Attrito. Esercizio.
Un punto materiale $P$ si muove lungo una linea retta scabra (coefficiente di attrito $mu_s$) e posta in un piano orizzontale ($=$ trascurate la forza peso). Il punto è legato da una molla di costante elastica $k$, ad un punto fisso $O$, posto a distanza $d$ dalla retta. Il punto si trova in equilibrio nel punto della retta a minima distanza da $O$. SI chiede di determinare il massimo spostamento $Delta$ dalla posizione iniziale che sia ancora in equilibrio e verificare che è indipendente da $k$.
Non sto riuscendo ad inquadrare un ragionamento da fare !
Help.
Non sto riuscendo ad inquadrare un ragionamento da fare !
Help.
Risposte
La molla esercita una forza sul punto P, che ha una componente tangenziale e una componente normale alla retta. Il rapporto tra le due componenti dipende dallo spostamento delta, e se la posizione di P deve essere stabile questo rapporto al massimo può essere uguale al coefficiente d'attrito, indipendentemente dal valore della forza. Dunque....
Ho fatto il diagramma delle forze:
Falco5x Dite che è corretto?
Se devo esprimerlo in formule si ha:
$P_(t a n g) = P_y $
$P_(N o r m) = P_x$
Dove:
$P_y = P * sen 270 = -P$
$P_x = P cos 180 = -P$
Ma penso che in questo caso conviene nominare l'angolo che si crea in quel triangolo rettangolo che si vede nel disegno, con il nome $Alpha$, qundi:
$P_(t a n g) = (P'-P)* sen alpha$
$P_(N o r m) = (P' - P)* cos alpha $
$Delta = (P' - P)$
Il coefficiente di attrito è per definizione dato dal rapporto tra la forza tangenziale e la forza normale,
$(P_(t a n g))/(P_(N o r m)) = (P_y mu_s)/(P_x) = ((P'-P)* sen alpha )/((P' - P)* cos alpha) = tan alpha$
Ma essendo in un caso statico, si ha che il coefficiente di attrito agisce solo sulla componente tangente e sappiamo che il caso se è statico vuol dire che è fermo e quindi le condizioni che si stanno per studiare si trovano in condizioni di massima forza applicabile prima che si comincino a spostare.
Per cui si ha:
$(P_(t a n g)) <= mu_s (P_(N o r m))$
e se :
$(P_(t a n g))/(P_(N o r m)) = tan alpha$
si ha:
$tan alpha <= mu_s$
Scusami, ho fatto il possibile per replicare in formule quello che hai detto, solo che non sono sicuro se ho dimostrato quello che volevi dire?
Tu hai detto questto:
Dici che io sono stato soddisfacente a dimostrare le tue parole?
Falco5x Dite che è corretto?
Se devo esprimerlo in formule si ha:
$P_(t a n g) = P_y $
$P_(N o r m) = P_x$
Dove:
$P_y = P * sen 270 = -P$
$P_x = P cos 180 = -P$
Ma penso che in questo caso conviene nominare l'angolo che si crea in quel triangolo rettangolo che si vede nel disegno, con il nome $Alpha$, qundi:
$P_(t a n g) = (P'-P)* sen alpha$
$P_(N o r m) = (P' - P)* cos alpha $
$Delta = (P' - P)$
Il coefficiente di attrito è per definizione dato dal rapporto tra la forza tangenziale e la forza normale,
$(P_(t a n g))/(P_(N o r m)) = (P_y mu_s)/(P_x) = ((P'-P)* sen alpha )/((P' - P)* cos alpha) = tan alpha$
Ma essendo in un caso statico, si ha che il coefficiente di attrito agisce solo sulla componente tangente e sappiamo che il caso se è statico vuol dire che è fermo e quindi le condizioni che si stanno per studiare si trovano in condizioni di massima forza applicabile prima che si comincino a spostare.
Per cui si ha:
$(P_(t a n g)) <= mu_s (P_(N o r m))$
e se :
$(P_(t a n g))/(P_(N o r m)) = tan alpha$
si ha:
$tan alpha <= mu_s$
Scusami, ho fatto il possibile per replicare in formule quello che hai detto, solo che non sono sicuro se ho dimostrato quello che volevi dire?
