Auto in curva Piana/Parabolica

[Flamber]

Ho trovato questo esercizio su un libro, sono riuscito a risolverlo (non ci sono particolari difficoltà), ma mi sono sorti diversi dubbi,dopo aver fatto alcune considerazioni.

"I) Un auto è in curva su una pista perfettamente circolare, il coefficiente di attrito statico è $\mu$ e il raggio della pista è $R$, determinare il valore massimo della velocità per il quale ci sia tenuta di strada, considerando che la velocità $v$ è costante in modulo.

II) Definita la velocità massima , determinare l'inclinazione $theta$ della strada, perchè si possa raggiungere la stessa velocità, ma senza bisogno di attrito tra le ruote e la strada. "



Numero i miei dubbi, non per pretendere che qualcuno mi dia una risposta a tutti, ma semplicemente per mettere un po' di ordine.

L'esercizio è abbatanza semplice, si ottiene che $v_(max)=sqrt(\murG)$ si può dimotrare velocemente considerando che l'accelerazione è solo centripeta.

1)Quello che mi chiedo è però, prima di arrivare a tale velocità, per una generica $v
Il punto II l'ho risolto, e non mi interessa particolarmente, tuttavia voglio fare una considerazione diversa

$\vecN=Ncos\theta\vecu_z-Nsin\theta\vecu_r$

$\veca=-v^2/R\vecu_r$

$m\vec(g)=-mg\vecu_z$

Quindi si ha:

$N=-(mg)/cos\theta$
$Nsin\theta=-mv^2/R$

le possibili variabili sono $N$, $\theta$, $m$, $v$, $R$

Quindi per risolvere le equazioni, almeno 3 di queste variabili devono essere fissate.

si ha che $v=sqrt(Rg tan\theta)$

Immaginiamo di conoscere $m$, $\theta$, ed $R$, la velocità permessa è solo 1, l'auto non può muoversi a velocità superiore per rimanere su tale traiettoria, con tale inclinazione?

Ma generalizzamo un po' ed arriviamo a considerare una pista parabolica con attrito, e quindi si ha:

$N=-(mg)/cos\theta$
$Nsin\theta+\muN=-mv^2/R$

quindi $v=sqrt(Rg (tantheta+\mu/cos\theta))$

2) Questa è la velocità massima, nel caso di una curva parabolica, con attrito, ma quale è la velocità minima? ma c'è anche una velocità minima per poter rimanere sulla traiettoria, o una velocità esatta come nel caso senza attito?
Quale è l'espressione della forza di attrito?

[Flamber]

devo aver fatto un errore di segno, scusatemi, ma il dubbio rimane comunque

[mathbells]

"Flamber":uello che mi chiedo è però, prima di arrivare a tale velocità, per una generica v

Sì, per ogni valore della velocità, la forza di attrito è esattamente quella sufficiente (e necessaria) per mantenere l'auto su una traiettoria circolare con quel raggio ed a quella velocità.

"Flamber":l'auto non può muoversi a velocità superiore per rimanere su tale traiettoria, con tale inclinazione?

No, la velocità consentita è solo quella.

"Flamber":Ma generalizzamo un po' ed arriviamo a considerare una pista parabolica con attrito, e quindi si ha:

mi sa che c'è un errore... Devi scomporre anche la forza di attrito e prendere solo la componente orizzontale. A parte ciò, devi tenere presente che l'attrito statico può essere orientato in entrambe i versi lungo la direzione parallela all'asfalto ed il suo modulo può variare tra zero e il valore massimo dato da $\mu N$. Il valore minimo della velocità lo ottieni considerando l'attrito quando esso è orientato verso l'esterno della curva ed il suo modulo è il massimo consentito dal fatto di non avere un radicando negativo e dal limite naturale $\mu N$. Scusa se sono poco chiaro ma ora non ho tempo di scriver ela formula. Prova a rifare i conti in generale considerando una generica componente orizzontale dell'attrito statico (senza fissarne il segno!) e vedrai che ti si chiarirà tutto.

[Flamber]

ok, quindi devo considerare solo la componente orizzontale dell'attrito.

Se quando puoi fossi così disponbile da aiutarmi con la velocità minima e la velocità massima, ti sarei davvero grato. Immagino tuttavia che la velocità minima sia quella con l'attrito nullo, mentre quella massima sia quella con l'attrinto nel suo valore massimo.

Grazie di tutto!