Attrazione gravitazionale tra masse puntiformi
Salve a tutti, vorrei proporvi questo esercizio chiesto dal mio prof. ad un orale: Due masse puntiformi $ m_1 $ e $ m_2 $ sono poste su di una guida circolare liscia. Il sistema guida + massettine è isolato. Viene impressa una certa velocità $ v_o $ alla massettina $ m_2 $, determinare il punto di incontro tra le due massettine. Io ho provato ad impostare la conservazione del momento angolare del sistema e la conservazione dell'energia meccanica ma, in quest'ultima l'energia potenziale gravitazionale finale tenderebbe ad infinito... Quindi credo che stia sbagliando qualcosa. Vi allego uno schema dell'esercizio, grazie in anticipo a chiunque cercherà di aiutarmi. 
Risposte
Prima di tutto : il piano della guida è verticale, oppure orizzontale come penso io?
E poi, perché hai intitolato il 3d " attrazione gravitazionale tra masse puntiformi" ???
Qui l'attrazione gravitazionale tra le masse non c'entra proprio.
Secondo me, la guida è orizzontale e può ruotare attorno all'asse baricentrico verticale; si parte da una posizione iniziale di quiete del sistema, e si dà una velocità iniziale alla massa $m_2$.
E poi, perché hai intitolato il 3d " attrazione gravitazionale tra masse puntiformi" ???
Qui l'attrazione gravitazionale tra le masse non c'entra proprio.
Secondo me, la guida è orizzontale e può ruotare attorno all'asse baricentrico verticale; si parte da una posizione iniziale di quiete del sistema, e si dà una velocità iniziale alla massa $m_2$.
Il piano è orizzontale, la guida circolare e fissa e la forza che determina il moto delle masse è quella di attrazione gravitazionale tra le 2 masse stesse. La velocità vo impressa alla massettina 2 è necessaria perché altrimenti rimarrebbero nella posizione inizuale per effetto della reazione della guida.
Dunque, abbiamo capito che la guida si trova in un piano orizzontale, e che è fissa nel rif. inerziale del laboratorio.
Ma sappiamo anche che la guida è liscia. Non c'è attrito tra guida e masse.
Quindi, la reazione della guida al peso (di ciascuna massa) è una forza per ipotesi perfettamente e costantemente verticale. Perciò, le due reazioni verticali non hanno il potere di tenere "ferme" le due masse, mai.
Il motivo per imprimere la velocità iniziale $v_0$ ad $m_2$ in una certa direzione, tangente alla circonferenza, è quello di "perturbare" una situazione di equilibrio iniziale delle forze gravitazionali tra le due masse : equilibrio iniziale dovuto al fatto che le due forze, entrambe di modulo : $ F_(12) = F_(21) = G (m_1m_2)/d^2$ sono dirette diametralmente, essendo $d$ il diametro della circonferenza. E ciascuna è equilibrata, in questa situazione iniziale, dalla reazione radiale della guida, diretta radialmente verso l'esterno....
Ti sembra giusto fin qui ?
Ma sappiamo anche che la guida è liscia. Non c'è attrito tra guida e masse.
Quindi, la reazione della guida al peso (di ciascuna massa) è una forza per ipotesi perfettamente e costantemente verticale. Perciò, le due reazioni verticali non hanno il potere di tenere "ferme" le due masse, mai.
Il motivo per imprimere la velocità iniziale $v_0$ ad $m_2$ in una certa direzione, tangente alla circonferenza, è quello di "perturbare" una situazione di equilibrio iniziale delle forze gravitazionali tra le due masse : equilibrio iniziale dovuto al fatto che le due forze, entrambe di modulo : $ F_(12) = F_(21) = G (m_1m_2)/d^2$ sono dirette diametralmente, essendo $d$ il diametro della circonferenza. E ciascuna è equilibrata, in questa situazione iniziale, dalla reazione radiale della guida, diretta radialmente verso l'esterno....
Ti sembra giusto fin qui ?
Giustissimo a questo punto io ho considerato la conservazione del momento angolare del sistema massettine e la conservazione dell'energia meccanica. In quest'ultima però l'energia potenziale gravitazionale finale per assurdo tenderebbe a infinito poiché le due masse hanno dimensioni trascurabili. Questo è il mio problema. Grazie dell'interesse comunque. ..
