Attrito in curva sopraelevata
Abbiamo una strada in curva sopraelevata lateralmente di un certo angolo $\alpha$. Se $\mu$ è il coefficiente di attrito statico tra le ruote e l'asfalto e $r$ è il raggio di curvatura, qual è la massima velocità $v$ scalare affinchè un'automobile di massa $m$, schematizzata come punto materiale, percorra la curva senza slittare?
Vi allego il diagramma delle forze che ho intuito, al seguente link, nel quale ho disegnato l'auto e la curva viste frontalmente:
http://i57.tinypic.com/2e6h4yh.jpg
dove $\vec A$ è la forza di attrito statico e $\vec N$ la reazione vincolare normale del piano
Io ho proiettato tutte le forze in gioco su quello che ho chiamato versore centripeto, diretto verso il centro della curva, e ho imposto che il modulo della forza risultante lungo tale direzione deve essere uguale al modulo della forza centripeta:
$Acos\alpha + Nsin\alpha = F_c rArr $
$\muNcos\alpha + mgcos\alphasin\alpha = m (v^2)/(r) rArr $
$\mumgcos^2\alpha + mgcos\alphasin\alpha = m (v^2)/(r)$
da cui posso ricavarmi $v$.
L'equazione è corretta? Io ho due dubbi riguardanti l'attrito. Dove agisce il vettore attrito? Dovrebbe essere opposto al moto, ma sugli esempi del libro (auto che percorre una curva piana) è rivolto verso il centro della curva. Perchè? E poi, perchè si tratta di attrito statico e non dinamico?
Vi allego il diagramma delle forze che ho intuito, al seguente link, nel quale ho disegnato l'auto e la curva viste frontalmente:
http://i57.tinypic.com/2e6h4yh.jpg
dove $\vec A$ è la forza di attrito statico e $\vec N$ la reazione vincolare normale del piano
Io ho proiettato tutte le forze in gioco su quello che ho chiamato versore centripeto, diretto verso il centro della curva, e ho imposto che il modulo della forza risultante lungo tale direzione deve essere uguale al modulo della forza centripeta:
$Acos\alpha + Nsin\alpha = F_c rArr $
$\muNcos\alpha + mgcos\alphasin\alpha = m (v^2)/(r) rArr $
$\mumgcos^2\alpha + mgcos\alphasin\alpha = m (v^2)/(r)$
da cui posso ricavarmi $v$.
L'equazione è corretta? Io ho due dubbi riguardanti l'attrito. Dove agisce il vettore attrito? Dovrebbe essere opposto al moto, ma sugli esempi del libro (auto che percorre una curva piana) è rivolto verso il centro della curva. Perchè? E poi, perchè si tratta di attrito statico e non dinamico?
Risposte
Agisce esattamente come l'hai messo in figura. Perche agisce contro lo scivolamento, cioe' si oppone al moto relativo tra le 2 superifici. Siccome la macchina scivolerebbe lungo il piano, agisce in quella direzione che hai descritto tu.
Pero' le equazioni, a naso, mi sembrano sbagliate: non c'e' in genere in questi esercizi il prodotto sin x cos, normalmente e tutto cos o tutto sin.
Riguardale.
Pero' le equazioni, a naso, mi sembrano sbagliate: non c'e' in genere in questi esercizi il prodotto sin x cos, normalmente e tutto cos o tutto sin.
Riguardale.
Ma se l'attrito si oppone allo scivolamento, non si dovrebbe avere, come in ogni caso di piano inclinato, verso l'alto? E nel caso di curva piana, perchè l'attrito agisce sempre verso il centro della curva?
Comunque non so cosa ho potuto sbagliare, ho scritto $N = mgcos\alpha$ e $A = mg\mucos\alpha$, confermi?
Comunque non so cosa ho potuto sbagliare, ho scritto $N = mgcos\alpha$ e $A = mg\mucos\alpha$, confermi?
Scusate, c'è qualcuno che saprebbe chiarire i miei dubbi?
Allora, nel caso di piano inclinato, l'attrito e' diretto parallelamente al piano verso l'alto, perche il corpo tende a scivolare verso il basso (lo spostamento relativo e' verso il basso, se prendi come riferimento il blocco).
Qui il corpo se non ci fosse attrito, tenderebbe (oltre un certo valore di velocita' in curva) a scivolare verso l'alto.
