) gli stati fisici sono gli elementi di uno spazio vettoriale astratto, e il generico stato fisico è raggio di questo spazio. Gli elementi di questo spazio li chiami ket.
2) puoi costruire uno spazio duale a quello dei ket - e i suoi elementi li chiamiamo bra. L'azione di un bra su un ket fornisce un numero complesso, e questa azione ha proprietà identiche al prodotto hermitiano - azione lineare su ket, simmetria a meno di coniugio etc etc . Lo spazio dei bra, insomma, è lo spazio duale a quello dei kets - lo spazio dei funzionali lineari.
3) c'è una corrispondenza biunivoca tra un ket e un bra

non ha quindi senso proiettare un ket su una base formata da autofunzioni generalizzate dell'impulso nella rappresentazione delle coordinate (mi pare che sia questo che intendi). I ket li proietti sempre e solo su un bra.

Ovviamente, quello che tu intendi fare, ed è corretto farlo (edit: e, noto ora, hai fatto nel tuo ultimo post), è la seguente:
\[
\psi(p) = \langle p|s\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} dx \langle p| x \rangle\langle x|s\rangle
\]

che, a parole, tradurrei come: "\(\langle p|s\rangle\) può essere calcolato nella rappresentazione delle coordinate - dove lo spazio degli stati è (più o meno) L^2 (più correttamente, per includere autofunzioni generalizzate bisogna considerare il formalismo degli spazi di hilbert equipaggiati) - come prodotto hermitiano delle autofunzioni dell'impulso con autovalore p e s"

Semplicemente, introduci l'operatore identità scritto come somma continua di proiettori sugli autostati della posizione (che postuli completo), e tutto il resto viene da sé.

[austalopitechio]

Leggendo

\[
\psi(p) = \langle p|s\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} dx \langle p| x \rangle\langle x|s\rangle
\]

mi era venuto in mente proprio

Semplicemente, introduci l'operatore identità scritto come somma continua degli autostati della posizione (che postuli completo), e tutto il resto viene da sé.

il che mi rallegra.

Guarda, ti ringrazio molto per la pazienza avuta nel rendermi tutto più rigoroso e chiaro. Ci avevo messo tutto ieri a intuire le cose e ora le ho inquadrate meglio nelle tue poche ma limpide righe.
Non so davvero come ringraziarti!

[pegasu1]

Vorrei porre una domanda anche io:

La risposta si trova facile facile dalla relazione precedente:
\[
\langle x|p\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty}dx' \langle x |x'\rangle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{i p x'} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{i p x}
\]

Come posso mostrare coerentemente con la notazione usata che: $\langle x |x'\rangle$ è la delta di Dirac?

[austalopitechio]

Ci provo ma aspetta conferma o smentita di Lampo almeno XD

Abbiamo detto che: sia |s> il solito stato e sappiamo/indichiamo =ψ(x), dunque

|s>$=int dx |x> =int dx | x> psi(x)$

D'altra parte:

$psi(x)= \langle x | s \rangle= int dx' \langlex|x'\rangle \langlex'|s\rangle=int dx' \langlex|x'\rangle psi(x')$

Da cui l'esigenza di introdurre nel formalismo:

$intdx' \delta(x-x')psi(x')$

[Lampo1089]

Confermo

[pegasu1]

Grazie, mi è chiaro

[pegasu1]

[Disclaimer: la domanda non è del tutto legata alle precedenti, cioè si può rispondervi anche senza leggersi tutta la discussione (di cui ne fa parte), però la lascio qui per futuri lettori perché è una discussione completa sull'argomento e mi spaicerebbe separare questa parte]

Vorrei continuare la discussione con @Lampo1089 o con chiunque ne abbia voglia poiché mi trovo con un dubbio.


Spiego il mio dubbio sfruttando l'autostato dell'operatore impulso:

|p⟩ è l'autostato dell'operatore impulso tc P|p>=p|p>

che so essere a spettro continuo.

Ora, di solito dato un autostato |s> in notazione di Dirac scriviamo che: $|$ $s> =sum_(n=0)^oo c_n | alpha_n>$ (a) con $| alpha_n>$ autostato di un qualche operatore.

Lavorando nello spazio delle coordinate ho pochi problemi a scrivere

$P psi_p(x)=- i h d/(dx) psi_p(x)=ppsi_p(x)$

e dato che siamo nel continuo scrivo una qualunque $psi(x)$ come: $psi(x)=intPhi(p)psi_p(x)dp$ (b)

Però se voglio rappresentarlo nello spazio vettoriale astratto di cui parlava lampo:

1) gli stati fisici sono gli elementi di uno spazio vettoriale astratto, e il generico stato fisico è raggio di questo spazio. Gli elementi di questo spazio li chiami ket.

trovo un problema, poiché se volessi scrivere (b) come facevo in (a) avrei un problema di numerabile e non numerabile

$psi(x)=intPhi(p)psi_p(x)dp$ => $|$ $psi> =sum_(n=0)^oo c_n | p>$ e non va bene; anche perché a questo punto scrivendo $P|p> =p|p>$ avrei spettro discreto essendo |p> infinito numerabile.

Insomma, per farla breve, come si scrive con la notazione di dirac per lo spazio vettoriale astratto quello che nello spazio delle coordinate scriverei come $psi(x)=intPhi(p)psi_p(x)dp$?

Sono un po' confuso a riguardo


[EDIT]: forse ho risolto, vediamo se mi bacchettate o confermate

Nel contunuo dovrei scrivere: $|$ $ psi> = int |p> dp$

Il che sembra confermato anche dal fatto che:

$ = int dp int dx' =$

$intdp int dx' delta(x-x') dp =$

$int dp = int Phi(p) psi_p(x) dp$ voluto.
Ma è giusto?