Attrazione gravitazionale tra masse puntiformi
Salve a tutti, vorrei proporvi questo esercizio chiesto dal mio prof. ad un orale: Due masse puntiformi $ m_1 $ e $ m_2 $ sono poste su di una guida circolare liscia. Il sistema guida + massettine è isolato. Viene impressa una certa velocità $ v_o $ alla massettina $ m_2 $, determinare il punto di incontro tra le due massettine. Io ho provato ad impostare la conservazione del momento angolare del sistema e la conservazione dell'energia meccanica ma, in quest'ultima l'energia potenziale gravitazionale finale tenderebbe ad infinito... Quindi credo che stia sbagliando qualcosa. Vi allego uno schema dell'esercizio, grazie in anticipo a chiunque cercherà di aiutarmi. 
Risposte
formano lo stesso angolo con la congiungente
Certo, intendevo l'angolo della forza con la tangente, e di conseguenza la sua proiezione.
... ciao a tutti, allora oggi mi sono messo a fare un po di calcoli all'univers, per quanto riguarda il caso in cui la velocita iniziale di m2 è infinitesima.
Se indichiamo con S1 e S2 i cammini sulla circonferenza rispettivamente di m1 e m2, mi viene:
S1/S2 = m2/m1 cioe il rapporto delle distanze percorse lungo la circonferenza è l'inverso del rapporto delle 2 masse..magari piu tardi metto la dim, che ne pensate?
Se indichiamo con S1 e S2 i cammini sulla circonferenza rispettivamente di m1 e m2, mi viene:
S1/S2 = m2/m1 cioe il rapporto delle distanze percorse lungo la circonferenza è l'inverso del rapporto delle 2 masse..magari piu tardi metto la dim, che ne pensate?
Al momento $T$ dell'urto (che non conosciamo), si avrà $\phi_1(T)=\phi_2(T)$. Un momento, questo no mi è molto chiaro... perché!?
"Al momento $T$ dell'urto (che non conosciamo), si avrà $\phi_1(T)=\phi_2(T)$." Cit. Cmax .Un momento, questo no mi è molto chiaro... perché!?
Sono nella medesima posizione, ed i due angoli sono misurati dalla medesima origine.
S1/S2 = m2/m1 cioe il rapporto delle distanze percorse lungo la circonferenza è l'inverso del rapporto delle 2 masse
Mi sembra compatibile con la soluzione proposta.
Tuttavia non mi arrischierei con la conservazione del momento angolare, che in questo caso potrebbe essere una conseguenza accidentale della simmetria geometrica del vincolo. Poiché il sistema non è isolato, non mi viene in mente al volo un motivo generale (magari esiste pure) per cui debba conservarsi, e non sono sicuro lo farebbe se la guida avesse una forma diversa.
x cmax... sono d'accordo con te, comunque in questo caso il momento angolare si conserva se si sceglie come polo il centro della guida. Cioe si considera il sistema delle 2 masse (esclusa la guida), questo sistema come dici tu non è isolato, ma le forze esterne, ovvero le reazioni vincolare della guida, sono sempre radiali (guida liscia). Quindi il momento di forza di queste ultime rispetto al polo (il centro della guida) è nullo, e il momento angolare del sistema "m1 ed m2" si conserva. Ovviamente sempre come hai fatto notare tu, questa è una conseguenza della simmetria della guida
Sicuro, come "sistema" bisogna considerare le due masse soltanto. E quindi è isolato, il momento angolare si conserva. Il sistema non include la guida, le cui reazioni sono in ogni caso come dice il ragioniere, e hanno momento nullo rispetto al centro della circonferenza.
Se per ipotesi consideriamo due masse, poggiate su un piano orizzontale liscio, soggette ad una forza di tipo attrattivo tra loro, non diciamo che questo sistema è isolato? Il vincolo del piano serve solo a equilibare i pesi.
E quindi il momento lineare, cioè la quantità di moto totale del sistema delle due masse, si conserva.
Se per ipotesi consideriamo due masse, poggiate su un piano orizzontale liscio, soggette ad una forza di tipo attrattivo tra loro, non diciamo che questo sistema è isolato? Il vincolo del piano serve solo a equilibare i pesi.
E quindi il momento lineare, cioè la quantità di moto totale del sistema delle due masse, si conserva.
