Attrito e reazione vincolare
Salve a tutti, desideravo proporvi un classico problema su attriti e reazioni vincolari, che a mio parere non è stato svolto in maniera corretta:
"Un mattone è appoggiato su un piano orizzontale, e tramite una funicella ed una carrucola è collegato ad un secondo mattone appeso. Sia \(\displaystyle \mu_{s}=0,3 \) il coefficiente di attrito. Si riscontra che il sistema non è in equilibrio: il mattone appoggiato scivola sul tavolo trascinato dal peso dell'altro. Quanti mattoni n occorre accatastare uno sull'altro per raggiungere l'equilibrio?"
Quello su cui non concordo è la prima parte dello svolgimento del libro, quando afferma che la forza di attrito debba essere uguale al peso dell'oggetto in modo che il sistema sia in equilibrio. Non so se è perché il testo vuole che sia inteso in questo modo, altrimenti io avrei fatto così:
So che il mattone che sta scivolando sul tavolo è collegato con l'altro; quindi su di esso non agisce la forza peso di quello appeso, bensì la reazione vincolare del filo che collega i due oggetti.
Mi ricavo quindi prima l'accelerazione del sistema e di conseguenza la reazione vincolare (nell'ipotesi che non vi sia attrito):
\(\displaystyle \begin{cases}
\tau-mg=-ma\\
\tau=ma\end{cases}=\begin{cases}
ma-mg=-ma\\
\tau=ma\end{cases}=\begin{cases}
2ma=mg\\
\tau=ma\end{cases}=\begin{cases}
a=\frac{mg}{2m}=\frac{g}{2}\\
\tau=ma\end{cases}=\begin{cases}
a=\frac{g}{2}\\
\tau=\frac{mg}{2}\end{cases} \)
Non so, forze è per questo che sbaglio, avendo calcolato un'accelerazione giusta sono nel caso in cui non vi sia attrito, ma a mio parere non è neanche giusto applicare direttamente la forza mg al mattone che sta scivolando sul tavolo.
Sullo svolgimento della seconda parte siamo invece tutti d'accordo:
\(\displaystyle \left.\sum f=0\right. \)
\(\displaystyle \left.f_{a}=\tau\right. \)
\(\displaystyle \left.N=mgn\right. \)
\(\displaystyle \left.\frac{f_{a}}{N}=\frac{\tau}{N}=\frac{\tau}{mgn}\leq\mu_{s}\right. \)
\(\displaystyle \left.mgn\geq\frac{\tau}{\mu_{s}}\right. \)
\(\displaystyle \left.n\geq\frac{\tau}{\mu_{s}gm}\right. \)
Voi cosa ne pensate?
Vi ringrazio anticipatamente
Distinti saluti
Enrico Catanzani
"Un mattone è appoggiato su un piano orizzontale, e tramite una funicella ed una carrucola è collegato ad un secondo mattone appeso. Sia \(\displaystyle \mu_{s}=0,3 \) il coefficiente di attrito. Si riscontra che il sistema non è in equilibrio: il mattone appoggiato scivola sul tavolo trascinato dal peso dell'altro. Quanti mattoni n occorre accatastare uno sull'altro per raggiungere l'equilibrio?"
Quello su cui non concordo è la prima parte dello svolgimento del libro, quando afferma che la forza di attrito debba essere uguale al peso dell'oggetto in modo che il sistema sia in equilibrio. Non so se è perché il testo vuole che sia inteso in questo modo, altrimenti io avrei fatto così:
So che il mattone che sta scivolando sul tavolo è collegato con l'altro; quindi su di esso non agisce la forza peso di quello appeso, bensì la reazione vincolare del filo che collega i due oggetti.
Mi ricavo quindi prima l'accelerazione del sistema e di conseguenza la reazione vincolare (nell'ipotesi che non vi sia attrito):
\(\displaystyle \begin{cases}
\tau-mg=-ma\\
\tau=ma\end{cases}=\begin{cases}
ma-mg=-ma\\
\tau=ma\end{cases}=\begin{cases}
2ma=mg\\
\tau=ma\end{cases}=\begin{cases}
a=\frac{mg}{2m}=\frac{g}{2}\\
\tau=ma\end{cases}=\begin{cases}
a=\frac{g}{2}\\
\tau=\frac{mg}{2}\end{cases} \)
Non so, forze è per questo che sbaglio, avendo calcolato un'accelerazione giusta sono nel caso in cui non vi sia attrito, ma a mio parere non è neanche giusto applicare direttamente la forza mg al mattone che sta scivolando sul tavolo.
