Attrito viscoso per un corpo sferico in moto in un fluido
Salve, siamo due studenti di ingegneria. Stiamo affrontando il problema della modellazione dinamica di un veicolo subacqueo. Il nostro è di forma sferica, pertanto è soggetto ad una forza resistente dovuta all'attrito viscoso data da $F_a = -kv$, dove $k = 6 \pi r \eta$ (caso della sfera). Inoltre sarà sottoposto anche ad un momento resistente, della forma $M_a = -\beta \omega$. Potreste indicarci come calcolare il valore del coefficiente $\beta$ (o dove trovare espressioni approssimate, valori, tabelle ecc)?
Risposte
se la resistenza è di quel tipo mi sa che deve essere un sommergibile per formiche 
Infatti non è un sommergibile. E' un ROV (Remotely Operated Vehicle), che opera sott'acqua a basse velocità (moto laminare del fluido intorno all'oggetto), da qui la conclusione di considerare il solo attrito proporzionale alla velocità e non la resistenza proporzionale al quadrato della velocità (per questo tipo di veicoli il risultato è noto). Siamo riusciti a reperire che nel caso di una sfera $k = 6 \pi \eta r$, come già detto prima. Vorremmo sapere il valore di $\beta$, sempre nel caso della sfera, che credo sia il più classico possibile.
Si tratta di un veicolo di forma sferica di 0.2m di raggio che si muove a velocità inferiore a 3m/s, quindi la forza resistente esercitata dal fluido è esprimibile in quella forma. Poi dentro ci possono pure stare le formiche... Non ci interessa cosa c'è dentro... A parte gli spiritosi, c'è qualcuno che ci può dirci qualcosa di UTILE? Grazie a tutti.
"...ci può dirci..."?? Mmm... Scusate: "può dirci" o "ci può dire"..
Premetto che di attrito viscoso non so una cippa.
Con questa bella premessa vi potete fidare di me no?
Allora mi lancio allo sbaraglio tentando di ricavare il parametro $\beta$ richiesto.
Faccio l'ipotesi che l'attrito viscoso produca una forza tangente alla superficie e proporzionale alla velocità. Dunque per una superficie infinitesima questa forza (frenante) sarà (in modulo):
$dF = kvdS$
dove k è un parametro opportuno da ricavare.
Di conseguenza se io immagino una sfera che avanza in un fluido, attorno all'asse di avanzamento posso immaginare tanti anelli superficiali di spessore infinitesimo, tali da coprire l'intera superficie per l'angolo al centro $\theta$ variabile da 0 a $\pi$.
Allora la resistenza globale all'avanzamento dovrebbe essere:
$F = \int_0^\pi k\frac{v}{\sin \theta }2\pi R\sin \theta d\theta = 2\pi ^2Rkv$
Ma siccome mi avete detto che $ F= 6\pi R\eta v$ dall'uguaglianza delle due espressioni ricavo
$k = \frac{3\eta }{\pi }$
Passiamo al momento frenante di una sfera che gira attorno al suo asse.
$dM = R\sin \theta dF = R\sin \theta \cdot 2\pi R\sin \theta d\theta \cdot kv = R\sin \theta \cdot 2\pi R\sin \theta d\theta \cdot k\omega R\sin \theta$
$dM = 2\pi k\omega R^3\sin ^3\theta d\theta $
$M = 2\pi k\omega R^3\int_0^\pi \sin ^3\theta d\theta $
Conoscendo l'integrale
$\int \sin ^3\theta d\theta = - \frac{3}{4}\cos \theta + \frac{\cos 3\theta }{12}$
ricavo
$M = 8\eta R^3\omega $
ovvero
$\beta = 8\eta R^3$
(naturalmente salvo errori di qualsiasi genere).
Cari studenti di ingegneria, poiché questa dimostrazione l'ho inventata io qui adesso di sana pianta, anche se vi autorizzo a utilizzarla rinunciando al mio copyright non mi assumo però alcuna responsabilità nel caso in cui il vostro prof. vi cacciasse a pedate.
Saluti cordiali
Con questa bella premessa vi potete fidare di me no?
Allora mi lancio allo sbaraglio tentando di ricavare il parametro $\beta$ richiesto.
Faccio l'ipotesi che l'attrito viscoso produca una forza tangente alla superficie e proporzionale alla velocità. Dunque per una superficie infinitesima questa forza (frenante) sarà (in modulo):
$dF = kvdS$
dove k è un parametro opportuno da ricavare.
Di conseguenza se io immagino una sfera che avanza in un fluido, attorno all'asse di avanzamento posso immaginare tanti anelli superficiali di spessore infinitesimo, tali da coprire l'intera superficie per l'angolo al centro $\theta$ variabile da 0 a $\pi$.