Vediamo se siamo in grado di continuare a dire qualcosa, almeno per un po'.
LA conservazione del momento angolare sicuramente c'è. Infatti le due forze gravitazionali agenti sulle due masse, uguali e contrarie, sono forze interne al sistema, non c'è momento di forze esterne a far variare il momento angolare del sistema delle due masse.
Ma perché dici che l'energia potenziale gravitazionale tende ad infinito? Perché la distanza tra i centri tende a zero? Ho qualche perplessità....avvicinandosi le due masse, come variano le due forme di l'energia?
Piuttosto, ho provato pensare al moto delle due masse in termini dell'equazione della Dinamica, ma mi sembra che sia piuttosto difficile...Quando i raggi vettori delle due masse formano tra loro un angolo $\theta$ qualsiasi, diverso dall'angolo iniziale $\pi$ , succede che le due forze sono dirette secondo la corda congiungente le due posizioni. Quindi ciascuna delle forze è scomponibile in una componente tangenziale e in una componente radiale. La radiale è equilibrata dal vincolo, la tangenziale causa accelerazione tangenziale della massa....solo che questa componente tangenziale della forza è anch'essa variabile, non è costante...non riesco a capire (o forse non ci voglio pensare troppo...) come si esprime la componente tangenziale della forza in funzione dell'angolo $\theta$ sopra detto...
No, questa via mi sembra piuttosto ostica...
Che cosa hai scritto a proposito della conservazione del momento angolare ?
LA conservazione del momento angolare sicuramente c'è. Infatti le due forze gravitazionali agenti sulle due masse, uguali e contrarie, sono forze interne al sistema, non c'è momento di forze esterne a far variare il momento angolare del sistema delle due masse.
Ma perché dici che l'energia potenziale gravitazionale tende ad infinito? Perché la distanza tra i centri tende a zero? Ho qualche perplessità....avvicinandosi le due masse, come variano le due forme di l'energia?
Piuttosto, ho provato pensare al moto delle due masse in termini dell'equazione della Dinamica, ma mi sembra che sia piuttosto difficile...Quando i raggi vettori delle due masse formano tra loro un angolo $\theta$ qualsiasi, diverso dall'angolo iniziale $\pi$ , succede che le due forze sono dirette secondo la corda congiungente le due posizioni. Quindi ciascuna delle forze è scomponibile in una componente tangenziale e in una componente radiale. La radiale è equilibrata dal vincolo, la tangenziale causa accelerazione tangenziale della massa....solo che questa componente tangenziale della forza è anch'essa variabile, non è costante...non riesco a capire (o forse non ci voglio pensare troppo...) come si esprime la componente tangenziale della forza in funzione dell'angolo $\theta$ sopra detto...
No, questa via mi sembra piuttosto ostica...
Che cosa hai scritto a proposito della conservazione del momento angolare ?
mmmh.. è un problemino un po diabolico, quindi mi scuso per eventuali ca... (considerando anche l'ora) 
scusate anche se sono poco chiaro ma è uno dei miei primi post e non so scrivere le formule matematiche
Allora: cominciamo con la conservazione del momento angolare totale del sistema: esso è all'inizio:
1) L(i)=m2*v*r (v è noto)
nell'istante dell'urto esso si puo calcolare in 2 modi, il primo modo, è la somma dei singoli momenti:
2) L(f)= m1*v1*r + m2*v2*r
inoltre, per un particolare teorema di dinamica dei sistemi (simile a quello di koenig), il momento angolare totale possiamo scriverlo come il momento angolare di un punto che ha massa uguale alla massa totale del sistema, e solidale al centro di massa: (il centro di massa nel momento dell'urto è il punto di contatto)
3) L(f)= (m1+m2)*r*z z=v1+v2
in pratica z è la somma vettoriale delle due velocita, che essendo opposte, sara una differenza
unendo la 3) e la 1) calcoliamo z
adesso abbiamo 2 equazioni nelle 2 variabili v1 e v2: esse sono la 4) e la 5)
4) v1+v2=z 5) m1*v1 + m2*v2= m2*v
la 5) si ottiene unendo la 1) e la 2)
quindi da queste equazioni calcoliamo v1 e v2
ora che le sappiamo, sappiamo anche le 2 energie cinetiche E1=(0,5 )m1 (v1quadro) ed E2=....
queste 2 energie cinetiche sono state prodotte per ciascun corpo, dalla forza gravitazionale efficace che ha compiuto lavoro lungo lo spostamento sul perimetro del cerchio. Per forza effettiva intendo la componente tangenziale al cerchio, perche l'altra componente è stata annulllata dal vincolo.