Sullo svolgimento della seconda parte siamo invece tutti d'accordo:
\(\displaystyle \left.\sum f=0\right. \)
\(\displaystyle \left.f_{a}=\tau\right. \)
\(\displaystyle \left.N=mgn\right. \)
\(\displaystyle \left.\frac{f_{a}}{N}=\frac{\tau}{N}=\frac{\tau}{mgn}\leq\mu_{s}\right. \)
\(\displaystyle \left.mgn\geq\frac{\tau}{\mu_{s}}\right. \)
\(\displaystyle \left.n\geq\frac{\tau}{\mu_{s}gm}\right. \)
Voi cosa ne pensate?
Vi ringrazio anticipatamente
Distinti saluti
Enrico Catanzani
Risposte
Il calcolo che fai tu sarebbe giusto se non ci fosse l'attrito.
Quando si chiede una condizione di equilibrio in questo caso si pensa a una condizione statica nella quale dunque non c'è accelerazione.
E se il sistema è fermo è evidente che la tensione del filo è esattamente uguale al peso del mattone appeso, dunque quello che dice il tuo libro è giusto.
D'altre parte seguendo il filo del tuo ragionamento ma aggiungendo la condizione di attrito si trova esattamente la suddetta relazione di equilibrio. Assumiamo sia m la massa del mattone e M la massa complessiva appoggiata al tevolo e costituita da più mattoni. Si hanno le seguenti relazioni:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\tau - mg = - ma \\
\tau - \mu Mg = Ma \\
\end{array} \right. \\
Ma + \mu Mg - mg = - ma \\
a\left( {M + m} \right) = g\left( {m - \mu M} \right) \\
\end{array}\]
L'ultima relazione diventa uguale alla tua nel caso particolare di M=m e $\mu=0$
Però se vogliamo che il sistema sia fermo dobbiamo imporre a=0, da cui salta fuori la relazione di equilibrio:
\[\left\{ \begin{array}{l}
a = 0 \\
mg = \mu Mg \\
\end{array} \right.\]
la quale dice esattamente che il peso del mattone appeso deve essere uguale alla forza d'attrito esercitata dalla massa M sul tavolo.
Quando si chiede una condizione di equilibrio in questo caso si pensa a una condizione statica nella quale dunque non c'è accelerazione.
E se il sistema è fermo è evidente che la tensione del filo è esattamente uguale al peso del mattone appeso, dunque quello che dice il tuo libro è giusto.
D'altre parte seguendo il filo del tuo ragionamento ma aggiungendo la condizione di attrito si trova esattamente la suddetta relazione di equilibrio. Assumiamo sia m la massa del mattone e M la massa complessiva appoggiata al tevolo e costituita da più mattoni. Si hanno le seguenti relazioni:
\[\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\tau - mg = - ma \\
\tau - \mu Mg = Ma \\
\end{array} \right. \\
Ma + \mu Mg - mg = - ma \\
a\left( {M + m} \right) = g\left( {m - \mu M} \right) \\
\end{array}\]
L'ultima relazione diventa uguale alla tua nel caso particolare di M=m e $\mu=0$
Però se vogliamo che il sistema sia fermo dobbiamo imporre a=0, da cui salta fuori la relazione di equilibrio:
\[\left\{ \begin{array}{l}
a = 0 \\
mg = \mu Mg \\
\end{array} \right.\]
la quale dice esattamente che il peso del mattone appeso deve essere uguale alla forza d'attrito esercitata dalla massa M sul tavolo.
Ho capito, grazie 1000
Saluti
Saluti
Mi scusi, dato che ci sono ne approfitto!! 
Desideravo chiederle un parere anche riguardo un'altro semplice esercizio.
Se è interessato le posto il link: http://www.matematicamente.it/forum/reazione-vincolare-e-accelerazione-t91798.html
La ringrazio davvero molto.
Distinti saluti
Enrico Catanzani
Desideravo chiederle un parere anche riguardo un'altro semplice esercizio.
Se è interessato le posto il link: http://www.matematicamente.it/forum/reazione-vincolare-e-accelerazione-t91798.html
La ringrazio davvero molto.
Distinti saluti
Enrico Catanzani
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