Tu hai detto questto:
"Falco5x":
La molla esercita una forza sul punto P, che ha una componente tangenziale e una componente normale alla retta. Il rapporto tra le due componenti dipende dallo spostamento delta, e se la posizione di P deve essere stabile questo rapporto al massimo può essere uguale al coefficiente d'attrito, indipendentemente dal valore della forza. Dunque....
Dici che io sono stato soddisfacente a dimostrare le tue parole?
La dimostrazione è un po' confusa, anche se alla fine pare esserci qualcosa di giusto, e poi il problema chiedeva di determinare Delta in funzione della distanza d., ma nella tua risposta non vedo questo Delta in funzione di d.
In base alle lettere dei punti che ho dato nel disegno, a me sembra che la soluzione sia questa:
$(P' - O) = sqrt((P-O)^2 +(P' -P)^2)$
Sapendo che $ Delta = P' - P$ e che $d = P-O$, si ha:
$(P' -P) = sqrt((P'-O)^2 -(P-O)^2)$
Cioe'
$Delta = sqrt((P'-O)^2-d^2)$
Dici che va bene adesso? Penso sia corretta ed in effetti e' indipendente da $k$.
Cosa ne dici?
$(P' - O) = sqrt((P-O)^2 +(P' -P)^2)$
Sapendo che $ Delta = P' - P$ e che $d = P-O$, si ha:
$(P' -P) = sqrt((P'-O)^2 -(P-O)^2)$
Cioe'
$Delta = sqrt((P'-O)^2-d^2)$
Dici che va bene adesso? Penso sia corretta ed in effetti e' indipendente da $k$.
Cosa ne dici?
Spero sia chiaro che sto cercando di portarti a dare la soluzione, piuttosto che dartela io, solo per scopi didattici, non perché io voglia fare il rompiscatole eh!
Allora in tale ottica noto che hai detto bene riguardo al Delta, però ancora la soluzione non c'è.
Infatti se leggi cosa chiede il problema, la risposta deve comprendere, d, Delta e il coefficiente d'attrito, cioè deve essere espressa in forma di funzione del tipo:
[tex]\displaystyle \Delta \le f\left( {d,{\mu _a}} \right)[/tex]
Allora in tale ottica noto che hai detto bene riguardo al Delta, però ancora la soluzione non c'è.
Infatti se leggi cosa chiede il problema, la risposta deve comprendere, d, Delta e il coefficiente d'attrito, cioè deve essere espressa in forma di funzione del tipo:
[tex]\displaystyle \Delta \le f\left( {d,{\mu _a}} \right)[/tex]
Scusami, ma non riesco a capire come arrivare alla soluzione !
Sarà pure banale, ma non sto riuscendo a trovare la risposta corretta.
Puoi per favore aiutarmi a capire?
Nel mio testo c'è la spiegazione del caso statico mediante la relazioni di Coulomb-Morin che mi dice quanto segue:
$|F_s| <= mu_s * |F_N| $
Ma quello che viene chiesto in questo esercizio non viene menzionato!
L'unica cosa che riuscirei a dire e che se è:
$|F_s| <= mu_s * |F_N| $
allora
$|- k Delta| <= mu_s * |-k (P-O)| $
semplificando si ha che "sempre con valori positivi dovuti al valore assoluto":
$Delta <= mu_s * (P-O) $
che può essere scritta come:
$Delta <= mu_s * d $
Dici che è corretto?
Help!
Sarà pure banale, ma non sto riuscendo a trovare la risposta corretta.
Puoi per favore aiutarmi a capire?
Nel mio testo c'è la spiegazione del caso statico mediante la relazioni di Coulomb-Morin che mi dice quanto segue:
$|F_s| <= mu_s * |F_N| $
Ma quello che viene chiesto in questo esercizio non viene menzionato!