Quindi: E1= F*S1 E2- Ei = F*S2
S1 e S2 sono i cammini lungo il perimetro, quell' Ei è l'energia cinetica che m2 possedeva all'inizio
Quindi, il rapporto (E1)/(E2-Ei) è uguale a S1/S2 , perche essendo le 2 forze uguali per il principio di azione e reazione, e per una evidente simmetria geometrica, possiamo semplificarle!
quindi sapendo le energie cinetiche ci ricaviamo il rapporto tra i cammini e quindi il punto di incontro ...(o almeno spero)
scusate anche se sono poco chiaro ma è uno dei miei primi post e non so scrivere le formule matematiche
Allora: cominciamo con la conservazione del momento angolare totale del sistema: esso è all'inizio:
1) L(i)=m2*v*r (v è noto)
nell'istante dell'urto esso si puo calcolare in 2 modi, il primo modo, è la somma dei singoli momenti:
2) L(f)= m1*v1*r + m2*v2*r
inoltre, per un particolare teorema di dinamica dei sistemi (simile a quello di koenig), il momento angolare totale possiamo scriverlo come il momento angolare di un punto che ha massa uguale alla massa totale del sistema, e solidale al centro di massa: (il centro di massa nel momento dell'urto è il punto di contatto)
3) L(f)= (m1+m2)*r*z z=v1+v2
in pratica z è la somma vettoriale delle due velocita, che essendo opposte, sara una differenza
unendo la 3) e la 1) calcoliamo z
adesso abbiamo 2 equazioni nelle 2 variabili v1 e v2: esse sono la 4) e la 5)
4) v1+v2=z 5) m1*v1 + m2*v2= m2*v
la 5) si ottiene unendo la 1) e la 2)
quindi da queste equazioni calcoliamo v1 e v2
ora che le sappiamo, sappiamo anche le 2 energie cinetiche E1=(0,5 )m1 (v1quadro) ed E2=....
queste 2 energie cinetiche sono state prodotte per ciascun corpo, dalla forza gravitazionale efficace che ha compiuto lavoro lungo lo spostamento sul perimetro del cerchio. Per forza effettiva intendo la componente tangenziale al cerchio, perche l'altra componente è stata annulllata dal vincolo.
Quindi: E1= F*S1 E2- Ei = F*S2
S1 e S2 sono i cammini lungo il perimetro, quell' Ei è l'energia cinetica che m2 possedeva all'inizio
Quindi, il rapporto (E1)/(E2-Ei) è uguale a S1/S2 , perche essendo le 2 forze uguali per il principio di azione e reazione, e per una evidente simmetria geometrica, possiamo semplificarle!
quindi sapendo le energie cinetiche ci ricaviamo il rapporto tra i cammini e quindi il punto di incontro ...(o almeno spero)
Allora, conservazione del momento angolare rispetto al polo $ O $ :
$ m_2r^2omega_0=m_1r^2omega_1+m2r^2omega_2 $ dove $ omega_1 $ e $ omega_2 $ sono rispettivamente le velocità angolari della massa 1 e della massa 2 un attimo prima dell'impatto. Per la conservazione dell'energia meccanica invece quando scrivo l'energia potenziale gravitazionale finale, la distanza tra le due masse è nulla quindi -per assurdo- tende ad infinito. Per "Ragionier Filini", grazie mille per l'interesse, guarderò domattina la sua risoluzione perché ora sono davvero sfatto!