Allora la resistenza globale all'avanzamento dovrebbe essere:
$F = \int_0^\pi k\frac{v}{\sin \theta }2\pi R\sin \theta d\theta = 2\pi ^2Rkv$
Ma siccome mi avete detto che $ F= 6\pi R\eta v$ dall'uguaglianza delle due espressioni ricavo
$k = \frac{3\eta }{\pi }$
Passiamo al momento frenante di una sfera che gira attorno al suo asse.
$dM = R\sin \theta dF = R\sin \theta \cdot 2\pi R\sin \theta d\theta \cdot kv = R\sin \theta \cdot 2\pi R\sin \theta d\theta \cdot k\omega R\sin \theta$
$dM = 2\pi k\omega R^3\sin ^3\theta d\theta $
$M = 2\pi k\omega R^3\int_0^\pi \sin ^3\theta d\theta $
Conoscendo l'integrale
$\int \sin ^3\theta d\theta = - \frac{3}{4}\cos \theta + \frac{\cos 3\theta }{12}$
ricavo
$M = 8\eta R^3\omega $
ovvero
$\beta = 8\eta R^3$
(naturalmente salvo errori di qualsiasi genere).
Cari studenti di ingegneria, poiché questa dimostrazione l'ho inventata io qui adesso di sana pianta, anche se vi autorizzo a utilizzarla rinunciando al mio copyright non mi assumo però alcuna responsabilità nel caso in cui il vostro prof. vi cacciasse a pedate.
Saluti cordiali
Falco,
il tuo ragionamento è interessante.... peccato che parti da un'ipotesi non corretta: la resistenza del fluido in termini di sforzo di taglio sul corpo non è proporzionale alla velocità ma al gradiente della velocità, questo almeno per la maggior parte dei fluidi, i cosiddetti newtoniani. Il rapporto tra lo sforzo di taglio e il gradiente di velocità del fluido alla parete (calcolato in direzione normale alla parete) è proprio la cosiddetta viscosità dinamica del fluido.
Inoltre a parete la velocità del fluido è sempre uguale a quella della, in questo caso, sfera (la cosiddetta ipotesi di aderenza,verificata sperimentalmente).
Per quanto riguarda la domanda iniziale, non credo esista una relazione semplice che permetta il calcolo del momento resistente, dato che questo dipende in maniera essenziale del campo di moto che si sviluppa intorno alla sfera è che è influenzato a sua volta dal moto stesso della sfera (considerate poi che se la sfera ruota si sviluppa anche un effetto Magnus). Esistono varie trattazioni invece che permettono di scrivere un'equazione differenziale integrabile numericamente per il moto del centro di massa di una sfera in un fluido (quindi senza calcolare esplicitamente la rotazione della sfera attorno al proprio centro di massa).
Date magari un'occhiata qui nel capitolo 3 c'è un riassunto di tutte le forze agenti su una sferetta.
Per il drag se le velocità sono basse e/o la sferetta molto piccola e/o il fluido molto viscoso potete mantenere la legge di Stokes.
il tuo ragionamento è interessante.... peccato che parti da un'ipotesi non corretta: la resistenza del fluido in termini di sforzo di taglio sul corpo non è proporzionale alla velocità ma al gradiente della velocità, questo almeno per la maggior parte dei fluidi, i cosiddetti newtoniani. Il rapporto tra lo sforzo di taglio e il gradiente di velocità del fluido alla parete (calcolato in direzione normale alla parete) è proprio la cosiddetta viscosità dinamica del fluido.
Inoltre a parete la velocità del fluido è sempre uguale a quella della, in questo caso, sfera (la cosiddetta ipotesi di aderenza,verificata sperimentalmente).
Per quanto riguarda la domanda iniziale, non credo esista una relazione semplice che permetta il calcolo del momento resistente, dato che questo dipende in maniera essenziale del campo di moto che si sviluppa intorno alla sfera è che è influenzato a sua volta dal moto stesso della sfera (considerate poi che se la sfera ruota si sviluppa anche un effetto Magnus). Esistono varie trattazioni invece che permettono di scrivere un'equazione differenziale integrabile numericamente per il moto del centro di massa di una sfera in un fluido (quindi senza calcolare esplicitamente la rotazione della sfera attorno al proprio centro di massa).
Date magari un'occhiata qui nel capitolo 3 c'è un riassunto di tutte le forze agenti su una sferetta.
Per il drag se le velocità sono basse e/o la sferetta molto piccola e/o il fluido molto viscoso potete mantenere la legge di Stokes.