Dopo calcoli rapidi (da ricontrollare) avrei trovato una soluzione analitica che mi sembra assai carina, ovviamente con le approssimazioni che la velocità iniziale di $m_2$ sia piccola e che la distanza a cui pervengono le due masse, che considero puntiformi, sia piccola ma non nulla, perchè se no la forza diverge... più tardi posto tutto quanto ...
Il prof. ha detto che il procedimento è corretto! Grazie a tutti! Ho notato con piacere che vi ha particolarmente preso la risoluzione di questo esercizio... domani posterò un altro dei suoi esercizi diabolici che non sono riuscito a risolvere, ovviamente accompagnato dal mio ragionamento. Dateci un'occhiata se vi va 
https://docs.google.com/document/d/1QYR ... 0SRVAQ/pub
questa è la mia soluzione.
ps. non ho potuto seguire tutta la discussione per problemi di tempo, per cui scusate se ho detto cose già dette da voi
questa è la mia soluzione.
ps. non ho potuto seguire tutta la discussione per problemi di tempo, per cui scusate se ho detto cose già dette da voi
Arrigo, ho guardato la tua soluzione analitica, che mi sembra impeccabile.
Dobbiamo comunque rendere onore a Cmax, il quale ha per primo scritto la relazione seguente:
$m_1*ddot\phi_1(t) + m_2*ddot\phi_2(t) = 0 $
la quale esprime il fatto che le accelerazioni angolari sono inversamente proporzionali alle masse, in ogni posizione occupata dalle masse durante il moto. E questo deriva, semplicemente, dal fatto che essendo le forze uguali e contrarie e dirette sempre secondo una corda della circonferenza, ciascuna delle forze ha componente radiale e componente tangenziale di modulo identico a quello della forza opposta, poiché la corda è la base di un triangolo isoscele che ha per lati i raggi.
Certo, la via analitica da te scelta è corretta. MA mi domando se sia possibile parlare di lagrangiana con dei ragazzi che seguono il corso di Fisica 1 .
Comunque, è bene che il prof abbia detto che la soluzione è giusta. Tutti noi abbiamo dato il nostro piccolo contributo, con umiltà e con pazienza, magari anche sbagliando. E questo è il bello di un forum così fatto : se si discute tranquillamente e seriamente, alla fine si arriva alla soluzione!
ORa rimaniamo in attesa del prossimo problema del prof di soter....
Dobbiamo comunque rendere onore a Cmax, il quale ha per primo scritto la relazione seguente:
$m_1*ddot\phi_1(t) + m_2*ddot\phi_2(t) = 0 $
la quale esprime il fatto che le accelerazioni angolari sono inversamente proporzionali alle masse, in ogni posizione occupata dalle masse durante il moto. E questo deriva, semplicemente, dal fatto che essendo le forze uguali e contrarie e dirette sempre secondo una corda della circonferenza, ciascuna delle forze ha componente radiale e componente tangenziale di modulo identico a quello della forza opposta, poiché la corda è la base di un triangolo isoscele che ha per lati i raggi.
Certo, la via analitica da te scelta è corretta. MA mi domando se sia possibile parlare di lagrangiana con dei ragazzi che seguono il corso di Fisica 1 .
Comunque, è bene che il prof abbia detto che la soluzione è giusta. Tutti noi abbiamo dato il nostro piccolo contributo, con umiltà e con pazienza, magari anche sbagliando. E questo è il bello di un forum così fatto : se si discute tranquillamente e seriamente, alla fine si arriva alla soluzione!
ORa rimaniamo in attesa del prossimo problema del prof di soter....
Grande Cmax ! Usare metodi non generali richiede manifestazioni di intuito ed intelligenza, usare metodi generali spesso non esprime il genio di chi li usa, ma permette di risolvere più casi ... Personalmente, preferisco la via generale anche se più complicata...
Il fatto che l'amico Soter deve dare fisica 1 e sicuramente in programma la lagrangiana non c'è, non l'avevo considerato, quindi mi scuso se per lui non sono stato utile
Ps. è vero, mi sa che questo forum è l'unico in Italia dove non si litiga quasi mai! Bene, questa è una bella dimostrazione di civiltà ed un modo sicuro di imparare di più...
Il fatto che l'amico Soter deve dare fisica 1 e sicuramente in programma la lagrangiana non c'è, non l'avevo considerato, quindi mi scuso se per lui non sono stato utile
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