$ m_2r^2omega_0=m_1r^2omega_1+m2r^2omega_2 $ dove $ omega_1 $ e $ omega_2 $ sono rispettivamente le velocità angolari della massa 1 e della massa 2 un attimo prima dell'impatto. Per la conservazione dell'energia meccanica invece quando scrivo l'energia potenziale gravitazionale finale, la distanza tra le due masse è nulla quindi -per assurdo- tende ad infinito. Per "Ragionier Filini", grazie mille per l'interesse, guarderò domattina la sua risoluzione perché ora sono davvero sfatto!
Ragioniere, dovresti imparare a scrivere le formule alla maniera del forum.
Si il problema non è semplice....
Ragioniere, non mi convince il tuo ragionamento circa la velocita finale $z$ del centro di massa.
Ragioniamo.
Se non esistesse il vincolo della guida, le due masse partendo da una certa posizione iniziale si avvicinerebbero tra loro percorrendo entrambe il segmento di retta che unisce queste due posizioni: il cdm rimarrebbe fisso rispetto al laboratorio, e le due masse si incontrerebbero in esso, alla fine.
Ma c'è la guida circolare...
In ogni posizione delle due masse, il cdm si trova sempre sulla corda della circonferenza che unisce le due posizioni. E questa corda cambia. È chiaro che all'inizio il cdm è sul diametro iniziale ( se le masse fossero uguali, sarebbe nel centro della circonferenza. MA se sono diverse, il cdm iniziale non è in tale centro). LA posizione finale del cdm coincide evidentemente con le due masse stesse , che sono a contatto (sono masse per ipotesi puntiformi).
Come si sposta il cdm, dalla posizione iniziale alla finale???
Ho paura che per questa strada non si arriva lontani.
Meglio usare la conservazione del momento angolare e dell'energia.
Si il problema non è semplice....
Ragioniere, non mi convince il tuo ragionamento circa la velocita finale $z$ del centro di massa.
Ragioniamo.
Se non esistesse il vincolo della guida, le due masse partendo da una certa posizione iniziale si avvicinerebbero tra loro percorrendo entrambe il segmento di retta che unisce queste due posizioni: il cdm rimarrebbe fisso rispetto al laboratorio, e le due masse si incontrerebbero in esso, alla fine.
Ma c'è la guida circolare...
In ogni posizione delle due masse, il cdm si trova sempre sulla corda della circonferenza che unisce le due posizioni. E questa corda cambia. È chiaro che all'inizio il cdm è sul diametro iniziale ( se le masse fossero uguali, sarebbe nel centro della circonferenza. MA se sono diverse, il cdm iniziale non è in tale centro). LA posizione finale del cdm coincide evidentemente con le due masse stesse , che sono a contatto (sono masse per ipotesi puntiformi).
Come si sposta il cdm, dalla posizione iniziale alla finale???
Ho paura che per questa strada non si arriva lontani.
Meglio usare la conservazione del momento angolare e dell'energia.
Scusate ma ero a lezione. Ottima osservazione Navigatore ma il prof. proprio ieri ci ha detto per semplificare un po' il problema di considerare la velocità iniziale Vo infinitamente piccola, quindi il ragionamento del ragioniere dovrebbe andare bene, poiché il momento angolare del centro di massa all'inizio è nullo. Sbaglio?
Il fatto che la velocita iniziale di $m_2$ sia molto piccola, tendente a zero, non cambia il problema, per me.
Assumi nullo il momento angolare iniziale ? Ma la difficoltà sta nel capire come si sposta il cdm nel piano della guida. Perchè è chiaro che deve spostarsi, visto che le due posizioni (del cdm) all'inizio e alla fine sono diverse...
Assumi nullo il momento angolare iniziale ? Ma la difficoltà sta nel capire come si sposta il cdm nel piano della guida. Perchè è chiaro che deve spostarsi, visto che le due posizioni (del cdm) all'inizio e alla fine sono diverse...
Mmm si considero il momento angolare iniziale nullo... A quanto pare il problema rimane ancora un'incognita. .. in effetti non sono particolarmente convinto del passaggio ora che ci penso bene...
ciao a tutti, allora, per la questione del centro di massa:
Esiste un particolare teorema, simile al teorema di Koenig, che recita cosi: " il momento angolare totale del sistema, è uguale: 1) al momento angolare del centro di massa, piu 2) il momento angolare del sistema rispetto a un riferimento solidale al centro di massa". Questo in qualunque istante, a prescindere dal cammino che abbia fatto il CM. Nel nostro caso, ho proposto di usare questo teorema per l'istante dell'urto, perche conoscendo la velocita di CentrodiMassa , possiamo risalire alle velocita dei 2 corpi, con quel sistema di 2 equazioni in 2 variabili (le velocita appunto). Poi sapendo le velocita andiamo a ragionare dal punto di vista energetico...ps. x soter, ma è un esame di fisica 1 o mecc razionale?