"Faussone":
Falco,
il tuo ragionamento è interessante.... peccato che parti da un'ipotesi non corretta: la resistenza del fluido in termini di sforzo di taglio sul corpo non è proporzionale alla velocità ma al gradiente della velocità, questo almeno per la maggior parte dei fluidi, i cosiddetti newtoniani. Il rapporto tra lo sforzo di taglio e il gradiente di velocità del fluido alla parete (calcolato in direzione normale alla parete) è proprio la cosiddetta viscosità dinamica del fluido.
Inoltre a parete la velocità del fluido è sempre uguale a quella della, in questo caso, sfera (la cosiddetta ipotesi di aderenza,verificata sperimentalmente).
Hai sicuramente ragione, però il mio ragionamento andava anche un pelo più in là (poco...).
Pur ribadendo che sull'argomento so poco o nulla, la questione del gradiente l'avevo letta ma in questo caso non avrei saputo come applicarla non essendo noto questo gradiente. Allora ho fatto l'ipotesi che hai visto, la quale mi pareva abbastanza plausibile e spiego perché.
Infatti scrivendo
[tex]dF = kvdS[/tex]
e sapendo la relazione tra forza specifica e gradiente, posta h la coordinata ortogonale alla parete che scorre nel fluido posso scrivere così
[tex]\frac{dF}{dS} = - \eta \frac{dv}{dh}[/tex]
confrontando le due relazioni e integrando ottengo
[tex]v\left( h \right) = {v_0}{e^{ - \frac{k}{\eta }h}}[/tex]
cioè la velocità del fluido si stratifica lungo l'ascissa h come un esponenziale decrescente a partire dalla velocità della superficie che scorre. Non mi pareva un brutto modello, per questo ho creduto opportuno utilizzare la relazione di proporzionalità k tra la resistenza specifica e la velocità. D'altra parte siccome anche nella premessa si dice che la reistenza all'avanzamento della sfera è proporzionale alla sua velocità, le due cose mi pareva collimassero.
Comunque, ripeto, non ne so nulla e mi arrampico sugli specchi.
Se i ragazzi vogliono utilizzare qualche idea che ho buttato giù possono farlo, altrimenti possono anche lasciar perdere.
Non credo che le tue formule siano corrette sebbene quel campo di velocità che si ottiene con la tua ipotesi a prima vista sembri plausibile, ma non è corretto però.
Infatti come puoi verificare non coincide con il campo di velocità che otterresti da un flusso alla Stokes attorno alla sfera.
Oltretutto dal tuo risultato sembra che il moto del fluido dipenda solo dalla distanza dalla sfera cosa che anche intuitivamente non è verosimile.
Il flusso alla Stokes per la sfera è calcolabile in maniera analitica integrando le equazioni di Navier Stokes considerando il flusso molto viscoso quindi buttando via i cosiddetti termini di avvezione del tipo
$u_j (\partial u_i)/(\partial x_j)$.
Dal campo di velocità si può calcolare poi la forza sulla sfera che dà appunto quel coefficiente di resistenza pari a $6 pi R eta$.
Tu hai fatto un'ipotesi molto forte che è quella di considerare lo sforzo di taglio costante e proporzionale direttamente alla velocità $v$ della sfera.
Questo non ha senso perché lo sforzo di taglio in realtà dipende dal moto attorno alla sfera che è, anche nel caso di flusso di Stokes, dipendente dalla posizione.Insomma non è plausibile scrivere $tau=((dF)/(ds))=kv$ perchè quello sforzo è funzione della posizione.
Infatti come puoi verificare non coincide con il campo di velocità che otterresti da un flusso alla Stokes attorno alla sfera.
Oltretutto dal tuo risultato sembra che il moto del fluido dipenda solo dalla distanza dalla sfera cosa che anche intuitivamente non è verosimile.
Il flusso alla Stokes per la sfera è calcolabile in maniera analitica integrando le equazioni di Navier Stokes considerando il flusso molto viscoso quindi buttando via i cosiddetti termini di avvezione del tipo
$u_j (\partial u_i)/(\partial x_j)$.
Dal campo di velocità si può calcolare poi la forza sulla sfera che dà appunto quel coefficiente di resistenza pari a $6 pi R eta$.
Tu hai fatto un'ipotesi molto forte che è quella di considerare lo sforzo di taglio costante e proporzionale direttamente alla velocità $v$ della sfera.
Questo non ha senso perché lo sforzo di taglio in realtà dipende dal moto attorno alla sfera che è, anche nel caso di flusso di Stokes, dipendente dalla posizione.Insomma non è plausibile scrivere $tau=((dF)/(ds))=kv$ perchè quello sforzo è funzione della posizione.
"Faussone":
...
Tutto vero. Ho usato delle ipotesi deboli e troppo semplicistiche.
Però se mi chiedono con una pistola alla tempia di fare un'ipotesi veloce su quel $\beta$ io la risposta l'ho data.
Sempre meglio che farsi sparare...
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