L'unica cosa che riuscirei a dire e che se è:
$|F_s| <= mu_s * |F_N| $
allora
$|- k Delta| <= mu_s * |-k (P-O)| $
semplificando si ha che "sempre con valori positivi dovuti al valore assoluto":
$Delta <= mu_s * (P-O) $
che può essere scritta come:
$Delta <= mu_s * d $
Dici che è corretto?
Help!
Alla fine ci sei arrivato, però è il processo logico per arrivarci quello in cui fai un po' di confusione.
Quando si fa una dimostrazione è necessario procedere per passi logici consequenziali legati l'uno all'altro, è questo che fa la differenza tra prendere 22/30 o 28/30 a un esame, anche se in entrambi i casi la soluzione è corretta.
Adesso ti mostro come la farei io la dimostrazione.
La molla tira sul punto P con una forza [tex]F[/tex]
Per il momento dimentichiamoci che è proporzionale all'allungamento tramite il fattore k, diciamo che è una forza e basta.
La condizione di non scivolamento dice che deve essere [tex]{F_T} \le \mu {F_N}[/tex].
Allora occorre determinare le due componenti.
Ma queste si deducono facilmente da F conoscendo l'angolo che la molla fa nel punto O con l'orizzontale, ovvero posso scrivere:
[tex]\displaystyle \begin{array}{l}
{F_T} = F\sin \alpha \\
{F_N} = F\cos \alpha \\
\end{array}[/tex]
Ponendo queste componenti nella relazione di disuguaglianza ottengo
[tex]\displaystyle F\sin \alpha \le \mu F\cos \alpha[/tex]
Adesso passo a considerazioni geometriche sui segmenti e noto che:
[tex]\displaystyle \begin{array}{l}
\sin \alpha = \frac{\Delta }{{\overline {P'O} }} \\
\cos \alpha = \frac{d}{{\overline {P'O} }} \\
\end{array}[/tex]
Riprendo la disuguaglianza e sostituisco il seno e coseno con quanto appena trovato:
[tex]\displaystyle F\frac{\Delta }{{\overline {P'O} }} \le \mu F\frac{d}{{\overline {P'O} }}[/tex]
Da cui semplificando
[tex]\displaystyle \Delta \le \mu d[/tex]
Quando si fa una dimostrazione è necessario procedere per passi logici consequenziali legati l'uno all'altro, è questo che fa la differenza tra prendere 22/30 o 28/30 a un esame, anche se in entrambi i casi la soluzione è corretta.
Adesso ti mostro come la farei io la dimostrazione.
La molla tira sul punto P con una forza [tex]F[/tex]
Per il momento dimentichiamoci che è proporzionale all'allungamento tramite il fattore k, diciamo che è una forza e basta.
La condizione di non scivolamento dice che deve essere [tex]{F_T} \le \mu {F_N}[/tex].
Allora occorre determinare le due componenti.
Ma queste si deducono facilmente da F conoscendo l'angolo che la molla fa nel punto O con l'orizzontale, ovvero posso scrivere:
[tex]\displaystyle \begin{array}{l}
{F_T} = F\sin \alpha \\
{F_N} = F\cos \alpha \\
\end{array}[/tex]
Ponendo queste componenti nella relazione di disuguaglianza ottengo
[tex]\displaystyle F\sin \alpha \le \mu F\cos \alpha[/tex]
Adesso passo a considerazioni geometriche sui segmenti e noto che:
[tex]\displaystyle \begin{array}{l}
\sin \alpha = \frac{\Delta }{{\overline {P'O} }} \\
\cos \alpha = \frac{d}{{\overline {P'O} }} \\
\end{array}[/tex]
Riprendo la disuguaglianza e sostituisco il seno e coseno con quanto appena trovato:
[tex]\displaystyle F\frac{\Delta }{{\overline {P'O} }} \le \mu F\frac{d}{{\overline {P'O} }}[/tex]
Da cui semplificando
[tex]\displaystyle \Delta \le \mu d[/tex]
Falco5x, per me è un piacere parlare di questi concetti con te, apprezzo le tue conoscenze in materia e come esponi i concetti.
Ti ringrazio.
Ti ringrazio.
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