Esiste un particolare teorema, simile al teorema di Koenig, che recita cosi: " il momento angolare totale del sistema, è uguale: 1) al momento angolare del centro di massa, piu 2) il momento angolare del sistema rispetto a un riferimento solidale al centro di massa". Questo in qualunque istante, a prescindere dal cammino che abbia fatto il CM. Nel nostro caso, ho proposto di usare questo teorema per l'istante dell'urto, perche conoscendo la velocita di CentrodiMassa , possiamo risalire alle velocita dei 2 corpi, con quel sistema di 2 equazioni in 2 variabili (le velocita appunto). Poi sapendo le velocita andiamo a ragionare dal punto di vista energetico...ps. x soter, ma è un esame di fisica 1 o mecc razionale?
Esame di Fisica 1 con un professore un po' pazzo ma per il quale nutro grande ammirazione. 
Comunque il teorema che enunci te, Ragioniere, è il secondo postulato del teorema di Koenig; il primo vale per l'energia cinetica.
Comunque il teorema che enunci te, Ragioniere, è il secondo postulato del teorema di Koenig; il primo vale per l'energia cinetica.
Se il sistema masse + guida è isolato, la guida non è fissa nel sistema del laboratorio ...
mmh in effetti Soter, facci capire meglio questa cosa... il sistema è proprio completamente isolato (e quindi la guida è libera), o la guida è fissata ?? 
"Cmax":
Se il sistema masse + guida è isolato, la guida non è fissa nel sistema del laboratorio ...
Questa era la mia prima idea, poi Soter ha confermato che la guida è fissa nel laboratorio.
E pensandoci bene, può essere benissimo così. Pensiamo ad un binario circolare fisso a terra, liscio, su cui sono poste le due masse , inizialmente in posizioni diametralmente opposte, quindi in quiete (le reazioni della guida sulle masse sono radiali e giacciono sulla stessa retta, inizialmente). Si dà un colpettino ad $m_2$, cioè una certa velocità iniziale, e la forza gravitazionale tra le due masse fa il resto...
Perché no ? A meno che Soter non rettifichi...
Sarei proprio curioso, alla fine della favola, di conoscere la soluzione del prof ...
La guida è fissa nel laboratorio. Purtroppo il professore non ci vuole dire la soluzione 
. Chiedo aiuto a tutti i fisici del sito!
. Chiedo aiuto a tutti i fisici del sito!
La guida è fissa nel laboratorio.
Allora il sistema masse + guida NON è isolato.
In questo caso, la prima cosa che mi viene in mente, ma non ci ho pensato sopra molto quindi controllate il ragionamento, è usare la simmetria del sistema. La forze che le particelle esercitano reciprocamente l'una sull'altra sono dirette lungo la congiungente, hanno medesimo modulo ed hanno verso opposto, e per le proprietà della circonferenza formano lo stesso angolo (a meno di qualche $\pi$) con la congiungente. Possiamo allora scrivere (in pratica è una conseguenza di azione e reazione) $m_1\ddot{\phi_1}(t)+m_2\ddot{phi_2}(t)=0$, dove gli angoli sono misurati rispetto ad un riferimento comune. Se questo è l'asse passante per la posizione iniziale di $m_1$, allora $\phi_1(0)=0$, $\phi_2(0)=\pi$. Si può integrare questa equazione, e se le velocità iniziali sono nulle (a meno della perturbazione trascurabile), allora $m_1\dot{\phi_1}(t)+m_2\dot{phi_2}(t)=0$. Integriamo ancora $m_1 \phi_1(t)+m_2 \phi_2(t) - m_2 \pi=0$. Al momento $T$ dell'urto (che non conosciamo), si avrà $\phi_1(T)=\phi_2(T)$, e sostituendo $\phi_1(T) = \frac{m_2}{m1+m_2} \pi$. Quantomeno il risultato mi sembra consistente con i casi limite $m_1 -> \infty$ ($\phi_1(T)=0$), $m_2 -> \infty$ ($\phi_1(T)=\pi$). Mi sembra inoltre sensato, sempre per le considerazioni su azione e reazione, che l'angolo di incontro non dipenda dalla specifica natura dell'interazione, purché abbia carattere centrale.