In altre parole:
Esiste un valore limite di "velocita' in curva": per questo valore, la macchina non si sposta relativamente al piano (non va ne' giu' su'). Al di sotto di questa velocita, la forza centrifuga non e' sufficiente a contrastare la forza peso, quinfi la macchina tende a scivolare verso il basso (e l'attrito e' rivolto verso l'alto, come in un normale esercizio su piano inclinato)). Al di sopra di questo valore di velocita', il corpo tende a salire (e' l'attrito e rivolto verso il basso).
Le equazioni sono:
Prendendo il riferimento con un asse lungo il piano inclinato el'altro ortogonale
Equaioni di equilibrio lungo l asse parallelo:
\( A-m\frac{v^2}{R}cos\vartheta+mgsin\vartheta=0 \) [La risultante di tutte le forze agenti fa in modo che non ci sia movimento relativo tra macchina e piano, la macchina entra in una corsia e ci resta]
\( N-mgcos\vartheta-m\frac{v^2}{R}sin\vartheta=0 \) [la macchina non si distacca dal manto stradale]
\( A=\mu\ N \)
Risolvi e trovi $v$.
A parita' di $mu$, al di sotto di $v$ trovato, la macchina scivola verso il basso (la forza centrifuga e' l'attrito non ce la fanno a contrastare il peso della macchina diretto lungo il piano inclinato.
Al di sopra di $v$, la macchina tende a risalire: la forza d'attrito e il peso della macchina (diretto lungo il piano) non ce la fanno a contrastare la forza centrifuga.
ciao
Qui il corpo se non ci fosse attrito, tenderebbe (oltre un certo valore di velocita' in curva) a scivolare verso l'alto.
In altre parole:
Esiste un valore limite di "velocita' in curva": per questo valore, la macchina non si sposta relativamente al piano (non va ne' giu' su'). Al di sotto di questa velocita, la forza centrifuga non e' sufficiente a contrastare la forza peso, quinfi la macchina tende a scivolare verso il basso (e l'attrito e' rivolto verso l'alto, come in un normale esercizio su piano inclinato)). Al di sopra di questo valore di velocita', il corpo tende a salire (e' l'attrito e rivolto verso il basso).
Le equazioni sono:
Prendendo il riferimento con un asse lungo il piano inclinato el'altro ortogonale
Equaioni di equilibrio lungo l asse parallelo:
\( A-m\frac{v^2}{R}cos\vartheta+mgsin\vartheta=0 \) [La risultante di tutte le forze agenti fa in modo che non ci sia movimento relativo tra macchina e piano, la macchina entra in una corsia e ci resta]
\( N-mgcos\vartheta-m\frac{v^2}{R}sin\vartheta=0 \) [la macchina non si distacca dal manto stradale]
\( A=\mu\ N \)
Risolvi e trovi $v$.
A parita' di $mu$, al di sotto di $v$ trovato, la macchina scivola verso il basso (la forza centrifuga e' l'attrito non ce la fanno a contrastare il peso della macchina diretto lungo il piano inclinato.
Al di sopra di $v$, la macchina tende a risalire: la forza d'attrito e il peso della macchina (diretto lungo il piano) non ce la fanno a contrastare la forza centrifuga.
ciao
Ottimo, grazie mille, ma c'è ancora un dubbio che mi è sorto leggendo la tua risposta. Parli di forza centrifuga, ma nell'esercizio (tratto dal capitolo sui sistemi inerziali) si suppone che il tutto sia visto da un sistema di riferimento inerziale... e visto da un sistema di riferimento inerziale la forza centrifuga non dovrebbe esistere, no?
E' la stessa cosa, a volte e' piu intuitivo parlare di forza centrifuga.
In pratica e' l'attrito a determinare la forza centripeta.
Quindi in SdR nerziale l'equazione si scrive \( A+mgsin\vartheta=mv^2/R \) cioe' la somma delle forza VERE agenti sul corpo ne danno l'accelerazione.
E' esattamente la stessa equazione del sistema non inerziale.
In pratica e' l'attrito a determinare la forza centripeta.
Quindi in SdR nerziale l'equazione si scrive \( A+mgsin\vartheta=mv^2/R \) cioe' la somma delle forza VERE agenti sul corpo ne danno l'accelerazione.
E' esattamente la stessa equazione del sistema non inerziale.
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