"Cmax":
Allora il sistema masse + guida NON è isolato.
In questo caso, la prima cosa che mi viene in mente, ma non ci ho pensato sopra molto quindi controllate il ragionamento, è usare la simmetria del sistema. La forze che le particelle esercitano reciprocamente l'una sull'altra sono dirette lungo la congiungente, hanno medesimo modulo ed hanno verso opposto, e per le proprietà della circonferenza formano lo stesso angolo (a meno di qualche $ \pi $) con la congiungente.
Che le forze siano dirette, in ogni istante, secondo la corda congiungente le posizioni istantanee delle masse, non c'è alcun dubbio. MA che cosa vuol dire : " formano lo stesso angolo con la congiungente" ? Certamente i due raggi formano con la corda un triangolo isoscele, sempre.
E la corda forma nei suoi estremi lo stesso angolo " con la tangente" in ciascun punto : questo è quello che volevi dire.
Possiamo allora scrivere (in pratica è una conseguenza di azione e reazione) $ m_1\ddot{\phi_1}(t)+m_2\ddot{phi_2}(t)=0 $, dove gli angoli sono misurati rispetto ad un riferimento comune
....cioè in sostanza tu affermi che le accelerazioni angolari (la derivata seconda dell'angolo è questa) sono inversamente propozionali alle masse.....Perciò se una massa è doppia dell'altra, la sua accelerazione angolare dovrebbe essere la metà di quella dell'altra...
Forse hai visto giusto: in una posizione qualsiasi, le due forze, uguali in modulo, sono dirette (opposte) secondo la base del triangolo isoscele formato da corda e raggi... quindi, per ciascuna delle due forze, se la scomponiamo secondo il raggio e secondo la tangente alla circonferenza nel punto, le componenti radiali ( equilibrate dalla guida) e le componenti tangenziali, le quali determinano il moto accelerato delle singole masse, sono uguali in modulo....Si, questo mi convince abbastanza...anzi mi convince e basta!
Essendo le componenti tangenziali delle forze uguali in modulo, per le accelerazioni (tangenziali o angolari, c'è di mezzo solo il raggio $R$) si può scrivere la relazione che hai scritto tu . Mi pare che il ragionamento fili.
Se questo è l'asse passante per la posizione iniziale di $ m_1 $, allora $ \phi_1(0)=0 $, $ \phi_2(0)=\pi $. Si può integrare questa equazione, e se le velocità iniziali sono nulle (a meno della perturbazione trascurabile), allora $ m_1\dot{\phi_1}(t)+m_2\dot{phi_2}(t)=0 $. Integriamo ancora $ m_1 \phi_1(t)+m_2 \phi_2(t) - m_2 \pi=0 $. Al momento $ T $ dell'urto (che non conosciamo), si avrà $ \phi_1(T)=\phi_2(T) $, e sostituendo $ \phi_1(T) = \frac{m_2}{m1+m_2} \pi $. Quantomeno il risultato mi sembra consistente con i casi limite $ m_1 -> \infty $ ($ \phi_1(T)=0 $), $ m_2 -> \infty $ ($ \phi_1(T)=\pi $). Mi sembra inoltre sensato, sempre per le considerazioni su azione e reazione, che l'angolo di incontro non dipenda dalla specifica natura dell'interazione, purché abbia carattere centrale.
Il risultato mi sembra consistente anche col caso $m_1 = m_2 $ : in tal caso, il punto di incontro si ha per $\phi = \pi/2$, come si intuisce.
Effettivamente è una conseguenza diretta della vonservazione del momento angolare... comunque proporrò il ragionamento al mio prof. e vedremo cosa ne pensa. Vi terrò aggiornati, grazie a tutti per l'aiutoe l'interesse.
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